Глава 9. ПОТРЕБНОСТЬ В ПОДСЧЕТЕ ПРЕДМЕТОВ И СОБЫТИЙ: К ИСТОРИИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

Способность распознавать различные количества предметов одного и того же или разного вида встречается уже среди врожденных поведенческих программ. Пчелы дифференцируют различное число лепестков у цветов. Некоторые виды птиц, например голуби, могут научиться различать количество точек и пятен, числом до 7 или 9 (О. Koehler, 1956). Именно эти опыты с обучением птиц счету показали, впрочем, что результаты обычно сильно зависят также от геометрического расположения элементов, вызывающих различное перцептивное впечатление плотности множества. Чтобы добиться устойчивого, инвариантного счета или обозначения, необходимо прежде всего преодолеть силу этого перцептивного впечатления.

Нечто подобное мы наблюдали уже дважды. При возникновении жестикуляции и звучащей речи сначала должно было произойти разделение коммуникативных символизации и фрагментов действия, чтобы позднее они могли произвольно комбинироваться в новые семантические единицы, на чем, собственно, и базируется наша способность обозначать и выражать практически любые внутренние состояния. Точно так же при возникновении письменности сначала должно было произойти подавление автоматизмов иконической репрезентации предметов и сцен, выделение абстрактных элементов контура, из которых затем в результате длительного, тысячелетнего развития были сконструированы буквы основных современных алфавитов. Действительно, для возникновения обозначений количества необходимо было произвести нечто подобное— абстрагироваться от иррелевантных признаков, влияющих на первое перцептивное впечатление о величине множества. Однако специфические особенности развития понятия числа и математического мышления несколько отличались от условий возникновения письменности.

ИСТОРИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ

На первый взгляд задача формирования количественных понятий представляется в историческом плане более простой, чем выработка символических обозначений для отдельных звуков, с которой связано создание современных систем письменности. Графическая

==211

R и с 60 Лучевые кости волка Нанесенным на них зарубкам от 25 тыс. до 30 тыс лет. Их группировка пятерками указывает на связь со счетом.

фиксация количества появляется значительно раньше, чем специальные знаки для звуков — уже 25 тыс. — 30 тыс. лет назад, в период ^сцвета своеобразных форм мышления и изобразительного искусИва кроманьонского человека. На рис. 60 представлены три лучевые

==212

кости волка, на которых около 30 тыс. лет назад каменным лезвием были нанесены линии, как правило, явно образующие группы по пять линий в каждой. Вне всяких сомнений, речь идет о счете. Конечно, сегодня уже совершенно невозможно сказать, что именно подсчитывалось. Однако фиксация количества этих неизвестных нам объектов или событий, безусловно, имела для резчика, а, вероятно, также и для всей общины большую значимость. В противном случае подобные когнитивные достижения просто не могли бы появиться.

Но есть одна трудность, которая превратила формирование понятия числа в процесс не менее, если не более, длительный, чем развитие письменности. Дело в том, что фиксация количества элементов в множестве с помощью, скажем, нарезок и его обозначение словом — числительным — это совершенно разные когнитивные процессы.

В первом случае имеется только один знак (например, нарезка), замещающий единичный объект, и задача состоит в установлении взаимно однозначного соответствия между числом таких знаков и числом объектов. При назывании количества необходимо найти для каждого отличимого множества специфическое обозначение. Это совсем другая, значительно более сложная проблема. Неудивительно, что на ее решение ушло на несколько тысячелетий больше. Точно так же, как и в случае мыслей, для обозначения которых необходимо бесконечное число письменных знаков, в принципе возможно неограниченное количество наименований для чисел. Одного взгляда на звездное небо ясной зимней ночью достаточно для наглядной демонстрации впечатления, котср·"· может вызвать большое множество объектов. Но как выразить увеличение числа элементов гигантского множества на одну единицу? Использование для каждой величины своего собственного термина должно было бы вести к тому же хаосу, который угрожал в пиктографических и иероглифических системах письменности с характерным для них принципом «одно понятие — один знак». Но при счете просто необходимо иметь свой знак для каждого нового множества! С интуитивной точки зрения эта проблема кажется неразрешимой: бесконечное количество обозначений для различных чисел не может быть образовано и выучено в конечный период времени. Множества такого объема кажутся вообще непредставимыми с помощью средств когнитивных процессов.

Итак, мы вновь сталкиваемся с проблемой исторического масштаба. Необходимо найти способ обозначения чисел, посредством которого можно было бы выражать любые множества, но при этом сами числа могли бы легко заучиваться и использоваться. Последний аспект указывает на факторы, влияние которых определило то, что решение было в конце концов найдено. На это ушло несколько тысяч лет. Несмотря на наличие целого ряда вариантов, в принципе речь идет всякий раз об организации обозначений для чисел в числовую систему. Числовая система должна иметь основание (были разработаны пяти-, десяти-, двенадцати-, двадцати-, шестидесятиричные системы) и позиционный принцип представления чисел.

==213

Оба способа репрезентации совершенно необходимы для спецификации произвольного множества чисел. Однако подробней об этом

будет сказано ниже.

Следует еще раз подчеркнуть, что за решением столь сложной проблемы скрывались мощные общественные потребности. И это вполне понятно. Не случайно первые известные в истории человечества числовые системы возникли на Востоке в период расцвета ранних городов-государств. Можно указать три общественно-исторических фактора, оказавших влияние на это великое открытие.

Прежде всего регуляция экономических и общественных отношений в ранних городах-государствах (торговля, обмен, отношения собственности и владения, долги и займы) требовала однозначной, понятной каждому фиксации количественных переменных. Необходимо было не только создание числовой системы, но и разработка различных оперативных структур, приемов и методик вычислений, которые оказывали обратное влияние на сами числовые системы. Простота решения некоторого класса практически значимых для данного этапа общественно-исторического развития вычислительных задач служила критерием качества числовой системы.

Вторым фактором стали наблюдения за регулярно повторяющимися природными процессами, регистрация которых позволяла до определенной степени предвосхищать будущее развитие событий. Мы уже отмечали огромное социальное и индивидуальное значение предсказуемости будущего уже на самых ранних этапах развития человеческого общества. Отсюда понятно, с каким соблазном были связаны попытки делать такие предсказания, которые затем оказывались бы подтвержденными фактическим ходом событий. Причем огромную роль играла надежность предсказаний и прогнозов. Подобная надежность могла быть достигнута лишь путем систематических наблюдений, фиксации и сопоставления природных феноменов, что в конце концов и привело к развитию естественнонаучного мышления. Эти особенности как раз и отличают последний от фантастического мышления и магических заклинаний, неудача которых всегда может быть объяснена зловредными кознями потусторонних сил. Не случайно в историю навсегда вошло как выдающееся достижение вполне научное предсказание солнечного затмения, сделанное на основании анализа многочисленных предшествующих наблюдений в 585 г. до н. э. Фалесом из греческого города M идет.

