МАТЕРИЯ И МЫШЛЕНИЕ

Перевод с французского Т. Б. Ворожцовой, А. Р. Логунова

Москва · Ижевск 2004

JEAN-PIERRE CHANGEUX ET ALAIN CONNES

MATIERE A PENSEE

УДК 530

Интернет-магазин

http://shop.rcd.ru

• физика

• математика

• биология

• нефтегазовые технологии

Шанже Ж.-П.[Г] Конн А.

Материя и мышление. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004, 216 с.

Настоящая книга представляет собой фундаментальный труд по основам нелинейной динамики хаотических и стохастических систем. Книга содержит исчерпывающее введение в теорию динамических и стохастических систем и детальный анализ современных результатов, полученных, в основном, авторами. Каждая из глав книги построена таким образом, что может изучаться независимо от других. В частности, каждая глава имеет свой собственный список литературы.

Все это позволяет использовать предлагаемую книгу в качестве учебника для студентов и аспирантов физико-математических специальностей (глава 1), а также специалистам в области нелинейной динамики детерминированных (глава 2) и стохастических (глава 3) систем.

ISBN 5-93972-296-2

© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004 © Editions Odile Jacob, octobre 1989

http://rcd.ru http://ics.org.ru

Оглавление

Предисловие ............................. 7

Математика и мозг......................-. . . . 10

1. Введение...................... ....... 10

2. Пересмотр иерархии наук .................. 13

3. Изобретение или открытие?................. 17

4. Об историческом аспекте математики........... 26

5. Не является ли математика просто языком?....... 30

Материалист ли Платон?...................... 33

1. Интеллектуальная аскеза материалиста.......... 33

2. Математический психоанализ................ 38

3. Являются ли математические объекты типичными культурными репрезентациями? ................. 41

4. Математические объекты и дарвинизм .......... 44

5. Вера в математику....................... 47

Природа, одетая по мерке..................... 50

1. Конструктивистская математика .............. 50

2. Поразительная эффективность математики........ 56

3. Эйнштейн и математика.................... 61

4. Польза от математических моделей в биологии..... 67

5. Квантовая механика: первичный осмотр ......... 74

Нейронный математик....................... 85

1. Озарение............................. 85

2. Мозг и многочисленные уровни его организации .... 92

3. Клеточный уровень....................... 99

4. От элементарных систем к мысленным объектам .... 106

5. Нейропсихология математики................ ИЗ

6. Переход с уровня на уровень посредством вариации-селекции ............................. 116

7. Ментальный дарвинизм и математическое творчество . 124

6 ОГЛАВЛЕНИЕ

Дарвин и математики........................ 130

1. Полезность дарвиновской схемы.............. 130

2. Кодирование устойчивых форм............... 134

3. Организация долговременной памяти........... 146

4. Рассуждение по аналогии................... 149

5. Последовательность репрезентаций и рамки мышления 151

6. Естественный отбор среди математических объектов . 154

Мыслящие машины.........................160

1. Разумные машины?.......................160

2. Теорема Гёделя.........................161

3. Мыслящая машина Тьюринга................168

4. Теория 5-матрицы в физике — функционализм в психологии? ..............................171

5. Мозг человека как компьютер................174

6. Машина — страдающая и способная на самооценку . . 177

Вопросы этики............................185

1. В поисках природных обоснований этики.........185

2. Общественная жизнь и лобная доля............190

3. Просоциалъное поведение ребенка и культурный отпечаток ..............................194

4. Функции морали ........................196

5. О морали естественной, рациональной и изменяемой . 198

6. «Распространение сопереживания» и эстетическая функция .................................200

7. Этика и математика ......................207

Литература..............................209

Предисловие

Математики, в общем, неплохо ладят с биологами. Но они мало говорят друг с другом. Их знания и устремления настолько далеки, что диалог кажется невозможным. И все же игра стоит свеч. Никто не станет отрицать, что математика — продукт мозговой деятельности человека. Однако ни одна из машин, созданных человеком, еще не смогла воспроизвести мыслительные и изобретательные способности нашего мозгового аппарата. Случится ли это когда-нибудь? Возможно ли материальное воплощение искусственного интеллекта? Таков центральный вопрос, поднимаемый в книге.

Прежде чем ответить на этот вопрос, необходимо дать определение математики. Какова природа математических объектов? Существуют ли они независимо от человеческого мозга, который их просто открывает? Или, наоборот, они являются всего лишь продуктом мозговой деятельности и вне мозга не существуют? Благодаря последним достижениям нейронаук — или наук о нервной системе, — заложенные еще «Диалогами» Платона основы пополняются новыми данными.

Математика одинакова и в Париже, и в Москве, и в Сан-Франциско. Однако может ли она стать тем универсальным инструментом, который позволит нам общаться с гипотетическими обитателями других планет?.. Конечно, эффективность, с которой математика описывает окружающий нас мир, такова, что эффективность эту называют порой непостижимой. Но, может быть, это лишь результат эффекта фасцинации ^1 , который производит на своего создателя — постфактум — созданный им объект? Математик в роли Пигмалиона?

Ответы на эти вопросы большей частью нужно искать в исследованиях организации мозга и его функционирования. Представляя собой, вне всякого сомнения, систему нейронов необычайной сложности, своими исключительными свойствами мозг обязан

^асцинация (психол.) — очарование, привлекательность, притягательность. — Прим. перев.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ

принципам своего строения и элементарным функциям, которые сейчас активно пытаются анализировать анатомы и физиологи, результаты же этого анализа, в свою очередь, призваны вдохновить инженеров на создание в недалеком будущем подобных мозгу машин. Но упомянутые свойства мозга обусловлены также и тем, что мозг по своей природе является эволюционирующей системой. Каждый знаком с теорией Дарвина об эволюции живых видов. Гораздо менее распространена идея о том, что формирование мозга в период внутриутробного развития и после рождения представляет собой все тот же эволюционный процесс, во время которого происходит естественный отбор среди соединений нервных клеток. И этот отбор продолжается при посредстве других эволюционных процессов на более высоких уровнях организации — процессов, которые могли бы объяснить, как развивается мысль или математическое рассуждение, а может быть, и саму работу воображения...

Наконец, развитие как математики, так и нейронаук приводит к тому, что их результаты приобретают с каждым днем все большее социальное значение. Возникают этические проблемы. Не выяснить ли нам прежде, что же это вообще такое — этика? Может ли мораль базироваться на природных основаниях, которые следует искать в функционировании человеческого мозга в социуме? Может ли этика опираться на универсальные принципы, подобные математическим ?

Книга построена в форме диалога. Поставив перед собой все вышеперечисленные вопросы, мы поняли, что ни один из нас не располагает достаточными познаниями в области специализации собеседника, — по крайней мере, достаточными для того, чтобы самостоятельно предлагать какие-то решения. Однако главная причина заключается в том, что диалог позволил каждому из нас яснее изложить свою точку зрения. По некоторым вопросам наши позиции сходятся, по другим — и довольно существенным — вопросам мы не можем прийти к согласию. Вопросы при этом остаются открытыми, что позволяет третьему лицу, читателю, быть свободным в выборе собственной позиции и следить за мыслью, соглашаясь — или не соглашаясь — с любом из собеседников.

Вопросы этики, которыми заканчивается данная работа, представлены в иной форме, нежели первоначальный диалог. Оказалась, что для их рассмотрения необходима некая отстраненность, присущая письменному тексту. Каждый из нас пожелал изложить

ПРЕДИСЛОВИЕ 9

свои краткие размышления в письменном виде, что, возможно, составит прелюдию к будущей работе.

Мы благодарим Кристофа Гиа за предельную тщательность в расшифровке магнитофонных записей и Жана-Люка Фиделя за редактирование окончательного варианта текста. Наконец, мы глубоко признательны Одиль Жакоб за тот интерес, который она с самого начала проявила к такому обмену идеями, и за те условия и удобства, которые она нам создала.

Жан-Пьер Шанжё, Ален Конн

Математика и мозг

1. Введение

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Прежде чем мы приступим к обсуждению нашего первого важного вопроса о природе математических объектов, я хотел бы попытаться объяснить, что же заставило нас обратиться друг к другу.

Мне видится много точек пересечения биологии и математики. Мои первые встречи с математикой — в лицее и на подготовительных курсах в высшую школу — не были легкими. Биологию же преподаватели систематически обесценивали, подобное отношение мы находим и в работах именитых математиков. Например, Рене Том однажды писал: «развитие биологии не привнесло каких-либо радикальных изменений в то, что касается здоровья и продолжительности жизни» [100, с. 50] и «биологи не нуждаются в теории» [там же, с. 46]. В этом я вижу желание принизить значение биологии, каковое желание можно объяснить естественной склонностью математиков отдавать приоритет быстрому пониманию в ущерб неторопливому размышлению — более обобщающему, более изобретательному, а порой и более глубокому. Моя первая реакция на это была довольно враждебной. Но за ней, несомненно, скрывалось желание внести свой вклад в математику и принять более активное участие в математической жизни.

И только начав исследовательскую работу в области молекулярной биологии, а затем и в нейробиологии, я пришел к достаточно конкретному использованию математического инструментария. В этом отношении потрясающим учителем для меня был Жак Моно. Вместе с ним я смог разработать несколько моделей в молекулярной биологии, связанных, в„ частности, с аллостерическими протеинами [82, с. 88-118], молекулами, отвечающими за регуляцию. В данном конкретном случае математика помогла нам оформить наши идеи и сформулировать количественные предсказания. Сегодня в моей работе нейробиолога математический инструмен-

1. ВВЕДЕНИЕ 11

тарий представляется мне необходимым при построении рациональных моделей функций мозга. Впрочем, сейчас на пересечении науки о нервной системе, психологии и математики начинает развиваться новая область исследований — когнитивные науки или науки о мышлении. Теперь дальнейший прогресс будет зависеть от тесного сотрудничества теоретиков и практиков.

Говоря в общем, интерес к математике пробудила во мне необходимость понять процессы формирования мозга и способы использования им математических объектов, т.е. разобраться в отношениях между математикой и мозгом. Один только этот вопрос служит достаточным обоснованием нашей встречи.

Однако математика играет центральную роль в жизни социума. Для западной культуры характерно в некотором роде мифическое представление о математике: практически трансцендентная вера в ее объяснительную силу, восходящая, возможно, еще к Пифагору. Для многих вполне достаточным «объяснением» может служить описанная в математических терминах синтаксическая структура или отношения родства. Все чаще на практике компьютеры и их приложения отдают математике единую все возрастающую власть. А не вызван ли недавний крах на Уолл-стрит «запрограммированным поведением» компьютеров, которые действовали в интересах по возможности наибольшей «прибыли» своих клиентов? Похоже, компьютер норовит заменить мозг... не обладая при этом его качествами! Эта проблема, второстепенная по отношению к нашей научной деятельности, должна заставить нас задуматься над отношениями математики и этики, задав себе вопрос, возможно ли создать такую универсальную этику человеческих обществ, которая опиралась бы на строгие математические основы. Дополняет ли этот подход исследования нейронных основ этики или кардинально противоположен им? Таковы мои мотивы как биолога. Что скажешь ты?

АЛЕН Конн: Скажу, что к вопросу об отношениях между математикой и мозгом и о природе математических объектов я отношусь с большим энтузиазмом.

Говоря об извечной оппозиции математики и биологии, ты процитировал Рене Тома. Несомненно, это оригинальный ученый. Но, мне кажется, не следует относиться к нему как к выразителю общего мнения всех математиков. Вспомним лучше об Израиле Гельфанде. Его влияние на математику очень велико. А ведь большая часть его научной деятельности связана с биологией.

12 МАТЕМАТИКА и мозг

Больше половины его статей посвящены этой дисциплине, кроме того, он ведет два семинара, один по математике, другой по биологии.

Что же касгштся меня, то, прочтя твою книгу «Нейронный человек», я понял, что сегодня ученые располагают весьма точными сведениями о функционировании мозга. Особенно меня поразили перцептивные карты, которых у человека гораздо больше, чем у других животных. Эти карты устанавливают связь между сетчаткой и отделами мозга, заведующими разными функциями. Также на меня произвели огромное впечатление опыты Шепарда [93, с. 701-703]. Если попросить испытуемого определить, переходит ли один объект в другой путем вращения в трехмерном пространстве, то время ответа, как показывает эксперимент, пропорционально величине угла необходимого поворота. То есть функционирование мозга подчиняется и законам физики. Однако более важным мне кажется то, что для изучения мозга необходимо выйти за рамки непосредственно биологии. И математика предоставляет для этого самую благоприятную почву из всех возможных. Потому что она абсолютна, универсальна, а значит независима от всяческих культурных влияний.

Ж.-П. Ш.: То есть ты принимаешь точку зрения...

А. К.: Мне кажется, что способ выражения того или иного понятия на разных языках зависит от весьма неопределенных параметров, поскольку они находятся под влиянием культуры. И напротив, математические объекты — что я и хотел подчеркнуть — обладают гораздо большей определенностью. Они очищены от этой культурной оболочки и должны, таким образом, оказаться более подходящими в смысле понимания функционирования мозга.

Впрочем, мой подход, естественно, небескорыстен. Мне бы хотелось побольше узнать о биологии, чтобы сделать из этого некоторые выводы. Твоя книга заставила меня задуматься о том, каким образом мозг принимает новую теорию или осваивает новый род деятельности, — например, игру в шахматы или на фортепиано. Мне пришлось пересмотреть некоторые из своих вполне оформленных идей об обучении и исправить некоторые неточности. Например, когда математик работает в области, которая не является ни сложной, ни обширной, он вполне может попутно освоить соответствующую технику. Математика очень абстрактна. Математик может решить, что нужную ему технику он уже освоил раз и навсегда, может в любой момент ей воспользоваться, поэтому рабо-

2. ПЕРЕСМОТР ИЕРАРХИИ НАУК 13

тать больше не обязательно. Твоя же книга помогла мне понять, что умения могут локализоваться в каких-то определенных зонах мозга: если система нейронов время от времени не возбуждается употреблением соответствующей техники, она отмирает.

Ж.-П.Ш.: То есть существуют некие материальные следы, образуемые прежним математическим опытом.

А. К.: Точно так. Необходимо время от времени открывать ящички, закрытые давным-давно. Иначе явная бесполезность их содержимого приведет к постепенному разрушению этого самого содержимого.

2. Пересмотр иерархии наук

Ж.-П.Ш.: Я бы хотел, чтобы в нашей дискуссии мы затронули три темы: прежде всего отношения математики с другими науками, далее вопрос о реализме и конструктивизме и, наконец, отношение чисел и опыта.

Что касается статуса математики по отношению к другим наукам, то здесь противопоставляются два положения: Декарта-Лейбница и Дидро. Для первых математика представляет мир в истинном свете и позволяет объединить между собой все науки. Каким бы ни был изучаемый объект, он всегда приведет к математике! Дидро же, несмотря на то, что был близок к таким выдающимся математикам, как д'Аламбер, отвергает это положение. Он утверждает, что математика не дополняет опыт, она лишь «создает завесу между природой и людьми»! Фрэнсис Бэкон еще в 1623 году писал: «... я не знаю, как получается так, что логика и математика, которые должны быть не более чем служанками физики, пусть и гордыми порой своею точностью, непременно желают физикой управлять» [1, с. 103].

А. К.: Многие сейчас склонны — и не без оснований — воспринимать математику как некий язык, необходимый для формализации практически всех остальных наук. Неважно, количественная это формализация или качественная, она всегда должна происходить при помощи математики.

Ж.-П. ILL: Примерно об этом и говорят Декарт и Лейбниц.

А. К.: Да, но они добавляют, что все, в конце концов, приходит к математике. Есть одна история, которую очень хорошо знают физики и которая заставляет задуматься об обратном. У од-

14 МАТЕМАТИКА и мозг

ного физика, приехавшего на конференцию, за неделю накопилось много грязного белья. Он отправился на поиски прачечной. В конце концов, прогуливаясь по центральной улице города, он заметил лавку, на вывеске которой было написано «Бакалея — Булочная — Прачечная». Неся в руке пакет с грязным бельем, физик зашел в лавку и спросил, к какому сроку они смогут выстирать его белье. Хозяин лавки, математик, ответил ему: «Мне очень жаль, но мы не стираем белье». «Как же так, удивился физик, на вашей вывеске написано "прачечная"!» Математик ответил ему: «Мы не стираем... мы вывески продаем!» Физик ушел и выстирал свое белье сам. Как показывает эта история, слова — это еще не все! Физики используют математику как язык, но фактическое содержание их науки не ограничивается одной лишь математикой.

Ж.-П. Ш.: Математика — это язык. Очень строгий, но все же язык, ни больше, ни меньше.

А. К.: Однако физические статьи не ограничиваются одними лишь математическими выражениями. Физические гипотезы часто не имеют четкой формулировки и происходят от так называемой «физической интуиции». Такие гипотезы позволяют физикам, в частности, не учитывать некоторые величины или делать приближения, о которых математику сложно было бы догадаться. К примеру, понадобилось всего лишь двадцать лет (1930-1950), чтобы физики смогли разработать метод перенормировки в теории поля. Суть его заключается в вычислении возмущения, все члены которого, начиная со второго порядка, дают расходящиеся интегралы. Физики [4, с. 339], вдохновленные необычайной точностью экспериментальных результатов, полученных в спектроскопии в конце 40-х годов (тонкая структура спектра испускания атомов) [69, с. 241], безуспешно пытались получить из этих расходящихся интегралов осмысленный конечный результат. Для этого они свели область интегрирования к энергиям порядка гас ^2 , где га — масса электрона, а с — скорость света. Благодаря такому ничем не обоснованному усечению, они получили окончательный результат, очень близкий к результатам эксперимента. Эта методика была постепенно усовершенствована· Томонагой, Швингером, Фейнма-ном и Дайсоном вплоть до достижения практически полного согласия с экспериментальными результатами — соответствующую погрешность можно получить, измерив расстояние между Парижем и Нью-Йорком с точностью до толщины человеческого воло-

2. ПЕРЕСМОТР ИЕРАРХИИ НАУК 15

са. Какова же в этом умозаключении роль физической интуиции? Суть механизма перенормировки заключается в том, что в процессе вычислений масса электрона заменяется величиной, которая зависит от значений рассматриваемых энергий, причем расходится, когда эти значения стремятся к бесконечности. Для сравнения возьмем очень простой пример. Вычисление по закону Архимеда ускорения заполненного гелием шара, отрывающегося от земли в момент Т = О, не даст тех результатов, что мы наблюдаем в действительности. На практике присутствие поля окружающего шар воздуха требует при вычислении замены реальной массы шара его эффективной массой, которая значительно больше. Исходя из этого примера, можно предположить, что помещенный в электромагнитное поле электрон обладает эффективной массой, которая существенно отличается от его «реальной» массы — той, что входит в математические уравнения. На основании этого интуитивного предположения физикам удалось разработать метод перенормировки, который, разумеется, получил впоследствии строгую математическую формулировку. Столкнись с той же самой проблемой математики, вряд ли они пришли бы к такому решению. Физическая интуиция позволяет ученым достаточно свободно обращаться с требованиями математической строгости. К примеру, интеграл Фейнмана на данный момент не соответствует никакому математическому объекту, что ничуть не мешает ему являться хлебом насущным для физиков-теоретиков.

И все же было бы неверно думать, что по отношению к физике математика играет лишь роль средства выражения результата. Когда теория находится в стадии разработки, на зачаточном уровне, математика действительно выполняет эту функцию. Но на более поздних этапах, как в случае квантовой механики, решающую роль начинает играть генеративный характер математики. Разве не замечательно, что периодическую таблицу химических элементов Менделеева можно восстановить при помощи уравнения Шредингера и принципа исключения Паули? Вот почему математик думает, что физику можно свести к определенному количеству уравнений. Однако очень часто прийти к этим уравнениям помогает именно интуиция физика.

Ж.-П. Ш.: Ты хочешь сказать, что экспериментальный контекст в физике позволяет создавать математические объекты. Ведь уравнения не падают с ясного неба. Уравнение изначально присутствует в истории отношений физика с объектом исследования.

16 МАТЕМАТИКА и мозг

По мере продвижения физик постепенно разрабатывает математический инструментарий, адаптированный к поставленной задаче.