Наконец, третьим источником развития количественных понятий стали сами числовые системы. Возникнув однажды, они стали предметом упорной познавательной деятельности, приведшей, как это ранее случилось с механическими орудиями, к их совершенствованию, специализации для решения определенных задач, освобождению от ненужных громоздких деталей. Когнитивные процессы могут быть обращены на собственные продукты и по мере их совершенствования расширять свои возможности. Несомненно, этот фактор начал играть роль очень рано. Однако плоды этой переработки впервые проявились в полной мере лишь в выдающихся результатах древнегреческих математиков.

==214

ОТ НАГЛЯДНЫХ. ХАРАКТЕРИСТИК МНОЖЕСТВА К ПОНЯТИЮ ЧИСЛА

В первой трети XVII столетия в Южной Америке было обнаружено племя индейцев, в языке которых для обозначения чисел использовалось только три слова. Несмотря на это, они могли довольно успешно определять исчезновение одного или двух домашних животных из стада. При этом оценки количества имели у них чисто перцептивный характер: «чтобы узнать величину табуна лошадей, нужно увидеть сколько места занимают поставленные рядом лошади» (по Menninger, 1958, S, 21).

Перцептивное выделение одного или двух объектов (например, с помощью процессов, получивших в современной психологии название «селективное внимание») еще не является началом счета в собственном смысле слова. У древних и первобытных народов первые числительные нередко связаны со словами, указывающими на какие-либо характерные особенности единичных объектов. Так, в одном из древнеиндийских языков для обозначения единицы используется слово «луна», а «день» (дополняющий ночь) означает в то же время числительное «два». В древнейших из дошедших до нас языков после двух для обозначения количества применялось слово, имеющее значение «много». В одном из древнеегипетских текстов можно прочитать: «Царь убил тысячи (трижды повторяется знак «тысяча») врагов, а сотни (три знака «сто») взял в плен». Как хорошо известно, письменным значком воды у древних египтян было изображение трех волнистых линий, а цветущие лотосы обозначались с помощью трех стилизованных изображений цветочных зонтиков. В китайском языке иероглиф «лес» состоит из трех знаков «дерево».

Важнейший шаг к возникновению представления о ряде целых чисел был сделан, когда произошло расширение древнейшей границы счета, которая простиралась только до двух, на одну единицу. Появление числа «три» разрушило кажущуюся неделимость пары, превратив ее просто в число «два». Трудно сказать, произошла ли какая-либо временная заминка на четверке. На этот счет среди историков математики существуют разные мнения (см. Menninger, 1958). Никто, однако, не сомневается в том, что числу «пять» суждено было сыграть в развитии числовых систем выдающуюся роль. Так, именно это число было положено в основание системы счисления древних греков. Причиной значения пяти, вероятно, было установление соответствия между числами и пальцами руки или ноги. Такого рода соответствия определяли группировку элементов уже в самых ранних системах счета.

Расширение числового ряда, безусловно, наталкивалось на значительные трудности. Причина этого совершенно очевидна: до тех пор пока с каждым новым числом должно было быть сопоставлено какое-то новое слово или картинное изображение, перспектива дальнейшего, возможно безграничного, расширения списка чисел Должна была бы вызывать чувство неудобства, если не ужаса. Об

==215

этом свидетельствуют многочисленные сообщения миссионеров, согласно которым аборигены отказывались признавать существование абстрактного числового ряда. Им требовалась репрезентация чисел в терминах некоторого конкретного множества.

Примером аналогичной индивидуализации служат числа, названия которых совпадают с названиями частей тела (Menninger, 1958). Так, обозначения чисел у обитателей одного из Микронезийских островов выглядят следующим образом: 1 = «маленький палец правой руки», 2= «безымянный палец», 3= «средний палец», 4= «указательный палец», 5= «большой палец», 6= «кисть», 7= «локоть», 8= «плечо», 9= «ухо», 10= «правый глаз», 11= «левый глаз, 12= «нос», 13= «рот», 14= «левое ухо» и т. д. Судя по всему, это соответствует той исторически ранней ступени развития когнитивных процессов, на которой понятия репрезентировались при письме с помощью пиктограмм. В обоих случаях речь идет о тупике, наивной попытке передачи на костылях наглядности безбрежного многообразия количественных и качественных отношений. Каким же образом была разрешена эта дилемма? В качестве временного решения в самых разных частях света в какое-то время утвердился прием образования вспомогательных множеств. Числовые системы ряда отсталых народов еще несколько десятилетий назад могли служить примером этого принципа. Остатки его сохранились и в нашем речевом мышлении.

Иллюстрацией использования вспомогательных множеств является образование числовых рядов индейцами одного горного племени, живущего на территории Колумбии. Их числовые термины различаются в зависимости от того, нужно ли считать животных, дни и даже длинные или округлые объекты. Для обитателей островов Фиджи 10 лодок— это «боло», а 10 кокосовых орехов— «каро», точно так же, как для североамериканских индейцев 10 лодок, участвующих в военных действиях, называются совсем иначе, чем те же самые лодки, используемые для перевозки продовольственных запасов. Названия чисел еще неразрывно связаны с событиями, в которых проявляются свойства конкретных предметов, обозначаемые теми же словами. Отголоском этого этапа развития в нашем мышлении и речи являются такие термины для обозначения большого количества определенных объектов, как «толпа», «куча», «стадо» и т. д.

Подобные именованные чистовые ряды, судя по всему, выполняют функцию репрезентации перцептивно сопоставимых или похожих вещей в терминах свойств числовых множеств. Их наглядное единообразие кажется необходимым условием перечислимости, которая в данном случае связана с простым упорядочением. Признание того, что 10 бизонов требуют такого же обозначения количества, как, скажем, 10 светлячков, разумеется, вступало в вопиющее противоречие с наглядно-образной природой архаического мышления. Хотя все попытки гомогенизации перечисляемых объектов представляют собой шаги в верном направлении, образование именованных числовых классов на основании наглядного сходства вещей не привело к подлинному решению проблемы.

==216

Более важное значение на пути к созданию числовых систем с высокой степенью вероятности имели другие приемы, например следующие. «Когда вадда (представитель небольшой горной народности, живущей на острове Цейлон) должен считать орехи, он берет горстку палочек. Каждый кокосовый орех он сопоставляет не с числительным, а с палочкой по принципу один орех — одна палочка. При этом он всякий раз говорит: «Это один». Сколько орехов, столько палочек. В языке этого племени вообще нет числительных. Можно ли поэтому сказать, что вадда не умеют считать? По-видимому, нельзя. Любое множество объектов (к примеру, орехи) может быть переведено во вспомогательное множество палочек» (Menninger, 1958, S. 43). Если вадда спрашивают: «Сколько у тебя орехов?» — он показывает на палочки и говорит: «Вот сколько». Если же у него оказывается больше палочек, чем орехов, он легко видит, сколько орехов у него пропало.

Можно предположить, что развитие счета и, как мы знаем теперь, формирование числовых систем требует выполнения двух предварительных условий. Первым условием является образование цифр в некотором ограниченном числовом диапазоне. Образование цифр связано с наименованием. Вследствие ограниченности возможностей памяти оно диктует необходимость использования итеративного или, точнее, конструктивного принципа. Австралийские аборигены считают так: 1 = энеа, 2= петхевал, 3= петхевал-энеа, 4= петхевал-петхевал. Обозначения для трех и четырех образуются из названий единицы и двойки. Число таких примеров можно было бы при желании увеличить. Представители другого австралийского племени делают это так: 1 = мал, 2= булан, 3= гулиба, 4= булан-булан, 5 = булан-гулиба, 6= гулиба-гулиба. Мы видим здесь тот же принцип: ограниченное количество числительных благодаря их конструктивному объединению может быть использовано для обозначения элементов большего множества. В простейшем случае, как в наших примерах, такое объединение является аддитивным.

Вторым предварительным условием создания числовой системы была гомогенизация перечисляемых объектов. Это осуществляется с помощью отнесения произвольно выбранных для счета предметов к элементам возможно более однородного вспомогательного множества: камешкам, раковинам, палочкам и т. п. Собственно творческим моментом является при этом перенос обозначений числа на элементы вспомогательного множества. Значение этой процедуры на пути к созданию числовой системы состоит в том, что с ее помощью осуществляется абстрагирование от всех вещественных, или предметных, свойств определенного множества, за исключением числовых характеристик. Обозначение числа и понятие о числе — далеко не одно и то же. Это доказывается следующим примером (см. Menninger, 1958, S. 44). Вождь одного племени на Целебесе был приговорен голландскими колониальными властями к штрафу в 20 быков. Кто-то выразил мнение, что штраф слишком высок. «Вы думаете, что это так много? — спросил вождь и начал по-одному вынимать из небольшого мешочка орехи. Только когда он вынул 20 орехов и в

==217

полном смысле слова «понял» размеры штрафа, он пришел в возмущение». Шаг за шагом наименование числа должно быть превращено в характеристику множества, чтобы выступать в качестве обозначения понятия этого числа.

Всякая числовая система несет в себе следы подобной предыстории: наименование ведет к группировке и тем самым к конструктивным приемам представления чисел. Гомогенизация делает возможной универсальную перечислимость любых вещей благодаря их упорядочению. Конечно, группировка может быть следствием перцептивной организации элементов воспринимаемого множества. Однако конструктивное представление чисел совершенно однозначно базируется на когнитивных приемах эффективного обозначения. Можно было бы думать, что цифры или основные числа играют при представлении числа ту же роль, что и алфавит при представлении слов. Но это мнение ошибочно. Мы обсуждали до сих пор речевое обозначение чисел. Однозначная письменная спецификация чисел требует решения еще одной проблемы, а именно— нахождения способа представления групп. Окончательное решение этой проблемы связано с возникновением позиционного принципа обозначения чисел, окончательное оформление которого завершилось через 2000 лет после введения алфавитного представления слов. Правильно в данном сравнении лишь то, что аналогичные трудности вызвали к жизни одинаковые когнитивные стратегии их преодоления. В том и другом случае необозримое многообразие должно быть когнитивно специфицировано и сделано пригодным для практического использования с помощью некоторой системы обозначения. Чтобы добиться этого, вводятся правила конструирования данного многообразия из немногих легко обозримых элементов.

Первоначальная группировка чисел при позиционном принципе представления привела к иерархической организации числового ряда. Такая организация основывается на том, что некоторое число y единиц— основание числовой системы — объединяется в одну единицу второго разряда, y единиц второго разряда объединяется в одну единицу третьего и т. д. Основанием числовой системы в принципе может быть любое число, большее единицы.

Среди вымерших и существующих до сих пор числовых систем, как мы уже отмечали, нетрудно найти прежние цифровые границы счета. В некоторых числовых системах величиной максимальной группы цифр или позднее основанием является число 5, в большинстве — 10 и иногда — 20. Такое совпадение с числом пальцев на руках и ногах, разумеется, не случайно. У подавляющего большинства народов первым вспомогательным множеством были пальцы («счет на пальцах»), что надежно подтверждается лингвистическим анализом названий первых чисел. В целом ряде случаев несомненны следы двадцатиричной системы. Некоторые из них восходят к кельтским наименованиям цифр. Так, в шотландском и ирландском языках 20= fiche, 40= da fiche, 60= tri fiche, 80= cithre fiche и т. д. Следы такой системы сохранились и во французском языке, где в целом десятичная организация внезапно прерывается на числе 80: quatre-

==218

Рис. 61. Древнеиндийские цифры кхароштхи имели три основания для группировки (4, 10 и 20). Наряду с этой системой счисления в Индии были распространены (во II в. до н. э.) цифры брахми, обладавшие совершенно другими

свойствами (по Menninger, 1958).

vingts, то есть буквально четыре—двадцать. Числовые ряды индейцев майя также были двадцатиричными. Карл Великий приказал рубить из одного фунта серебра 20 «солидов», а из каждого «солида» — 12 «динариев». Вплоть до самого последнего времени в денежной системе Великобритании фунт делился на 20 шиллингов, а шиллинг в свою очередь состоял из 12 пенсов. Английское score («счет») имеет также значения «метка», «зарубка», «черта», а в староанглийском означало 20. Изображение древнеиндийской системы записи чисел кхароштхи, возникшей примерно за 200 лет до н. э., обнаруживает присутствие сразу трех группировок: по 4, по 10 и 20 (рис. 61). Наиболее распространенной, конечно, является группировка по 10 элементов: дека и гекатон в греческом, «десят» и «дцать» в славянских языках, dix во французском и т. п. В римской записи чисел наряду с десятичной обнаруживается также и пятиричная система. Как известно, десятичная система была и у древних египтян.

Таким образом, конструктивное представление чисел оказывается возможным благодаря группировке. Исчерченные лучевые кости волка (см. рис. 60) служат доказательством того, что к пониманию этого принципа приближались и кроманьонцы. О том, что это было в пределах их когнитивных возможностей, свидетельствуют многочисленные примеры конструктивных технологических приемов изготовления орудий. Но только с появлением городов-государств степень потребности в числовых системах достигла критической точки: огромные количества хранящегося зерна, большое число каменных блоков и рабочих дней, необходимых для постройки здания, исчисляемые тысячами жители таких городов... Как можно было выразить все это с помощью десятичных или двадцатиричных единиц? Часами подсчитывать количество двадцаток? Беспомощность этой процедуры должна была бы быстро стать очевидной. Для когнитивного описания больших множеств простой группировки было явно недостаточно.

Рано или поздно должно было произойти открытие того, что группировка пригодна в качестве общего когнитивного приема,

==219

Рис. 62. Древнеегипетские и римские символы для обозначения чисел. Есть значительное сходство в способах линейного развертывания знаков и их группировки. Обе системы репрезентации плохо приспособлены для выполнения математических вычислений, существенно уступая в этом отношении вавилонской и греческой системам счисления (по Menninger, 1958).