А. К.: Это еще не все. Математик может преуспеть и в манипуляции объектами, имеющими тот или иной физический смысл. Но если математик не отдает себе полного отчета в том, откуда и как эти объекты взялись, то он может с большой легкостью наделать ошибок, которых физик никогда не совершит. Утверждение о том, что математика предлагает язык, который способен точно описать то, что открывают физики, представляет собой проявление этакого непомерного авторитаризма. Физики неохотно формулируют свои предположения в манере, достаточно точной с математической точки зрения, опасаясь их обеднить. И наоборот, некоторые последние успехи [87] в интерпретации квантовой механики показывают, что попытка математической формализации может помочь избежать парадоксов, часто возникающих вследствие неадекватности используемого физиками языка или недостаточного внимания к собственно логике.

Ж.-П. Ш.: То есть язык математики — язык аутентичный. Но является ли он при этом и единственным?

А. К.: Это единственный универсальный язык. Вне всякого сомнения. Чтобы понять это, вообразим, что нам предстоит вступить в контакт с какой-либо иной разумной формой жизни, обитающей на другой планете и вообще в другой солнечной системе... Что мы должны предпринять? Естественно, те «люди» не говорят ни на одном известном нам языке и, возможно, даже не обитают в кислородно-азотной атмосфере, проводящей звуки нашей речи.

Ж.-П. Ш.: Однако для того, чтобы вступить в общение с ними, необходимо, чтобы их математика была такой же, как наша.

А. К.: В этом я убежден... Я даже думаю, что именно математика и будет в данном случае лучшим средством коммуникации. Мы передадим им последовательность целых чисел, например, от 1 до 1000. Передачу построим следующим образом: сигнал, затем длинная пауза, за ней два сигнала и длинная пауза, потом три сигнала и длинная пауза и т. д. Далее сообщим им правила сложения. Модулировать при этом мы можем только количество сигналов и разделяющий их временной интервал. Например, чтобы передать 3-1-2 = 5, мы должны составить следующее послание: три последовательных сигнала, пауза, два последовательных сигнала, двойная пауза, пять сигналов. Разумеется, очень важно добиться того, чтобы послание не было двусмысленным. Так можно будет

3. ИЗОБРЕТЕНИЕ или ОТКРЫТИЕ? 17

сообщить им таблицу сложения и таблицу умножения в каких-то разумных пределах. Главная сложность заключается в том, чтобы убедиться, что они поняли смысл послания. Для этого можно отправить им, скажем, незаконченный пример на сложение. Вполне может быть, что ответа придется ждать тысячелетиями. И тем не менее, положительный ответ станет неоспоримым доказательством существования иного разума за пределами нашей солнечной системы. Доказательством более основательным, нежели идущие из межзвездного пространства периодические сигналы, — наподобие тех, что очень изумили астрономов, открывших первые пульсары. На более высоком уровне мы могли бы сообщить им начало последовательности, например от 1 до 1000, и попросить их продолжить ряд.

Ж.-П. Ш.: Здесь есть риск очень долго прождать результата. И даже если такая коммуникация состоится, то что это докажет? Ты утверждаешь, что эти «люди» «не говорят ни на одном известном нам языке», и в то же время пользуются той же математикой, что и мы. Боюсь, что с этим я согласиться не могу. По всей видимости, многие фундаментальные процессы в мозге человека не зависят от того, на каком языке он говорит, включая и язык математики. Если наши инопланетяне пользуются «человеческой математикой», то у них должны быть схожие с человеческими мозг и нервная система!

3. Изобретение или открытие?

Ж.-П. Ш.: Вернемся к разговору о природе математических объектов. Существуют две диаметрально противоположные позиции: «реализм» и «конструктивизм». Для «реалиста», мировоззрение которого восходит непосредственно к Платону, мир наполнен Идеями, реальность которых отлична от реальности осязаемой (см. рис. 1). Многие из современных математиков считают себя «реалистами». Дьедонне, например, пишет в своей книге: «Довольно сложно описывать взгляды этих математиков, особенно если учесть, что взгляды эти от работы к работе меняются. «Реалисты» полагают, что математические объекты обладают некоей собственной «реальностью», отличной от реальности осязаемой (быть может, похожей на ту, которой Платон наделял свои «Идеи»?)». Один математик, не менее известный, чем Кантор, как-то писал:

Рис. 1. Гравюра XVII века, иллюстрирующая на аллегории Пещеры знаменитый пассаж Платона о Республике. Сократ и Глаукон беседуют о «реальности» отбрасываемых на стену пещеры теней по отношению к реаль-

ности объектов, эти тени отбрасывающих. Для Платона видимое есть лишь тень реальности, идеи же обладают независимой от остального мира экзистенцией. (Французская национальная библиотека.)

20 МАТЕМАТИКА и мозг

«Возможность сотворения бесконечного множества есть проявление наивысшего совершенства Господа, исток же этого совершенства в Его безграничной благости». И тут мы глубоко погружаемся в mathesis divina ^1 — иначе говоря, в совершенную метафизику! Чем и поражают работы серьезных ученых. Еще Декарт обращался к метафизике, размышляя о геометрии: «... когда я представляю себе треугольник, — писал он, — подобной фигуры, быть может, не существует более нигде в мире вне моей мысли, быть может, ее и вовсе никогда не существовало, что не мешает ей, тем не менее, обладать некоей определенной природой, формой, или сущностью, которая неизменна и вечна, которую я отнюдь не выдумал, которая никоим образом не зависит от моего разума» [25, с. 311]. Для «конструктивистов» математические объекты — это объекты разума, существующие исключительно в разуме математика. Не в платоновском мире, независимом от материи, а только в нейронах и синапсах математиков, эти объекты порождающих, равно как и тех, кто упомянутые объекты воспринимает и использует. Ту же точку зрения — естественно, доведенную до крайности — мы находим у философов-эмпириков, таких, как Локк или Юм. Последний писал, к примеру, что «все наши идеи суть оттиски наших впечатлений». Он полагал, что все геометрические объекты происходят исключительно из опыта. К какой из этих двух противоположных точек зрения ты бы отнес себя?

А. К.: Мне кажется достаточно близкой позиция реалистов. Последовательность простых чисел, например, обладает для меня куда более прочной реальностью, нежели окружающая нас реальность материального мира. Математика можно сравнить с путешественником, открывающим мир. В процессе практической деятельности он обнаруживает всевозможные «сырые» факты. Например, производя элементарные вычисления, математик замечает, что последовательность простых чисел, судя по всему, не имеет конца. Далее ему необходимо доказать, что ряд простых чисел действительно бесконечен. Этот результат был получен еще Евклидом в глубокой древности. Если же кто-то возьмется утверждать обратное, представив якобы самое большое простое число, то будет очень легко доказать, что он не прав. Таким образом, нам

^1 От греч. mathesi*s «учение, знание» и лат. divinum «божественное». — Прим. перев.

3. ИЗОБРЕТЕНИЕ или ОТКРЫТИЕ? 21

открывается реальность столь же несомненная, как и реальность материального мира.

В поисках математической реальности математик создает «мысленный инструментарий». Этот инструментарий не следует путать с самой математической реальностью. Например, десятичная система — привычный нам инструмент мысли, но было бы ошибочно приписывать какой-то иной смысл десятичным цифрам, составляющим какое-либо число. Скоро мы будем праздновать наступление 2000 года. Значимость этого числа — сугубо культурный феномен. Для математика число 2000 не представляет никакого интереса. Из всех методов, которыми располагает математик для изучения математической реальности, я бы выделил аксиоматику. С ее помощью можно ставить задачи по классификации математических объектов, определяемых некоторыми простыми условиями. Мы можем, например, точно определить количество конечных тел. Конечное тело есть конечное множество, в котором выполняются законы сложения и умножения, в соответствии с которым у каждого ненулевого числа имеется число обратное. Правила, удовлетворяющие закону сложения и умножения, совпадают в данном случае с знакомыми нам правилами для сложения и умножения целых чисел. Можно доказать, что для каждого простого числа p и каждого целого числа n существует некоторое конечное тело, причем одно-единственное, содержащее р ^п элементов. Раз у нас есть такие теоремы, это означает, что хотя бы одна область математики уже исследована во всех даже самых дальних ее закоулках — по крайней мере, в том, что касается перечня возможных объектов. И все это без опоры на материю.

Ж.-П.Ш.: А мне, напротив, кажется, что математические объекты существуют в твоем мозгу физически. Ты внутренне исследуешь их в процессе осознания, в физиологическом смысле этого слова. Если ты можешь изучать их свойства, то только потому, что объекты эти обладают физической реальностью. Ты упоминал об эксперименте с мысленным вращением объектов [93, с. 18], которое обрабатывается мозгом физически. Наш мозг — это сложный физический объект. В этом качестве он создает «представления», отождествляемые с физическим состоянием. Математические же объекты могут стать в голове математика объектами материальными — иначе говоря, «мысленными объектами» [9] со свойствами, которые можно анализировать посредством мыслительного процесса (рефлексии). С помощью этого процесса можно вызывать

22 МАТЕМАТИКА и мозг

и другие, более обыденные, математические объекты, которые ты называешь инструментами. Не думаю, что они имеют совершенно разную природу, несмотря на разный уровень их сложности и абстрактности. Наконец, работа математика требует от мозга способности к рассуждению, к осуществлению логических построений, что, на мой взгляд, непосредственно связано с организацией нашего мозга, и эта способность уже должна была существовать, по крайней мере, частично, в те времена, когда Homo erectus развивал стратегии обработки каменных орудий (см. рис. 2). Упомянутые «математические объекты» отождествляются с физическими состояниями нашего мозга таким образом, что мы, в принципе, можем наблюдать за ними извне, благодаря методам визуализации работы живого мозга. На данном этапе разрешающая способность этих методов еще недостаточна, чтобы использовать их максимально эффективно, однако сама идея, несомненно, заслуживает внимания.