упрощающего представление любых количеств. Тот же самый прием группировки мог быть применен после объединения единиц в «единицы второго разряда», то есть в десятки, двадцатки или любые другие числа, в зависимости от величины основания числовой системы. И действительно, этот наиболее экономичный из всех возможных вариантов был реализован. На рис. 62 показаны примеры представления чисел египтянами и римлянами. Точно так же, как посредством одного знака репрезентируются 10 единиц, с помощью других знаков замещаются 10 десятков, 10 сотен и 10 тысяч. В этом можно видеть новую и исключительно важную функцию знаков: простые и примерно однородные перцептивные конфигурации замещают понятия совершенно различной сложности и категориальной силы. Наиболее отчетливо это проявляется в случае обозначения чисел, однако типично не только для них, но и для понятийного означения вообще. Конечно, речь идет не просто о проблеме присвоения имени. За этим кроются процессы абстрагирования и конденсированного выражения значения. При увеличивающейся мощности репрезентируемых множеств числовые знаки организуются в иерархию: вместо группировки вводится новый знак, который используется как единица следующего разряда. Однако при этом еще остается нерешенной проблема наименования. Привычки устного наименования могут основательно помешать созданию эффективных способов обозначения чисел.

Приведем только один пример. Великий индийский математик и астроном Ариабхата записывал число обращений Луны за 432 тыс. лет следующим образом: cayagiyinusuchir 6 3 3357 =75

==220

r и с. 63. Иерархическое представление позиционного, или поместного, принципа построения наших чисел. Легко видеть, что данный принцип основан на определенных операциях с числами, входящими в знаки.

Слоги с «а» обозначают единицы и десятки, слоги с «i» — сотни и тысячи; отдельные буквы — числа от 1 до 25, а остальные — десятки от 30 до 100, кроме того, гласные еще используются для обозначения степеней 100. Это однозначная система обозначения, но с какими трудностями связано ее использование! К тому же записи чисел должны были по культовым причинам рифмоваться! Легко понять, каким препятствием в деле создания, удобной в обращении и эффективной системы счисления могут стать подобные посторонние соображения.

Процесс когнитивного абстрагирования, апробированный в языке на материале обозначения общих понятий, выразился в области представления количественных отношений в форме позиционного, или поместного, принципа построения чисел. Положение, или место, в линейной цепочке цифр определяет иерархический уровень данного конкретного знака. Тем самым было почти достигнуто оптимальное письменное представление чисел. Но только «почти». Потребовалось еще несколько столетий, чтобы восполнить оставшийся незаполненным небольшой пробел: специальный знак пустого места, или нуль. Скажем, запись 322 выражает иерархическое значение отдельных цифр в сотнях, десятках и единицах с помощью информации об их взаимном положении (см. рис. 63). Но если наше число превышает три сотни только на две единицы? Совершенно очевидно, что позиционная система становится совершенной лишь с введением нуля. Значение этого знака было впервые открыто индийцами. Включенный в арабскую систему счисления, нуль вместе с ней попадает в Испанию, а затем и в другие европейские страны. Только в XV—XVI в. он приобретает здесь всеобщее признание. До тех пор представление и обозначение чисел, счет и запись чисел оставались двумя совершенно различными дсятельностями, которым независимо обучали и которыми можно было независимо Друг от друга владеть.

==221

Развитие понятия числа рассматривалось нами до сих пор несколько изолированно. Это давало возможность в относительно чистом виде проанализировать когнитивные механизмы, действие которых непосредственно привело к этим выдающимся достижениям человеческого разума. Недостаток такого изложения состоит в том, что реальные мотивы, лежавшие в основе стимуляции этих когнитивных механизмов, практически остались вне рассмотрения. К тому же не было уделено внимания зависимости представления чисел от способов вычисления и измерения. Ведь числа нужны не только для обозначения абстрактных множеств. Они позволяют также выражать определенные отношения между реальными предметами и их свойствами. С психологической точки зрения это понятия, с которыми могут осуществляться различные операции преобразования мысленных или реальных данных. Преобразование мыслимого содержания обусловлено связью чисел с когнитивными структурами. Оперирование объективно данным обусловлено связью чисел с реальностью. Подобно звуковой речи и письменности, счет является в равной степени результатом и инструментом познавательной деятельности человека.

ЧИСЛА И КОГНИТИВНЫЕ ОПЕРАЦИИ: ВЫЧИСЛИМОСТЬ КАК ПОТРЕБНОСТЬ, РЕАЛЬНОСТЬ И ПРОБЛЕМА

Обсуждая возникновение ранних городов-государств на Востоке, мы отмечали, что по мере развития производительных сил и дифференциации социальных отношений происходило все большее переплетение интересов различных групп населения. В зависимости от степени общности экономического и социального положения, определяющего общественные потребности таких групп, они могли сливаться в более крупные таксономические единицы — слои и классы. Нередко они объединяют представителей различных профессий, например гончаров, плотников, каменотесов. Когда некоторый слой характеризуется выраженной социальной изоляцией, подчеркивающей превосходство его положения в обществе, говорят о касте. Часто это общественное положение получает также мифологическое обоснование, приобретая культовый оттенок. Так приобретаются дополнительные социальные преимущества, особенно важные для эксплуатации представителей других слоев общества. Упрочение власти одной из каст — в ранних городах-государствах прежде всего касты жрецов — является постоянной задачей, решение которой оказывается тем проще, чем меньше знают угнетаемые массы и чем сильнее их вера в справедливость кастовых претензий на господство. Монополизация социально важного знания является исторически древнейшим способом стабилизации отношений угнетения и захвата власти.

Развитие меновой торговли в связи с дифференциацией профессий, установлением определенных обязанностей по отношению к храму, другим группам и отдельным лицам осуществлялось первоначально без использования денег. Однако какое-то сопоставление сто-

==222

имостей должно было иметь место. Оно осуществлялось с помощью промежуточных товаров, выполняющих роль эквивалента. Часто (например, в Урукс) при количественной оценке стоимости самых разнообразных товаров использовались различные емкости зерна. Эта гомогенизация стоимости является основой общей технологии обмена. Она, очевидно, очень близка к гомогенизации предметных особенностей множеств при их числовом обозначении. Просто в случае обмена особое значение приобретают сами процедуры измерения и сравнения количественных показателей, ведущие к констатациям «уже слишком много» или «еще слишком мало», а также определению того, «насколько много» или «насколько мало». Обмен основывается на установлении общего кратного, общепризнанного эквивалента меры стоимости. Будет ли он выражаться в мерах пшеницы, четвериках ячменя, трудоднях или как-либо иначе, конечно, никакого значения не имеет.

При измерении веса повторяется обсуждавшаяся выше группировка чисел. В силу этого постепенно утвердились одни и потеряли значение другие единицы измерения. (Этот процесс продолжается и в наше время: в качестве единицы измерения сохранил свое значение 1 грамм, исчезли австрийско-немецкая дека =10 г и фунт =500 г, используются килограммы и тонны, а в последнее время также мегатонны). То, какой статус в конце концов приобретают стихийно сложившиеся меры длины, веса и т. п., зависит от частоты и масштабов их использования. Чтобы служить эквивалентом, эти меры должны быть нормированы. Локоть и фут, сажень и дюйм говорят об индивидуальных мерах, совершенно аналогичных именованным числовым рядам, о которых говорилось выше. Однако когда в Чатал-Гуюке (7 тыс. лет до н. э.) нужно было построить дом, то уже тогда длина стропил не могла определяться более длиной рук плотников. Наименование осталось, а характерные свойства понятия изменились.