А. К.: Если мы признаем существование некоей математической реальности, независимой от человека, то необходимо четко отделить эту реальность от способа ее постижения. Ясно, что для восприятия этой реальности наш мозг использует собственную физическую систему визуализации — по крайней мере, для восприятия обычной геометрии, в основе которой лежат действительные числа и евклидово пространство. Тем не менее, вооружившись аксиоматическим методом, не говоря уже о других, математик может решиться выйти за пределы этой всем известной области. Как же функционирует в тех неизведанных краях система мысленной визуализации? Рассмотрим один пример. К настоящему моменту уже создана полная классификация локально компактных полей. Такие поля мы умеем точно определять — иначе говоря, мы способны определять математические объекты, в пределах которых действуют законы сложения и умножения, а каждое ненулевое число имеет обратную величину, причем объекты эти локально компактны. Нам известна действительная прямая, на которую опирается вся физика. Однако имеются еще и такие весьма странные поля, которые мы называем р-адическими (см. рис. 3). До сих пор они еще ни разу не помогли решить ни одну физическую задачу. Однако они существуют и параметризуются простыми числами таким образом, что каждому простому числу соответствует некоторое р-адическое число. Нам известны также малые вариации этих полей, называемые алгебраически-

3. ИЗОБРЕТЕНИЕ или ОТКРЫТИЕ?

23

Рис. 2. Предки Homo sapiens разрабатывают способы обтесывания каменных орудий труда, требующие одновременно известной точности движений и высокой степени предвидения в ходе ручной работы. Способности к логическому представлению и рассуждению были уже очень развиты у того Homo erectus, который изготовил эти орудия и приручил около 400000 лет назад огонь... Судя по легкой асимметрии между отпечатками правого и левого полушарий на костях черепа, Homo erectus уже пользовался речью [70].

24 МАТЕМАТИКА и мозг

ми расширениями: поле комплексных чисел, другие алгебраические расширения r-адических полей и, наконец, поля формальных степенных рядов над конечными полями. Физическое применение находит только одно, или, скорее, два из всех этих полей: действительное и комплексное. С такими числами, как р-адиче-ские, можно производить вычисления. Однако выглядит все это так, словно вместо того, чтобы считать слева направо, мы считаем справа налево. Понятия разрядности и значения числа здесь не соответствуют нашему привычному представлению об этих понятиях. Такие вычисления может с одинаковым успехом производить как компьютер, так и человеческий мозг. Вот только сложно найти достаточно простую физическую модель, способную выступить в качестве основы для мысленной визуализации этих вычислений. Мне, впрочем, думается, что мозг с его способностью к адаптации вполне может сформировать интуитивное представление, не имеющее никакой связи с физической реальностью, но адекватное для решения поставленных математических задач.

Ж.-П.Ш.: Мне кажется, ты не проводишь достаточно четкой грани между собственно математическими объектами и их свойствами. Эти объекты представляют собой «новые конструкции», представление о которых математик вырабатывает еще до того, как он изучит все их свойства. Поначалу математик располагает лишь «предположениями», или «постулатами», которые затем он может доказать или опровергнуть. Именно в предположениях, в изначально постулируемых конструкциях, мы прикасаемся к природе математических объектов. Еще Джон Стюарт Милль предлагал говорить, что «факт, получивший численное определение, есть факт материальный» [79]. Нет ничего удивительного в том, что целые числа обладают теми или иными свойствами. Эти свойства содержатся в том самом определении, которое предлагает математик на основании своего первоначального интуитивного предположения. Однако для изучения этих свойств требуется время. Аксиоматика, логика и все соответствующие им функции мозга играют, таким образом, решающую роль в анализе и дедукции, т. е. выступают в роли логического аппарата. Одной из наиболее поразительных качеств человеческой мыслительной машины является ее способность не только создавать новые мысленные объекты, но и анализировать их свойства, которые зачастую, но уже a posteriori, кажутся крайне простыми.

3. ИЗОБРЕТЕНИЕ или ОТКРЫТИЕ?

25

Действительное число

в диадическом представлении

Сложение двух действительных чисел

10,010110100010...

10,0101101000100..

4- 1,1001001100110.,

- 11,1110110101010.

..0010001011010,01

,.0010001011010,01 ..0110011001001,1 4

,.1000100100011,11

р-адическое число, p — 2

Сложение двух р-адических чисел

Рис. 3. Пример сравнения сложения двух действительных чисел в диадическом представлении и сложения двух чисел в р-адическом представлении при p — 2. Соотношение действительных чисел определяется тождеством следующего вида: 0,00111111 ... = 0,0100000 ...

А. К.: В начальной школе детей учат сложению и делению простых чисел. Было бы значительно сложнее научить их манипулировать р-адическими числами. Почему? Да потому что в этом случае они пропустили бы очень важный для математической практики этап — контакт с реальностью. За пределами реальности мы теряем непосредственное ощущение величины и вынуждены заниматься чистыми вычислениями. Реальность, с которой мы имеем дело здесь, уже не является той осязаемой реальностью, которой обладают равнобедренные и какие угодно еще треугольники. Она гораздо шире. Когда мы производим вычисление двумя разными способами и не приходим к одному результату, мы испытываем настоящую фрустрацию. Такова математическая реальность для меня. Существует некая взаимосвязь, до сих пор не объясненная

26 МАТЕМАТИКА и мозг

и никак не зависящая от используемого нами набора методов рассуждения, которая гарантирует, что если все делать правильно, то ошибка обязательно отыщется. А здесь обнаруживается новая взаимосвязь, выходящая за пределы той взаимосвязи, что является продуктом чувственной интуиции, непосредственного восприятия феноменов.

Ж.-П.Ш.: То, что эта взаимосвязь пока не объяснена, еще не означает, что ее нельзя объяснить. Тем более если она, как ты утверждаешь, независима от используемого нами набора методов рассуждения.

4. Об историческом аспекте математики

Ж.-П.Ш.: У меня все же остаются сомнения относительно той точки зрения, которая утверждает, что математические объекты существуют где-то «во вселенной», независимо от каких-либо материальных и «внутримозговых» опор. Мне кажется полезным несколько дистанцироваться от работы математика и, в частности, от объектов, которые он создает. Математический объект следует помещать в тот исторический контекст, в котором он первоначально возник. Математику преподают как связную систему предположений, теорем и аксиом. При этом забывают, что все они появлялись постепенно, в процессе исторического развития математики и человеческих обществ — короче говоря, речь идет уже об объектах культурных, подверженных действию процессов эволюции. Помещение же математических объектов в историческую перспективу позволит их «секуляризировать», сделать не столь возвышенными, какими они порой представляются. Теория сменяет теорию, а некоторые теории, не опровергая предшествующие, привносят новый угол зрения. Так случилось, к примеру, с неевклидовой геометрией. Аксиомы неевклидовой геометрии образуют связное целое, т. е. здесь перед нами та самая взаимосвязь, которая так тебя удивляет и которая представляет собой, пусть только внешне, целостную систему, совершенно свободную от какой бы то ни было, как ты говоришь,* опоры на материю. И все же в XIX веке неевклидовы геометрии перевернули всю математику с ног на голову.

А. К.: Но ни в коей мере не нарушили целостности геометрии евклидовой! Более того, воспользовавшись этим примером,

4. ОБ ИСТОРИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ МАТЕМАТИКИ 27

можно продемонстрировать возможности и продуктивность аксиоматического инструментария. Поначалу геометрия Евклида воспринималась через посредство одного лишь физического опыта. Евклид попытался предложить несколько аксиом, позволяющих осуществлять так называемые доказательства. Одна из этих аксиом представлялась совершенно избыточной: аксиома о единственности параллельной прямой, которую можно провести через одну данную точку. Казалось, можно доказать, что эту аксиому нет необходимости выделять, что она следует из других аксиом. Именно благодаря попыткам доказать ее право на существование в виде аксиомы были открыты все неевклидовы геометрии. На протяжении значительной части XIX века эти геометрии воспринимались математиками как нечто крайне эзотерическое. Гаусс даже не решался публиковать полученные им результаты, опасаясь, что ему просто-напросто не поверят. Затем в один прекрасный день Пуанкаре обратил внимание на то, что геометрия поверхности с кривизной — 1 предоставляет удобный, хотя и необычный, способ решения задач теории чисел, которыми он в то время занимался вне связи с геометрией. Из этого наблюдения родилась его теория автоморфных функций. А что вообще привело нас к мысли о возможности существовании неевклидовых геометрий? Может быть, мы убедились посредством наблюдений, что окружающее нас пространство евклидовой геометрией не описывается? Нет, мы просто решали некую аксиоматическую задачу, пытаясь объяснить геометрию через по возможности наименьшее количество свойств.

Ж.-П. Ш.: Это опять же не доказывает, что математические объекты нематериальны! На мой взгляд, аксиоматический метод есть представление, формируемое теми или иными способностями мозга — например, когнитивными способностями, связанными у человека с использованием языка. А определяющим свойством языка как раз и является его генеративный характер.

А. К.: Здесь уместно упомянуть об одной присущей математике характерной особенности, которую очень сложно объяснить. Предположим, мы решили составить полный список математических объектов, определяемых некоторыми очень простыми условиями, и ценой значительных усилий нам это удалось. Интуитивно мы полагаем, что наш список полон и исчерпывающ, и, как правило, стараемся отыскать способ это доказать. Однако часто бывает так, что в процессе этого самого доказательства мы обна-

28 МАТЕМАТИКА и мозг

руживаем какие-то другие объекты. Возьмем, например, теорию конечных групп. Понятие это весьма элементарно — того же порядка, что и понятие целого числа. Конечная группа — это группа симметрии конечного объекта. Были предприняты попытки классифицировать так называемые простые конечные группы, т. е. такие группы, которые, подобно простым числам, нельзя разложить на более мелкие группы. Задача эта крайне сложна. Галуа показал, что при n ^ 5 группа парных перестановок множества из n элементов является простой. А француз Клод Шевалле построил ряды простых конечных групп, напоминающие так называемые ряды групп Ли. Можно было бы решить, что помимо этих групп и тех, что открыл в прошлом веке Матье, никаких других групп не существует. Однако когда попытались это доказать, было обнаружено еще 20 групп, которые в перечень Шевалле не попали: речь идет о так называемых спорадических группах. Около 15 лет назад отыскали последнюю простую конечную группу, удостоенную эпитета «чудовищная». Эта открытая путем чисто математического рассуждения конечная группа содержит весьма впечатляющее количество элементов:

808017424794512875886459904961710757005754368000000000

На сегодняшний день специалистам удалось ценой героических усилий доказать, что список из 26 простых конечных спорадических групп наконец-то полон (см. рис. 4).

Ж.-П. Ш.: Я не понимаю, каким образом возможность исчерпать все возможные варианты доказывает, что рассматриваемый объект есть некая «идеальность», существующая вне зависимости от человека. Возьмем, например, какой-нибудь правильный объект, куб или пирамиду из каменной соли. Ясно, что их свойства можно перечислить очень быстро. Это, однако, не доказывает, даже если так думает сам Декарт, что эти свойства можно классифицировать, как «вечные и неизменные» и никоим образом не зависящие от нашего мозга. Когда математик вырабатывает те или иные правила логической взаимосвязи (правила исключения, формализм), он строит некий универсальный язык, который позволяет ему исследовать свойства объекта, который он сам предварительно создал. В итоге математическое «открытие» представляет собой не более чем вывод из того, что сам же математик и придумал! Математик вскрывает лишь то, что Гранже называет «формальным

4. ОБ ИСТОРИЧЕСКОМ АСПЕКТЕ МАТЕМАТИКИ 29 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ

Определение

Конечная группа G задается конечным множеством G и законом композиции, т.е. представляет собой такое отображение G x G на G (обозначаемое (gr[1], д[2]) —> 9\9?,}< ^что:

1) 9i (9[2] 9з} = (9i 02 ) 9з АЛ* ^всех 9[г] -L- ^G <

2) существует такое е -L- G, что eg — де = g; V g G G;

3) для всех g G G существует такое ^_[г] G G, что X@ZXZXZ_! — g^[1]g = e.

Гомоморфизм группы G! на группу G[2] есть такое отображение / множества GJ на множество G[2], что 1(д[1]д[2]) = 1(д[г] 1(д[2]))> V 9i 92 ^ ^G -

Конечная группа G является простой тогда и только тогда, когда любой гомоморфизм G на G' является либо постоянным, либо инъективным.

Теорема классификации простых конечных групп Простыми конечными группами являются следуюище:

— циклические группы первого порядка;

— чередующиеся группы пятого или менее порядка;

— группы Шевалле и группа Титса;

— 26 спорадических групп.

Спорадические группы:

ГРУППА ПОРЯДОК ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

М[Г1] 2 ^4 .3 ^2 .5. 11 Матье

М[12] 2 ^6 .3 ^3 .5. 11 Матье

М[22] 2 ^7 .3 ^3 .5.7. 11 Матье

М[23] 2 ^7 .3 ^2 .5. 7. 11.23 Матье

М[24] 2 ^10 .3 ^3 .5.7. 11.23 Матье

J[2] 2 ^7 .3 ^3 .5 ^2 .7 Холл, Янко

Suz 2 ^13 .3 ^7 .5 ^2 . 7. 11. 13 Судзуки

H S 2 ^9 . З ^2 . 5 ^3 . 7. 11 Хигмен, Симе

McL 2 ^7 . З ^6 . 5 ^3 . 7. 11 Маклафлин

Со[3] 2 ^1u .3 ^7 . 5 ^3 .7. 11.23 Конуэй

Go[2] 2 ^18 .3 ^6 . 5 ^3 .7. 11.23 Конуэй

Col 2 ^21 .3 ^9 . 5 ^4 . 7 ^2 . 11. 13. 23 Конуэй, Лич

Не 2 ^10 .3 ^3 . 5 ^2 .7 ^3 . 17 Хелд/Хигмен, Маккей

Fг[22] 2 ^17 .3 ^9 . 5 ^2 . 7. 11. 13 Фишер

Fi[23] 2 ^18 .3 ^13 .5 ^2 .7. 11. 13. 17.23 Фишер

Рг[24] 2 ^21 , З ^16 . 5 ^2 . 7 ^3 . 11. 13. 17. 23. 29 Фишер

HN 2 ^14 .3 ^6 .5 ^6 .7 ^3 . 11. 19 Харада, Нортон/Смит

Т h 2 ^15 .3 ^10 .5 ^3 .7 ^2 . 13. 19.31 Харада, Томпсон/Смит

В 2 ^41 .3 ^13 .5 ^6 .7 ^2 . 11. 13. 17. 19.23.31.47 Фишер/Симе, Леон

M 2 ^46 . З ^20 . 5 ^9 . 7 ^6 . 11 ^2 . 13 ^2 . 17. 19. 23. 29. 31. Фишер, Грисс

41.47.59.71

J[1] 2 ^3 .3.5.7. 11.19 Янко

O'N 2 ^9 .3 ^4 . 7 ^3 .5. 11. 19.31 О'Нан/Симс

J[3] 2 ^7 .3 ^5 .5. 17. 19 Янко/Хигмен, Маккей

Ly 2 ^8 .3 ^7 .5 ^6 . 7. 11.31.37.67 Лайонс/Симс

Ru 2 ^14 .3 ^3 .5 ^3 .7. 13.29 Рудвалис/Конуэй, Уэйлс

J[4] 2 ^21 . З ^3 . 5. 7. II ^3 . 23. 29. 31. 37. 43 Янко/Нортон, Паркер, Бенсон,

Конуэй, Тэкрей

Рис. 4

30 МАТЕМАТИКА и мозг

содержанием» [43, с. 474-498]. Вряд ли сегодня кто-нибудь (за исключением, пожалуй, людей верующих, да и то не всех) станет утверждать, что Слово было прежде Материи!

5. Не является ли математика просто языком?

Ж.-П. Ш.: Когда мы говорим, мы манипулируем понятиями. Ты описываешь ряд рассуждений, т. е. мысленных или внутримоз-говых процедур, оперирующих конкретными объектами, которые ты себе представляешь. Можно вообразить себе, например, греческого геометра, рисующего на песке простые фигуры и изучающего их свойства. Ничего из того, что ты говоришь, не убеждает меня в том, что объекты обладают реальностью вне нашего мозга. Даже если ты можешь точно определить их количество и природу в самом связном и организованном виде. Более того, из твоих рассуждений следует, что математические объекты лишены какой бы то ни было «реальности» в платоновском смысле этого слова. Ты согласен с тем, что математика представляет собой язык, кроме того, известно, что существует некоторое количество языков элементарных... Возможно, математика представляет собой некий усовершенствованный продукт синтеза всех этих языков, нечто вроде универсального языка... Но ведь никому не приходит в голову, что китайский, например, или русский языки существовали в мире до появления человека. Так откуда лее возникает подобная гипотеза относительно математики?

А. К.: Ничто не доказывает, говоришь ты, реальности этих объектов вне нашего мозга. Давай сравним математическую реальность с окружающим нас материальным миром. Что еще доказывает реальность этого материального мира, кроме восприятия его нашим мозгом? Главным образом взаимосвязанность наших восприятий и их постоянство. Говоря точнее, взаимосвязанность осязания и зрительного восприятия у одного и того же индивида. И согласованность между восприятиями разных индивидов. Ту же природу имеет и реальность математическая. Вычисление, выполненное разными способами, дает один и тот же результат, независимо от того, выполнено оно одним индивидом или несколькими. Истинность теоремы Евклида о простых числах не зависит от того или иного способа ее восприятия. Верно и то, что математика используется в качестве языка другими на-

5. НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ли МАТЕМАТИКА ПРОСТО языком? 31

уками. Впрочем, сводя математику к одной лишь этой функции, можно совершить серьезную ошибку. Именно поэтому сравнение с китайским языком кажется мне не вполне оправданным. Математическую реальность начали изучать в тех ее зонах, где связываемые с реальным миром мысленные образы оказываются очень простыми. Такова, например, евклидова геометрия. В дальнейшем же, благодаря аксиоматическим процедурам или некоторым возникающим в теории чисел задачам, стало возможным достичь областей, куда более отдаленных, нежели реальность материальная. Тем не менее, реальность, с которой мы имеем дело в этом случае, столь же прочна, как и реальность нашего обыденного привычного окружения. Растерянность, испытываемая математиком, который не может понять, что же происходит в этой самой реальности, вполне можно сравнить с растерянностью слепого, который ищет дорогу. Это наводит меня на следующую аллегорию: представь, что я живу в деревне, из которой не могу уехать, и что за десяток километров от нее возвышается огромная башня. Если бы я был единственным слепым в деревне, мои соседи потратили бы уйму времени, описывая мне эту башню, существование которой не вызывает у них никакого сомнения, в то время как я не жалея сил уверял бы их в том, что эта башня есть всего лишь мысленная конструкция, обусловленная какими-то визуальными феноменами, о природе которых можно только догадываться. Так же, к сожалению, обстоит дело и с математической реальностью, существование которой можно спокойно отрицать, до тех пока не столкнешься с ней лицом к лицу.

Ж.-П. ILL: Эта «взаимосвязанность восприятия» внешнего мира производится твоим мозговым аппаратом, но на уровне абстракции, подчиненном уровню математических объектов. То, что в математических объектах можно обнаружить универсальные свойства, не доказывает, что они более независимы от человеческого мозга, чем слово «государство» или, скажем, «счастье». Разница лишь в том, что математические концепции допускают более точное и ограниченное определение и обладают, таким образом, более определенными, более «универсальными» свойствами.