Не только размеры и масса, но и время требует измерения. Звездное небо над головой могло привлекать внимание уже на самых ранних стадиях архаического мышления и рефлексии человека по поводу себя и окружающей природы. Параллель между сменой дня и ночи, с одной стороны, и циклами бодрствования — с другой, закономерное перемещение картины созвездий по небосклону, смена и постоянное повторение фаз луны — все эти явления с незапамятных времен вновь и вновь давали повод для возникновения мыслей о количественных соотношениях и измерении временных характеристик естественных процессов. Регистрация устойчивого ритма создает условия для предсказуемости восходов и заходов солнца или луны, смены времен года, наступления весеннего и осеннего равноденствия и т. п. Но эта же когнитивная процедура создает возможность и для измерения времени. Будучи усиленной приемами коммуникации, опосредствованной письменностью, регистрация астрономических событий открывает путь для создания универсального временного масштаба. Учет фактора времени при различного рода межличностных соглашениях (продолжительность времени до

==223

возвращения долга, время встречи, момент начала и окончания какого-либо совместного дела), вероятно, не выходил за рамки одного или нескольких лет. Счет годам велся на основании фиксации сезонных периодических изменений. В качестве единиц измерения более коротких временных промежутков, по-видимому, уже примерно за 10 тыс. лет до новой эры использовались фазы луны и периодические изменения положения солнца. Мощные общественные и, конечно, индивидуальные потребности требовали количественного описания свойств реальности. Перед лицом этих сил существующие системы счисления должны были доказать свою эффективность. Взаимодействие требований и результатов постепенно приводило к развитию вычислительного потенциала этих систем. К этому присоединялось действие еще одного фактора. Размышления о причинах успехов и неудач при решении задач, связанных с вычислениями, обусловили возникновение нового идеального предмета деятельности, так как приемы представления чисел и способы оперирования с ними сами стали поводом для интенсивной мыслительной работы. Подобная «метаплоскость» мышления служит необходимой платформой для качественного усиления познавательных способностей. Эти новые возможности впервые полностью раскрылись в формах мышления, характерных для эллинистической Греции.

Мы собираемся теперь описать на нескольких примерах особенности осуществления вычислительных операций в более ранний исторический период. Это необходимо, чтобы показать, как и благодаря чему преодолеваются ограничения того или иного этапа развития техники вычислений. При этом мы иногда не будем следовать строго временной последовательности, так как она не всегда совпадала с направлением прогресса — исторически более поздние числовые системы могли оказаться относительно примитивными. В какой-то степени это относится уже к нашему первому примеру, который иллюстрирует некоторые особенности выполнения вычислений в Древнем Египте.

ПИСЦЫ ФАРАОНА: ОСОБЕННОСТИ ИХ МЫШЛЕНИЯ В СЧЕТЕ

Уже во времена Среднего (2050—1700 лет до н. э.), но в особенности Нового (160Ue — ок. 107Ue гг. до н. э.) Царства — за исключением примерно столетнего периода чужеземного господства — писцы стали пользоваться в Египте исключительно высоким авторитетом и вполне реальной властью как посредники между народом и жрецами, окружавшими самого «богоподобного» фараона. Для обучения писцов существовали специальные школы, писцы жили значительно лучше, чем простой народ, но от них многое и требовалось. Эрдманн перевел (цит. по: Ван дер Варден, 1959, с. 20) в одном из папирусов следующее: «Я хочу объяснить тебе, что это такое, когда ты говоришь: „Я писец, дающий приказы армии". Тебе поручено выкопать озеро. Ты приходишь ко мне, спрашиваешь о запасах для солдат и говоришь: „Сосчитай мне это" ...Должно сделать насыпь

==224

Рис. 64. Некоторые знаки египетской числовой системы. Знаки, показанные в левой части рисунка, имеют стилизованный характер, соответствующий иератическому шрифту древнеегипетской письменности. Знаки справа в основном еще имеют вид иконических идеограмм (по Wussing, 1962).

для подъема в 730 локтей длины и 55 локтей ширины... На верхнем конце она имеет высоту в 60 локтей, а в середине — 30 локтей. Спрашивают у военачальников, сколько понадобится кирпичей, и у всех писцов, и ни один ничего не знает. Все они надеются на тебя и говорят: „Ты искусный писец, мой друг, сосчитай это для нас поскорей..."». Много времени занимали также расчеты, связанные с определением количества зерна, необходимого для изготовления пива или выпечки хлеба, и, разумеется, чисто бухгалтерский учет запасов, долгов, налогов и т. п.

Но как же осуществлялись все эти вычисления? В основном с помощью суммирования и использования принципа удвоения. Математическое мышление древних египтян было в первую очередь аддитивным. Это было обусловлено особенностями египетской числовой системы. Для нее была характерна группировка десятками (то есть она была десятичной), но позиционный, или поместный, принцип кодирования отсутствовал (см. подробнее Wussing, 1962). На рис. 64 представлены индивидуальные знаки египетской системы счисления. Слева направо расположены единицы, десять и сто. Цветок лотоса обозначает тысячу (в качестве древнего синтаксического знака множественного числа он значил первоначально просто «очень много»). 10 тыс. обозначено с помощью изображения тростника, который в изобилии рос по берегам Нила. Лягушка означает сто тысяч, а миллион представлен иероглифическим знаком бога неба, безграничного пространства. На рис. 65 представлена запись числа 2246. Она построена линейно с использованием частичной группировки. Обозначаемое множество может быть получено с помощью последовательного сложения чисел, обозначенных отдельными символами.

Типичной задачей древнеегипетской математики было умножение. Оно описывается ниже на примере умножения 13 X 12 по папирусу Ринда № 32 ^1 . На рис. 66 справа в двух колонках (в современ-

' Имеющиеся в настоящее время сведения об особенностях вычислений в Древнем Египте основаны главным образом на анализе двух папирусов математического содержания. Один из них — папирус Ринда — находится в Лондоне, а другой — в Москве, и Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. —. Прим. ред.

==225

Рис. 65. Число 2246 в египетской форме записи. Видно отсутствие позиционного принципа. Знаки записываются друг около друга, и конечный результат получается путем суммирования.

ной, «арабской», форме изображения чисел) представлены кратные двойке коэффициенты и слагаемые. Чтобы получить искомое число 13, используются 1, 4 и 8. Коэффициент 2 нужен лишь для того, чтобы получить значение произведения 12х4. Иногда при записи подобных вычислений писцы сокращали промежуточные символы и сразу же записывали результаты. Этот принцип сокращения как способ облегчения и ускорения процесса решения математической задачи будет встречаться нам вновь и вновь. Мы остановимся на нем подробнее при обсуждении более важных примеров.