С другой стороны, мне кажется, ты злоупотребляешь метафорой. Ты сравниваешь математическое исследование с исследованием континента или деревни со всеми ее улицами и башнями. Однако эта метафора переводит нашу дискуссию с абстрактного

32 МАТЕМАТИКА и мозг

математического уровня на уровень более низкий, конкретный, образный, который ни в коем случае не следует выдвигать на первый план. Метафора не может иметь доказательной силы. Еще хуже то, что ты играешь с различными и даже противоречивыми значениями слов «реальность» и «реализм». «Реализм» — это, прежде всего, платоновская доктрина, следуя которой Идеи составляют часть некоего мира, отличного от мира материального, и обладают реальной экзистенцией на более высоком уровне, чем существа индивидуальные и чувственные, являющиеся лишь отражением и изображением идей (см. рис. 1). Но это также доктрина, согласно которой бытие не зависит от актуального знания о нем тех или иных обладающих сознанием субъектов. И, наконец, «реалистом» является тот, кто постулирует разницу между природой бытия и природой мысли: бытие не выводится из мысли и не может быть адекватно и исчерпывающе выражено в логических терминах. К сожалению, твои метафоры уводят тебя от первого значения к третьему, в то время как сами эти значения противоречат друг другу! Что касается меня, то я употребляю слово «реализм» или термин «реальность», главным образом, в неплатоновском смысле, который представляет собой своего рода компромисс между другими двумя определениями. Я полагаю, что материя в разных своих состояниях, живые существа и собственно люди существуют независимо от человеческого мышления и актуальных знаний о них, которыми располагают существа, обладающие сознанием. Человеческая же мысль, сама являющаяся выражением некоего особого состояния материи, пытается описать эту «самость», эту ultima actualitas ^1 . Основываясь на опыте, мысль пытается дать ей какое-нибудь последовательное определение, причем оно не обязательно должно быть исчерпывающим. Таким образом, я четко различаю реальность материальную и то, что ты называешь «реальностью математической». Существование этой последней, как мне представляется, связано с мышлением человека, которое, в свою очередь, является продуктом эволюции живых организмов.

Окончательная реальность (лат.) — Прим. перев.

Материалист ли Платон?

1. Интеллектуальная аскеза материалиста

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Твои тезисы о природе математических объектов кажутся несколько парадоксальными: ты защищаешь точку зрения платониста, убеждая меня в то же время в наличии у твоих воззрений материалистического фундамента. Может быть, нам прежде следует отказаться от всего того, что можно назвать материализмом или, скорее, материалистическим методом, материалистической, иначе говоря, программой? Речь идет, как показывает Ж. Т.Дезанти в своей «Безмолвной философии» [24], о попытке объяснения, требующей минимального количества материала и ограничивающейся, по возможности, законами физики и химии. Таким образом, материализм предполагает, употребляя термин Спинозы, emendatio intellectus, усовершенствование разума, в форме интеллектуальной «аскезы», с помощью которой мы пытаемся избавиться от преследующих нас мифических пережитков, в частности, от платонизма. Материалистическое объяснение способствует реинтеграции человека с природой. В упомянутой работе, которую я нахожу превосходной, Дезанти показывает, что эта задача предполагает построение моделей реальности, которые всегда содержат в себе, следуя его терминам, «субмодель», к построению которой мы подходим с особой тщательностью. Он полагает, что «знание производится именно моделью множества процессов, и ее важно построить так, чтобы 1) она была соотносима с моделью реальности, и 2) из нее была бы явно устранена любая апелляция к трансцендентности в какой угодно форме. Чтобы закрепить предложенные идеи, назовем такую субмодель аппаратом познания, потребовав тем самым его создания» [24, с. 139]. Для нейробиолога таким аппаратом познания, который позволяет охватить реальность и построить ее модели, является, естественно, мозг. Дезанти, философ математики, четко формулирует проблему природы математики в нейробиологических терминах, однако счи-

34 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

тает, что разрешить эту проблему невозможно. Он далее писал однажды, что «построение адекватной модели аппарата познания может быть только химерическим ... остается, следовательно, полагаться лишь на слабую материалистическую эпистемологию» [24, с. 145]. Такое мнение философа является следствием недостаточного развития нейронаук — что, увы, не редкость; следует, кроме того, отметить, что в то время недостаточно развиты были не только нейронауки, но и когнитивные науки вообще.

Я, напротив, являюсь сторонником сильной материалистической эпистемологии, она одна кажется мне приемлемой для опытного ученого, который честен сам с собой. Эта точка зрения не нова. Она была сформулирована еще Демокритом, философом-досократиком, который, если верить легенде, всегда улыбался (см. рис. 5). Вообще, история помнит многих ученых, имевших мужество придерживаться именно такого взгляда на мир, невзирая на преследования: Ванини, сожженный инквизицией в Тулузе в 1619 году, анатом Везалий и, конечно же, Галилей — это лишь некоторые из жертв нетерпимости, все еще встречающейся даже в наши дни.

Итак, необходимо определить составляющие того, что Дезан-ти называет аппаратом познания, и попытаться описать результаты работы этого аппарата, в частности, в области математики. Аппарат познания есть «механизм абстракции или конструкции, производящий типы и классы объектов, исходя из осязаемой материи, которую в оригинальном виде поставляет разуму окружающий мир». Это отличное определение функционирования мозга. Задача нейробиолога, желающего реализовать сильную материалистическую эпистемологию, состоит, таким образом, в том, чтобы описать, в частности, то, как человеческий мозг порождает объекты, включая, помимо прочего, и математические объекты. На какие мысли наводит тебя такой материалистический подход?

АЛЕН Конн: С одной стороны — независимо от человека существует математическая реальность, необработанная и незыблемая; с другой стороны — мы воспринимаем ее посредством нашего мозга, расплачиваясь, как говорил Валери, редким слиянием сосредоточенности и желания. Что до меня, то я провожу различие между математической реальностью и инструментами, с помощью которых мы ее изучаем, и допускаю, что мозг — это материальный инструмент исследования, не содержащий ничего божественного и не имеющий ничего общего с трансцендентностью в какой

1. ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ АСКЕЗА МАТЕРИАЛИСТА

35

Рис. 5. Портрет Демокрита кисти Антуана Койпеля (1692). Демокрит родился где-то между 500 и 457 г. до н. э. в Абдере, одной из ионийских колоний, где соприкасались греческая и восточная культуры. Демокрит прожил очень долгую жизнь — по разным источникам, от 100 до 109 лет. Он был современником Сократа и, считается, вместе с Левкиппом, основателем философии атомизма; по утверждению Ницше, Демокрит стал первым мыслителем-рационалистом, исключившим из процесса мышления какие бы то ни было мифические элементы. Демокрита традиционно изображают улыбающимся, что как бы символизирует его триумфальную победу над иррациональными страхами и предрассудками. (Лувр)

36 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

угодно форме. Чем лучше мы поймем, как он функционирует, тем лучше мы сможем его использовать. Однако математическая реальность от этого все равно не изменится. Она просто не может измениться — не более, чем может измениться последовательность простых чисел. Изменится лишь сумма наших познаний. Если бы я был лишен ощущений, с материалистической точки зрения, то я вполне мог бы утверждать, что «человеческий разум» только тем и занят, что совершенствует свои познания о физическом и биологическом функционировании мозга. Я далек от этой мысли. Следовательно, моя позиция разумна.

Ж.-П. Ш.: «Независимость» нуждается в определении. В рамках платоновского реализма она означает «нематериальность». Однако мне очень хотелось бы узнать о физических носителях математических объектов, независимое существование от человеческого мозга которых ты постулируешь, провозглашая себя при этом материалистом. С трудом могу представить себе существование в природе, скажем, целых чисел. Было бы весьма занимательно наблюдать число p = 3,1416, начертанное золотом в небесах, или же постоянную 6,02 x IO ^23 в бликах хрустального шара! Атомы в природе существуют. Безусловно. А атом Бора? Его нигде нет. Курица может, в случае необходимости, определить на глаз количество снесенных ею яиц, в лучшем случае, отдать себе отчет в том, какое пространство яйца занимают в гнезде. Но она наверняка не сможет ни сосчитать до десяти, ни определить те или иные свойства целых чисел. Мне кажется, что математика представляет собой, скорее, некий формальный язык, максимально упрощенный и свойственный лишь человеческому роду.

А. К.: Я полагаю, не следует смешивать математическую реальность с ее возможным воплощением в природных феноменах. Когда я говорю о независимом существовании математической реальности, я вовсе не локализую ее в реальности физической. Некоторые из физических моделей действительно используют математику для описания природных явлений, но мы совершили бы серьезную ошибку, сведя всю математику к этим явлениям. Я думаю, что математик раскрывает «смысл», несводимый к зрению, слуху, осязанию, — смысл, позволяющий ему воспринимать реальность, столь же ограниченную, как и физическая реальность, но намного более стабильную, поскольку она не локализована в пространстве и времени. Когда исследователь постигает географию математики, он постепенно начинает чувствовать контуры и структуру матема-

1. ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНАЯ АСКЕЗА МАТЕРИАЛИСТА 37

тического мира, необычайное богатство этой структуры. В нем постепенно развивается чувствительность к понятию простоты, которое дает ему возможность проникать во все новые области математического ландшафта.

Ж.-П. Ш.: То есть твоим главным аргументом является простота. А нельзя ли точно так же сказать, что, к примеру, тема Седьмой симфонии Бетховена тоже чрезвычайно проста?

А. К.: Да, но она не настолько необходима. В этом разница.

Ж.-П. Ш.: Но ведь эту необходимость создает твой собственный мозг. Эту простоту порождаешь ты сам, сравнивая свои мысленные представления друг с другом или с природными объектами, констатируя их адекватность или неадекватность с помощью упомянутого тобой чувства, которое, как мне кажется, является продуктом соответствующей способности нашего мозга. Еще раз спрошу, не доказывает ли это, что такая простота имеет нематериальное происхождение?

А. К.: Разница с симфонией Бетховена заключается в следующем: в математике мы можем раз и навсегда доказать, действительно доказать, поставленную перед нами задачу — возьмем для примера все те же конечные группы, полным списком которых для исследуемых объектов мы располагаем. Однако нет ни одной теоремы, которая позволила бы нам вывести из первой темы всю остальную симфонию Бетховена.

Ж.-П. Ш.: Важное различие. Однако это «генеративное» свойство математики мы обнаруживаем и в другой форме — в записи музыки, в частности, у Баха, Булеза, современных композиторов. Что составляет одну из черт, характерных для человеческого языка, самым простым способом выражения которого является синтаксис. Определенной генеративностью могут при этом обладать сами понятия. Рассмотрим, к примеру, понятие свободы. Несмотря на то, что это понятие не является математическим, оно обрело во времена Французской Революции немалые генеративные способности, которые сохраняет и в наши дни. Сколько новых понятий, сколько законов основываются на определении свободы! В нем — источник целого ряда социальных реорганизаций, новых прав человека и прочих потрясений государственных структур (см. рис. 6). Тем не менее, никто же не говорит, что свобода существует в природе независимо от человека. Естественно, предложенное тобой математическое доказательство имеет вид намного более строгий, завершенный, полный, связный и прочая и прочая,

38 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

чем то, что история смогла вывести из понятия «свобода». Однако не сравнимо ли в этом смысле такое абстрактное понятие, как свобода, с понятием целого числа — если, разумеется, не принимать в расчет смысловой нагрузки каждом из этих понятий? Почему различие в их природе представляется нам столь глубоким?

А. К.: Не будем путать инструмент и исследуемую реальность. Понятие свободы было выработано человеческим разумом постепенно с тем, чтобы объяснить те или иные поступки живых существ. В их реальности я ничуть не сомневаюсь! Так же и математик разрабатывает те инструменты (например, аксиоматический метод) или понятия (например, понятие общей топология или вероятности), которые позволили бы ему лучше понять, скажем, последовательность простых чисел. Однако то, что с течением времени разрабатываются различные понятия и методы исследования, вовсе не искажает реальность этой последовательности. Это лишь позволяет лучше ее понять. Твой отказ допустить существование математической реальности происходит, с одной стороны, из смешения понятийного аппарата с реальностью, а с другой — из того, что существующая физическая иллюстрация математики весьма неполна.

Ж.-П.Ш.: Я ни в коем случае не смешиваю понятийный аппарат и реальность в том смысле, в котором я употребляю это слово. Поскольку для меня этот «аппарат» служит для изучения свойств объектов, производимых мозгом математика и имеющих аутентичную физическую реальность. И наоборот, я не считаю, что аксиоматический метод является понятием. Это церебральная процедура. Тогда как целое число — это понятие, упрощенное «мысленное представление», изначальные свойства которого легко определить. По-моему, «свобода» представляет собой аутентичное понятие, и ее никоим образом нельзя сравнивать с аксиоматическим методом.

2. Математический психоанализ

А. К.: Одна из важных черт работы математика — это способность распознавать внутреннюю связь и свойственный некоторым понятиям генеративный характер. Некоторые весьма простые понятия могут порождать другие идеи или модели самого разного рода. Постепенно начинаешь испытывать ощущение, будто иссле-

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПСИХОАНАЛИЗ

39

Рис. 6. Статуя Свободы, площадь Тяньаньмень, Пекин, 29-30 мая 1989 года. (© Agence Vu: Manuel Vimenet)

40 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

дуешь новый мир... и достигаешь той связности, которая ясно показывает тебе, что вот еще одна из областей этого мира исследована полностью. Ты чувствуешь, что этот мир существует и существует независимо от тебя.

Ж.-П. LLL: Ты говоришь «чувствуешь»? Означает ли это, что твое отношение к математике является скорее чувственным, чем аналитическим ?

А. К.: Скорее, здесь можно говорить об интуиции — об интуиции, выработанной кропотливым трудом. Моя позиция основывается, с одной стороны, на фрустрации, которую я часто испытываю от неполного или противоречивого решения задачи, а с другой стороны — на прямом контакте с математическими объектами, контакте, который и порождает интуицию, естественно отличную от интуиции, порождаемой природными явлениями. Реализм и материализм вовсе не кажутся мне несовместимыми. Чем приходится поступиться ради того, чтобы принять в качестве рабочей гипотезы независимость существования математической реальности? Мне кажется ничем. Напротив, такая гипотеза дает нам уверенность в том, что мы всегда сможем отыскать способ сообщения этих понятий от одной цивилизации к другой.

Ж.-П. Ш.: Поступаться ничем не нужно, нужно лишь понять, как наш «аппарат познания» производит такого рода объекты! И мне чрезвычайно интересно, не является ли независимость, о которой ты говоришь, в какой-то степени следствием того простого факта, что существуют некие особые культурные объекты, которые можно передавать от индивида к индивиду независимо от культурной принадлежности последних — своего рода ограниченная универсальная семантика человеческой вселенной, имеющая хождение до получения более полной информации во всей ее объективности. То, что эти объекты могут существовать и в письменном виде, будучи, например, начертанными на песке, как делали древние греки, или записанными на компьютерных магнитных носителях, позволяет сделать вывод, что объекты эти независимы от человеческого мозга. Однако это совершенно не так. Здесь речь идет, скорее, о «культурных репрезентациях», способных размножаться, процветать и распространяться, передаваясь из мозга в мозг. Они обладают специфическими свойствами — например, для них характерна та самая взаимосвязанность, та «внутренняя необходимость», которую тебе так нравится подчеркивать и которая придает им «видимость» автономии. И эта «видимость» те-

3. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ ТИПИЧНЫМИ. . . 41

бя зачаровывает, т. е. здесь имеет место та же фасцинация, что возникает — постфактум — у творца при взгляде на созданный им объект. Ее можно объяснить как самой научной практикой, так и неразрывно связанной с этой практикой субъективностью. Можно ли утверждать, что человек, проходящий курс психоанализа, продвигается в понимании глубинной природы своего собственного мозга с помощью приобретаемых опытным путем сведений о себе или о людях, с которыми он поддерживает отношения? К сожалению, нет. Психоанализ не приводит к сколько-нибудь значимому прогрессу в познании мозга, его строения, его физико-химической природы. Я боюсь, что возникающее у тебя «чувство открытия» этой совершенно платоновской «реальности» есть результат исключительно интроспективного — а потому субъективного — видения проблемы. Тем не менее, я допускаю, что математика представляет некий особого рода продукт деятельности мозга. И я думаю, мы могли бы сойтись на таком определении. Математические объекты — это столь же абстрактные понятия, как и понятие свободы. Они обладают специфическими свойствами. Но это ни в коем случае не доказывает их нематериальности — не более, чем реализм Платона.

А. К.: Наша дискуссия вращается вокруг определения слова «реальность». Я считаю, что реальность определяется одновременностью и перманентностью восприятий либо одного и того же индивида, либо нескольких индивидов внутри группы.

Ж.-П. Ш.: Это коллективное восприятие необходимо. Но не достаточно. Оно подвержено самым разным оптическим иллюзиям, доходящим порой до коллективных галлюцинаций... Во время ежегодного паломничества индейцы уичоль употребляют в пищу галлюциногенные грибы, и у них у всех возникает вполне реальное ощущение того, что они побывали в раю. Таким образом, «одновременности восприятий» не достаточно для того, чтобы определить объективную реальность!

3. Являются ли математические объекты типичными культурными репрезентациями?

Ж.-П. Ш.: А что же мешает нам утверждать, что мысленный объект определяется своей внутренней взаимосвязанностью, некоторым набором свойств, характерных исключительно для этого

42 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

объекта, и тем фактом, что несколько индивидов внутри некоторой отдельно взятой группы способны, к их великой радости, воспринимать его одновременно? В этом нет ничего необычного. У них у всех одинаковые или почти одинаковые мозги! С другой стороны, как я уже подчеркивал, у математики есть история. Если бы математические объекты существовали во вселенной вне времени, как это себе представляли Пифагор и Платон, то на эти объекты можно было бы натолкнуться в любой момент. Однако математика эволюционирует, как в содержательном плане, так и в смысле нотации и символики. Почему происходит это постоянное обновление, о котором ты упоминал? Сложно представить себе, что математические объекты, принадлежащие mathesis universalis ^1 , может поколебать какая-то новая теория. Если они такие всеобщие и независимые от человеческого мозга, то почему же они эволюционируют? История математики отнюдь не линейна. Она слагается из противоречий, споров, разногласий, бесконечных реконструкций и возвратов назад... Короче говоря, создается впечатление, что в данном случае мы имеем дело именно с культурными объектами, производимыми и используемыми на каждой стадии развития нашей цивилизации и улучшающимися по мере эволюции других культурных объектов, причем не обязательно математических. А. К.: Математическим познаниям естественно свойственен исторический характер, как и исследованию континента. Разве перечень имен математиков, которые ценой героических усилий открыли простые конечные спорадические группы, не вызывает у непосвященного то же впечатление, что и перечень имен знаменитых путешественников? Возвращаясь к моему примеру: доказательство классификации конечных групп на данный момент оказывается слишком громоздким, чтобы неспециалист мог самостоятельно проверить его полностью и с окончательной достоверностью. Таким образом, эта область входит в то поле математических результатов, которые еще не совсем стабилизировались. Напротив, перечень конечных полей относительно прост для понимания, и доказать, что он полон, тоже не сложно. Эта область математической реальности изучена полностью, нерешенных задач в ней почти нет. Естественно, что в области актуальных исследований социо-культурные процессы способствуют определению

^т греч. mathesi'*s «учение, знание» и лат. universalis «всеобщий» (см. также прим. к с. 20). — Прим. перев.

3. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ ТИПИЧНЫМИ. . . 43

направлений, в которых нужно двигаться. Снова обращусь к своему сравнению: разумеется, покорение Северного полюса происходило в течение какого-то времени под влиянием подобного рода мотиваций, связанных с социо-культурным контекстом. Однако как только открытие совершено, значимость социо-культурных процессов стирается, остается лишь вполне устойчивая совокупность явлений, которая как нельзя более плотно примыкает к математической реальности; именно на эту совокупность явлений мы и опираемся при обучении последующих поколений. Этот взгляд слегка упрощен, однако он позволяет легко отличить установившуюся математическую реальность от инструмента исследования.

Ж.-П. Ш.: Ты говоришь о приобретении знаний. Знания о вселенной, которыми мы располагаем, имеют, в общем, одну природу. Никто не станет оспаривать тот факт, что Земля вращается вокруг Солнца.

А. К.: Однажды доказанную математическую теорему — такую, например, как теорема Евклида о простых числах, также никто не станет оспаривать.

Ж.-П. Ш.: Я в этом и не сомневался. Думаю, что в этом вопросе мы друг с другом согласны. Меня здесь главным образом удивляет то, как ты употребляешь понятие «поле», а точнее «поле нестабилизированных математических результатов». В самом начале было создано небольшое количество относительно простых математических объектов. С течением времени их поле расширилось. «Стабилизация», о которой ты говоришь, связана, как мне кажется, с культурным окружением. Именно по этой причине я и называю математические объекты объектами культурными. В ходе исторического развития лишь часть математических объектов, произведенных мозгом творческих людей, была принята во внимание, отобрана, отложена в мозгу их коллег, а потом и в написанных ими текстах. Некоторые авторы утверждают даже, что математика появилась на свет в тот день, когда греческие философы начали рисовать на песке фигуры, т. е. научились использовать другой тип памяти, нежели память краткосрочная, которая не позволяет уместить в себя все эти объекты. Таким образом, культурное наследие с течением времени смогло приобрести форму и было сведено к минимальной связной структуре, образовав в конечном итоге то, что ты называешь совокупностью явлений. Эта совокупность обязана своим существованием и церебральным способностям человека, которые позволяют ему устраивать своего

44 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОЙ?