Деление понималось египтянами как обратное умножению, иными словами, при делении определялось, сколько раз необходимо взять (сложить) делитель, чтобы получить делимое. Первоначальная форма записи была чрезвычайно громоздкой, но постепенно и здесь утвердились сокращенные приемы обозначения: значок о и под ним число, например, 0=1 un =12

Используемый здесь знак двойной дуги первоначально встречался в качестве обозначения определенной меры емкости зерна. Его заимствование и применение в новом контексте свидетельствует о происхождении чисто когнитивных образований от практических (в данном случае измерительных) действий, имеющих социальную значимость. Данную форму записи не следует, впрочем, путать с нашей записью дробей, состоящих из числителя и знаменателя. Речь идет просто о символическом обозначении части, а не о некоторой вычислительной операции.

Египтяне различали «натуральные» и «основные» дроби. В качестве «натуральных» рассматривались дроби, особенно часто встречающиеся в повседневном обиходе: половина, треть, две трети, чет-

==226

Рис. 66. Процедура умножения 13Х12, согласно папирусу Ринда. Отчетливо выступает принцип удвоения с последующим суммированием чисел, сумма которых образует заданный сомножитель (13) (по Wussing, 1962).

верть, три четверти. Для них также имелись особые обозначения. В так называемом лондонском «кожаном свитке» очень подробно описаны различные способы обращения с дробями (см. также Ван дер Варден, 1959, с. 24 и далее). Прежде всего в нем вводятся отношения между дробями:

После установления подобных равенств формулировались правила вычислений с «половинами», «третями», «четвертями» и «шестыми», которые каждый египетский писец должен был знать наизусть.

Среди приемов вычислений есть громоздкие и явно ненужные, которые, по-видимому, обусловлены традицией. В некоторых местах речь идет о «священных числовых рядах». Характерными для древнеегипетской математики являются так называемые «2/n — таблицы», содержащие числовые значения удвоения дробей. Соответствующие предписания содержатся в папирусе Ринда ^1 .

Согласно общему правилу, чтобы удвоить -^- , можно разделить n на 2. Например, для п=4 найти 4:2, что дает 2. В результате получается, что -L в два раза больше, чем -L, или половина в два раза больше четверти. Как правильно замечает ван дер Варден, для нашего мышления ^- и 2:5 — одно и то же. Для древних египтян

' Датировка возникновения этой процедуры затруднительна. Папирус Ринда написан около 1800 г. до н. э. Но он содержит куски, переписанные из утерянных более древних источников. Для сколь-нибудь точного определения времени появления соответствующих когнитивных операций нужно было бы знать именно эти последние источники.

==227

это было иначе. Они понимали дроби исключительно как доли единицы. Всякая дробь вида ^А - представлялась в виде суммы

таких долей ( ^2 -), что было очень громоздко и требовало значительного искусства в проведении вычислений. Именно поэтому египтяне широко применяли для упрощения вычислений вспомогательные

таблицы разложения дробей вида ^2 -. Таким образом, там, где мы

и

видим одну операцию, египтяне использовали два совершенно различных правила. В нашем мышлении это связано с представлением о делении и умножении как об обратных, зеркальных операциях. Этот момент не был понят математиками Древнего Египта, которые сводили умножение к сложению, деление к умножению и это последнее снова к сложению. Отсюда вытекала необходимость запоминать такое большое число правил разложения и эквивалентов дробей. Ведь лишь определенные разложения позволяют осуществлять деление.

Но и в рамках этих ограничений наблюдалась явная тенденция к максимальному упрощению. Так, в папирусе Ринда приводятся следующие примеры сокращенной записи последовательностей одинаковых дробей:

В первом из этих равенств i- заменено на ^1 , во втором же —

^6 -на- ^2 -· Принцип сокращения в качестве когнитивного правила снижает трудности выполнения некоторой цепочки операций. Но его нельзя считать примером творческого принципа, так как он не меняет саму структуру мыслительных процессов, вследствие чего вся так сказать «когнитивная технология» остается прежней.

Имеются свидетельства того, что в Древнем Египте изучалась систематика вычислительных операций. По-видимому, этим занимались писцы, чтобы задавать друг другу «сложные задачи», определяя таким образом уровень математических умений и знаний.

Некоторые задачи египетской арифметики сводились к операции, названной «исчислением кучи» и соответствовавшей решению линейного уравнения с одним неизвестным. Так, в Московском папирусе задача № 19 (она была поставлена примерно за 2000 лет до н. э.) выглядит следующим образом: «Ты считаешь кучу. Сосчитанная полтора раза вместе с 4, она составляет 10. Как ты назовешь кучу?» После этого следуют указания для вычислений. «Определи

величину 10 над 4. Получается 6. Теперь считай с {- ^L , чтобы найти 1. Получается ^2 -. Высчитай теперь -j- от 6. Получается 4 и знай,

==228

что 4 есть имя кучи». Совершенно очевидно, что речь идет в этой задаче о решении уравнения:

Интерес представляет здесь получение 1 на основе подсчета обратной величины к коэффициенту при неизвестном и ее применения в качестве фактора к обеим сторонам уравнения. Складывается впечатление, что приемы «исчисления кучи» возникли из. опыта решения практических задач, связанных с определением различного рода количественных соотношений.

Итак, мы познакомились на ряде примеров с возможностями и ограничениями процедур вычислений, которыми пользовались древние египтяне. Достаточно явно при этом выступила связь обнаруженных ограничений с особенностями представления чисел и числовой системы. Скажем, каким образом можно извлечь из суммы дробей

-,-+/-+—- квадратный корень? Примерно в то же время

математики Вавилона решали задачи извлечения квадратного корня просто играючи. Причины того, что неразрешимая в Древнем Египте задача оказывалась в Вавилоне столь простой, станут нам скоро понятны.

Разумеется, в ряде случаев египтянам удавалось продемонстрировать блестящие достижения своего вычислительного искусства. Одним из таких достижений является вычисление числа p, которое широко использовалось при расчетах, связанных с определением длины окружности и площадей. Приближение египтян было следующим: p-4·(|-) =3,16049.

Это значение было гораздо более точным, нежели соответствующий результат, полученный столь достойными восхищения во всех прочих отношениях математиками Вавилона.

Математические папирусы египтян содержали не одни только. вычисления. Во введении к уже многократно упоминавшемуся папирусу Ринда говорится, что он содержит «правила проникновения в природу и познания всего, что существует, всех чудес... всех таинств...» Приемы счета сами оставались большей частью тайным искусством привилегированной касты. За хорошую службу фараоны жаловали писцам сан бессмертного. Это был ответный подарок, ибо предоставляемые в их распоряжения интеллектуальные знания и опыт укрепляли власть фараонов. Менее значимым было то, имели ли эти знания реальную основу — что позволяло иногда добиваться действительно поразительных результатов (как, например, предсказание наводнения на Ниле с подъемом Сириуса через каждые 365 дней) — или использовались для определения дня принесения жертвы богам перед войной, получая мощное подкрепление в случае успеха военных действий.

В это же время далеко на Востоке, между Тигром и Евфратом,

==229

Шумер был захвачен семитскими племенами аккадов (около 2300 года до н. э.). Старые звуковые знаки шумерской клинописи были использованы в новом диалекте: аккадский язык получил всеобщее распространение, тогда как шумерский остался на столетия языком ученых. В качестве признака владения привилегированным знанием он превратился в отличительный признак касты. По мере концентрации власти вокруг Вавилона старая шумерская система счисления оставалась почти без изменений. Ее полезность и совершенство было одним из факторов, приведших к расцвету и могуществу Вавилонского государства.

ШУМЕР И ВАВИЛОН: ДРЕВНЯЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ПОРАЗИТЕЛЬНЫМИ ВОЗМОЖНОСТЯМИ

Ван дер Варден и другие математики, анализировавшие особенности математического мышления египтян, вавилонян и древних греков, единодушны в том, что египетской математической мысли было свойственно внимание не столько к процедурам оперирования с числами, сколько к самим вычисляемым субстанциям и параметрам: содержимое емкости, потребность в камнях или древесине, необходимых для определенной постройки и т. д. В этом пункте вавилонское мышление отличалось от египетского. Хотя оно и базировалось на исторически более древнем шумерском понятии числа, для него в целом был характерен существенно более высокий уровень развития.

Основой высокого уровня математической культуры Вавилона была своеобразная система счисления. Первоначально у шумеров она была десятичной. Где-то между 3000 и 2800 гг. до н. э. произошла замена этой системы на шестидесятиричную. В период семитизации (2500—2000 гг. до н. э.) она, видимо, уже полностью сформировалась, так как была заимствована аккадами. Как уже отмечалось, семиты сохранили свой язык, но зато переняли шумерскую систему счисления. По-видимому, ее удивительные достоинства были понятны даже относительно менее развитым в культурном отношении завоевателям. Вавилоняне, арамейцы (завоевавшие этот регион в период между 1500 и 1250 гг. до н. э.), а затем вновь вавилоняне и ассирийцы до основателя Нововавилонского царства Набопаласара и Навуходоносора II старательно сохраняли данную систему счисления. Это было время замечательного прогресса в наблюдениях за движениями звезд, затмениями, периодами оиращения планет. В результате таких наблюдений были созданы звездные календари. Вавилонская числовая система утвердилась настолько, что еще во II в. н. э. Птолемей использовал при вычислениям шестидесятиричную систему, а мы до сих пор делим минуту на 60 секунд, час на 60 минут, день в часах состоит из пятой части этого целого, месяц в днях — из половины, а год — примерно из 60 дней, взятых шесть раз.

Каковы же причины такого широкого распространения и устойчивости структур вавилонской математической мысли? Как известно, десятгчччя система покоится на естественном, связанном со схемой

==230

Рис. 67. Первоначальные (вверху) и более поздние (внизу) числовые знаки древних вавилонян.

собственного тела основании. Но почему 60? Почему итерация всякий раз начинается именно после этой границы? Нам придется попытаться хотя бы гипотетически ответить на этот вопрос.

Между вавилонскими и египетскими числовыми знаками есть два различия. На рис. 67 вверху показаны старые (восходящие еще к шумерскому периоду около 3000 лет до н. э.) числовые знаки, а внизу — классические вавилонские клинописные знаки. Верхние выдавливались в мягкой глине с помощью круглого стержня: чтобы получить кружок, надавливали вертикально, для получения полукруга стержень держали наклоненным. Клинопись получалась сходным образом, только стержень имел не цилиндрическую, а призматическую форму (см. рис. 57). При этом можно было получить два базовых знака: 10 и 60. В числах они повторялись, что указывает на двойную группировку. Можно предположить, что десятка была границей группировки при устном наименовании чисел, тогда как цифра 60 играла критическую роль при записи результатов вычислений. Эта вторая граница была отодвинута достаточно далеко, чтобы с учетом имевшихся вычислительных средств обеспечивать максимально наглядное и обозримое представление больших количественных соотношений. Но это еще не главное преимущество. Изучение клинописных чисел обнаруживает использование уже описанного принципа когнитивного сокращения. Имеется знак для 10 (горизонтальный широкий клин) и знак для 60 (вертикальный узкий клин). Можно начинать оперативное конструирование чисел. 10 рядом с 60 дает 600, 10 рядом с 60' ^1 =3600. Здесь появляется символ для обозначения 60 ^2 — венчик из клиньев. Значок 60, вписанный в середину этого венчика, дает обозначения для 60 ^3 =216000 и т. д. Эта упрощенная форма записи чисел не только более удобна, чем древнее! ипетская, но и позволяет сделать следующий шаг. Этот шаг и есть переход к позиционному принципу репрезентации чисел.

Имеющееся в виду различие хорошо видно на рис. 68. Слева показано число в относительно ранней форме клинописной записи. Эта запись распадается на группы: один раз 60 ^3 , пять раз 5· 10· 60 ^2 , четыре раза 60 ^2 , один раз 60, дважды 10 и один раз 1. Справа показана более поздняя запись того же числа, в которой вместо отдельных групп знаки представлены линейно. Вначале использование такой формы записи могло возникнуть совершенно случайно, как результат скорописи. Но, раз возникнув, такая форма

==231

Рис. 68. Две стадии развития позиционной формы записи в истории вавилонской шестидесятиричной системы счисления. Слева — старая форма с группировкой, справа — запись в виде линейной последовательности и факторной функции местоположения знака (по Wussmg, 1962).

записи сразу же закрепилась, так как она обладает тем неоспоримым преимуществом, что сама последовательность знаков или, точнее, позиция знака несет знаковую функцию. Позиция говорит о разряде того или иного числового знака. Справа записывались единицы, затем последовательно различные степени 60. Так, число (1,1,4) означает 3664; (1,4)— 64 и т. д.

Независимо от способа возникновения такая линейная форма записи могла бы быть прямо рекомендована с позиций психологии когнитивных процессов. Речь идет об отображении уровней иерархии в форме строчной записи. Каждый уровень иерархии находит отражение в позиции. Впрочем, рассмотренный способ представления имеет еще один недостаток. Что будет, если число означает не 3664, а 3604? Если первая степень 60 (на втором месте) просто отсутствует? В течение нескольких столетий существования клинописной записи чисел эту проблему пытались решить самыми различными способами: наблюдались частичные возвраты к «кучкованию» (см. рис. 69), вместо отсутствующей степени оставляли пустой промежуток и т. п. Принципиальное решение, используемое до сих пор, было найдено примерно за 700 лет до н. э.: был введен знак ^ , соответствующий нашему нулю. Но данный знак никогда не ставился в конце числового ряда. Это последнее усовершенствование представления чисел было введено индусами и стало известным в Европе через арабов лишь в средние века. Тем не менее именно вавилонянам принадлежит заслуга изобретения позиционного принципа записи чисел. Он открывал путь для исключительно простого представления сколь угодно больших чисел. Точно так же резко облегчалось представление отношений между числами. На рис. 70 воспроизведено изображение плана земельных участков. Числа означают величину площади в целых и дробных единицах измерения, в качестве которых выступало количество семян, необходимых для засевания некоторой единичной площади.

На основе всех приведенных примеров можно смело утверждать, что измерение означает почти то же самое, что и деление. При измерении нас всегда интересует количество некоторых базовых единиц: целое соотносится с социально нормированной частью. Этот процесс и его результаты можно выразить в числах. Так возникают отношения чисел, или дроби. Шестидесятиричная система вновь демон-

==232

Рис. 69. Пример неоднозначности клинописных знаков в шестидесятиричной числовой системе. Написанное число может означать как 3604, так и 60,2 (по Ван дер Вардену, 1959).

стрирует здесь свою эффективность: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30 содержатся в 60 целое число раз. Однако тот, кто хочет измерять, должен уметь оперировать любыми отношениями чисел. Математики Древнего Вавилона преодолели эту трудность с помощью таблиц отношений, многочисленные варианты которых были найдены при раскопках и подвергнуты затем Д. Нейгебауером (Neugebauer, 1935, 1974) детальному анализу. Выбор символов для обозначения дробей также указывает на связь с процедурами измерения (см. рис. 71). В частности, знак для половины представлял собой перечеркнутое пополам старое шумерское изображение меры емкости. Но вернемся к таблицам отношений. Ниже приводится фрагмент такой таблицы, выражение справа записано в шестидесятиричной системе:

Разложение Уд в данной таблице можно, например, пояснить следующим образом: gi3y^-m^--!-^ А 60 3600 360 8

Эту запись можно интерпретировать и другим способом: 0; 7,30 · 8 ^ 1 (то есть 60)

В самом деле, 7·8+30·8·60 ^-1 =60. Таким образом, таблицы отношений оказываются одновременно таблицами умножения. Они содержат как произведения а·Ь~~ ^1 , так и произведения а·Ь. Если необходимо выполнить задачу деления а:Ь, то правило предлагает делать следующее: «Найди обратное значение tr ^1 и умножь его на я». С дробями можно обращаться, как с обычными числами. Преимущества позиционной системы сразу же становятся очевидными: четыре основные арифметические операции могут выполняться по единым алгоритмическим правилам. Какое колоссальное упрощение по сравнению с египетским счетом!

==233

Рис. 70. Древневавилонская схема земельных участков с клинописным указанием имени владельца и площади. Мерой площади при этом служило количество зерна, необходимое для посева (по Wussing, 1962).

Не приходится удивляться, что на основе подобной системы представления чисел и оперирования с ними впервые в истории человечества предметом мыслительной деятельности стали сами количественные соотношения и математические процедуры без обязательного учета стоящих за ними свойств реальности. В результате были открыты совершенно новые аспекты математических структур и отношений между ними. Действительно, именно в это время впервые появляется нечто вроде арифметики, алгебры и геометрии. Приведем только один пример, характеризующий особенности математического мышления в период около 1000 лет до н. э.

Этот пример взят из древневавилонского текста. На рис. 72 схематически представлена описываемая ситуация. Сам текст означает примерно следующее: «Есть балка длиной 0;30. Ее верхний конец поднят на 0;6. Как далеко он удален внизу от основания?» Итак, задан прямоугольный треугольник с известными гипотенузой (я) и катетом (и). Второй катет вычислялся так же, как это несколько столетий спустя делал Пифагор: b^T^-h ^2 . В клинописных вавилонских текстах описаны различные «пифагоровы числа» ^1 , например, 3:4:5; 5:12:13;8:15:17;20:21:29 и др.

^1 «Пифагоровыми числами» называется любая тройка целых чисел, выражающих длины сторон прямоугольного треугольника. — Прим. ред.

==234

Рис. 71. Вавилонские знаки дробей. Выбор именно этих знаков обусловлен пиктографическим сходством с операцией деления объема, осуществлявшейся при измерении количества зерна, воды и т. д. (по Wussing, 1962).

Рис. 72. Схематическое изображение, найденное в одном из древневавилонских математических текстов. Из сопутствующего описания однозначно следует, что речь идет об алгоритме вычисления стороны прямоугольного треугольника по двум другим его сторонам. Вполне возможно, что Пифагор познакомился с этим приемом во время одной из своих поездок h:i Восток.

О высоком развитии математики Древнего Вавилона говорит широкое использование значительно облегчавших вычисления вспомогательных таблиц (произведений, обратных значений, квадратов, кубов, квадратных и кубических корней, степеней данного числа, чисел вида n ^3 + п ^2 и т. д.). Сохранившиеся тексты свидетельствуют о том, что вавилоняне умели приближенно извлекать квадратный корень. Судя по всему, им был известен итерационный метод, согласно которому, если за первое (недостаточное)

значение ~/A ^! =^/a ^2 +r (где а ^2 — наибольший целый квадрат, содержащийся в А) взять ai = а, а в качестве избыточного значения принять hi = А / ai, то второе приближение дается средним

а\+ b\ арифметическим а; = —-—— · fwwo-

гично^^,^ ^0 -!^ ....где

Ьч=А1иг, Ь^А/а^... Вероятно, таким способом было получено вавилонское приближенное значение •\/~i= 1,24,51,10 (в шестидесятиричной системе). Замечательным достижением вавилонской математики является создание числовой алгебры. Тексты многочисленных клинописных табличек показывают, что суще-

==235

ствовали хорошо разработанные приемы решения задач, сводящихся к линейным, квадратным и даже к кубическим и биквадратным уравнениям. Решались также системы линейных уравнений с двумя неизвестными.

Перед лицом этих достижений становится понятным, почему с помощью вавилонских математических структур оказался возможен выход за пределы, казалось бы, столь прочных познавательных рамок архаического мышления. Данная система счисления открывает путь к познанию глубинных взаимоотношений и причинно-следственных связей, лежащих за поверхностью событий и явлений. Это путь к познанию законов природы. Важнейшей проверкой эффективности вавилонской числовой системы явилось представление результатов астрономических наблюдений. Именно здесь, как хорошо известно, использование шестидесятиричной системы счисления сохранилось до наших дней.

Но, разумеется, речь идет в данном случае лишь о самом начале долгого развития, направленного на преодоление недостатков архаического мышления. Этот процесс продолжается до сих пор. Слабым местом структуры вавилонской математики было, например, отсутствие нуля. Так, клинописные знаки, изображенные на рис. 69, могли бы означать (в десятичной системе записи) либо 3604, либо 60,2. По-видимому, однозначность должна была каким-то образом возникать уже в ходе практического использования этих чисел. Но разгадка тайны того, как это делается, утрачена вместе с исчезновением самих «пользователей» вавилонской системы счисления. Идеологическим тормозом развития наук, в частности астрономии, было представление о божественном происхождении целых чисел. Так, например, считалось, что год должен продолжаться 360 дней. Было потрачено значительно больше времени, ума и сил на объяснение отклонений от этой величины, чем на точные измерения фактической продолжительности года. Отношение длины окружности к диаметру принималось равным 3. Это приближение, конечно, далеко не соответствовало вычислительным возможностям вавилонской математики. Но для примерного разделения обода колеса и расположения шести спиц такая степень точности была, вообще говоря, достаточной.

Последний пример еще раз показывает, каким образом начинают расходиться пути практического и математического мышления. Определение отношения длины окружности к диаметру с достаточной для практических целей точностью — это одно, определение же этого отношения в принципе, для любых окружностей — совсем другое. Стремление к такой универсальности при анализе математических, научных и общечеловеческих проблем было характерной чертой выдающихся мыслителей Древней Греции.

==236

1-2-3-4-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-28-29-