рода диалог между кратковременной, или оперативной, памятью, работающей с математическими объектами, и внешней, внецере-бральной памятью, которая эти объекты накапливает с тем, чтобы сделать их затем достоянием общественности. Таким лее образом человек способен воспользоваться внешними по отношению к своему собственному мозгу математическими объектами с тем, чтобы создать новые математические объекты, сравнить их с предыдущими, тщательно изучить и разместить их в общем хранилище, предварительно убедившись в том, что для них там имеется подходящее место. Возможная эволюция, которая, как мне кажется, определяет математическое поле извне, могла бы привести нас, таким образом, к определению математических объектов как объектов культурных, социальных репрезентаций мысленных объектов особого рода, возникающих в мозгу математика и передающихся от одного мозга к другому,... добираясь порой и до мозга биолога.

4. Математические объекты и дарвинизм

А. К.: Исследование математической реальности определенно подвергается культурному воздействию. Тем не менее, этого недостаточно, чтобы назвать математические объекты культурными. Мне кажется, что основная трудность заключается в различии между «сырой» математической реальностью и мыслительными средствами, разработанными математиками с целью ее постижения. Эти средства действительно являются частью нашего культурного наследия. Возьмем для примера так называемое «исследование асимптотического поведения». Возможно, математическая реальность слишком сложна для того, чтобы быть легко доступной нашему восприятию. К примеру, не существует ни одной простой формулы для получения y-го простого числа. Асимптотическая задача заключается в отыскании формулы, которая даст приблизительно порядок величины y-го простого числа. Таким образом, мы получим доказательство того, что количество простых чисел, меньших, чем целое число п, равно частному от деления числа n на его логарифм. Таким образсм мы откроем некий аспект математической реальности. Но — и на этом я настаиваю — необходимо различать мысленное средство и исследуемую с его помощью математическую реальность. Математик вполне в состоянии изобрести новое мысленное средство. До тех пор, пока математику не

4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ и ДАРВИНИЗМ 45

удастся с его помощью открыть новую область математической реальности, еще не известную его современникам, те будут вправе относиться к созданному им средству с определенной долей недоверия. Для того, чтобы достичь успеха в математике, недостаточно просто обладать воображением!

Ж.-П. III.: Вот мы и добрались в нашей дискуссии до одного очень интересного момента. Ты сам заговорил об эволюции математических знаний. Я возвращаюсь к этой мысли, поскольку она примыкает к идее общей эволюции знания, эволюции культурных объектов во всем разнообразии их форм. Надо думать, ты согласишься с тем, что математические объекты, как и любые другие объекты познания, возникают в результате некоей «мысленной мутации», обусловленной случайностью церебрального опыта математиков. В дальнейшем эти объекты используются, изучаются, измельчаются, если можно так выразиться, посредством рассуждения. Затем откладывается селекционный «осадок» — дарвиновский термин я использую намеренно (см. [9, 31]), — обусловленный соображениями адекватности уже существующему целому и взаимосвязанности. Результатом этого процесса является структуризация. И вот отсюда наши с тобой пути расходятся. Упомянутые взаимосвязанность и структурность представляются мне результатом эволюции a posteriori ^1 . Позволь мне сравнить эволюцию математических объектов с эволюцией биологической. Даже несмотря на наличие очевидно непрерывного «прогресса» в эволюции позвоночных (от рыб к земноводным, от рептилий к млекопитающим и далее от обезьяны к человеку, см. рис. 7), никто, кроме людей глубоко религиозных — таких, например, как Тейяр де Шарден, — не станет сегодня утверждать, что целью эволюции является «выведение» совершенного человека. Я не собираюсь сравнивать твое мировоззрение с мировоззрением Тейяра де Шардена, но когда ты говоришь о математике, который шаг за шагом «открывает» математический и структурированный мир, боюсь, что я вижу в этом своего рода финализм, понятный с позиции практика, но неожиданный для теоретика.

Исследуя в лаборатории какую-либо биологическую молекулу, мы стремимся выяснить, например, обладает ли она ферментной активностью, является ли носителем наследственности... Мы за-

«из последующего» (лат.), т.е. на основании опыта, имеющихся данных. — Прим. перев.

46

МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

.-L-

14 14 ^,14

с m F

a ^11

m ^10 E ^10 F ^10

_aG'i'-L-_

y*'··j/

_,

_ U< V_

/' "' « _^

A B

CD E

: Б

\ \

/

/

/

\ \

/

Рис. 7. Собственноручный рисунок Дарвина из «Происхождения видов», иллюстрирующий, по его словам, «возможный результат действия естественного отбора, обусловленного расхождением признаков и вымиранием, на потомков одного предка». (Иллюстрация и цитата взяты из шестого английского издания)

l

5. ВЕРА в МАТЕМАТИКУ 47

даемся вопросом о «ближайшей причине», как ее определяет биолог-эволюционист Эрнст Майр [78]. Мы спрашиваем у себя: «А зачем такая молекула нужна?». Это вовсе не означает ни того, что упомянутая молекула была придумана неким Всемогущим Существом с той или иной целью, ни того, что она идеально вписывается в рациональную вселенную, созданную, скажем, Бесконечным Разумом. Эти метафоры, предложенные еще Аристотелем, нередко можно услышать в наших лабораториях. Я полагаю, что и математики — равно как и другие ученые — используют их в своей практике. Однако всерьез финалистские тезисы никто не воспринимает, по крайней мере, среди биологов. Еще Спиноза во всей строгости своего философского метода предостерегал против опасной тенденции использования в рассуждениях людей аргументации финалистского толка. И вот мне интересно: в какой степени эти твои взаимосвязанность и структурность отличны от взаимосвязанности органов млекопитающих и структурности их скелета? Учти еще, что долгое время считалось, что и вся вселенная, и, в частности, живые существа суть божественные творения, которые натуралист в ходе своей деятельности «открывает», постигая при этом некую предопределенную гармонию мира!

А. К.: Давай договоримся о смысле термина «эволюция». В математике, как и в любой другой дисциплине, знания эволюционируют. Однако реальность, к которой все они так или иначе относятся, ничуть при этом не изменяется. Например, однажды установленный и подтвержденный соответствующими доказательствами перечень простых конечных групп никогда не изменится. Он действительно представляет собой продукт открытия.

И причем здесь, собственно, финализм? Я не думаю, что утверждение существования математической реальности, независимой от ее восприятия, является финалистским тезисом. Никогда не решусь я утверждать, что тот или иной математический объект подчинен какой бы то ни было финальности. Аргументы такого рода для математика совершенно неприемлемы!

5. Вера в математику

А. К.: Словом, я никоим образом не финалист. И не думаю, что смогу когда-нибудь изменить свою позицию... Ж.-П. Ш.: А почему бы и нет?

48 МАТЕРИАЛИСТ ли ПЛАТОН?

А. К.: Нет, нет...

Ж.-П.Ш.: Но, может быть, ты начал разговор, уже имея некое сложившееся мнение...

А. К.: Я верю, что...

Ж.-П.Ш.: Осторожно, ты сказал «верю»!

А. К.: Верно, сказал. Но ведь наша дискуссия носит отчасти метафизический характер...

Ж.-П.Ш.: Причем эту самую часть я считаю основной.

А. К.: Разумеется, если она приведет нас к уточнению понятия реальности. Я смиренно признаю, что математический мир существует независимо от нашего способа его восприятия и не локализован во времени и пространстве. Однако способы, посредством которых мы этот мир постигаем, подчиняются законам, очень близким к законам биологии. Эволюция восприятия математической реальности развивает в нас новое чувство, позволяющее получить доступ к некоей реальности, которая имеет не визуальную и не слуховую, а какую-то другую природу.

Ж.-П.Ш.: В этом отношении мы, быть может, вновь сойдемся. Говоря о развитии мозгом нового чувства, ты отчасти становишься на позиции конструктивистов. Будучи нейробиологом, я вовсе не исключаю, что наш мозговой аппарат обладает такими гибкостью и способностью к реорганизации, какие позволяют ему воспринимать объекты новой формы, которых он до сих пор не имел возможности встречать в том окружении, в котором он, собственно, и сформировался среди равнин Центральной Африки несколько миллионов лет назад. Благодаря упомянутым качествам мозг и в самом деле мог выработать или «ухватить» некое «новое чувство». Причем отсюда вовсе не следует, что в природе непременно существует целиком и полностью сформированная математическая система, которую мы постепенно открываем. Мне кажется, твоя позиция содержит в себе некое противоречие: с одной стороны, ты допускаешь, что математика эволюционирует по модели, сходной с той, что предлагают биологи, с другой же стороны — считаешь, что совокупность математических явлений образует mathesis universalis, взаимосвязанное и устойчивое бесконечное множество, из которого нам до сих пор удалось постичь лишь самые начала. Этот спор вновь напомнил мне размышления Эрнста Мейра относительно причинности наук о жизни. Он противопоставляет «ближайшую причину» — «как?» — биолога или физиолога, «отдаленной причине», «почему?» метафизика. И его

5. ВЕРА в МАТЕМАТИКУ 49

ответ ясен. Наука от «почему» не есть Бог[г] это всего лишь эволюционная биология. «Почему» математической экзистенции есть эволюция как нашего аппарата познания, так и самих математических объектов. Если ты представляешь себе этот процесс как формирование нового чувства, позволяющего получить доступ к культурным объектам, которые и сами эволюционируют, то, я думаю мы можем таким образом прийти к согласию.

Природа, одетая по мерке

1. Конструктивистская математика

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Спор между математиками-креационистами, такими, как ты, и биологами-эволюционистами, такими, как я, приобретает несколько более радикальный характер. Тем не менее, нам удалось прийти к общему мнению по некоторым вопросам — например, об определении математических объектов как культурных репрезентаций особого типа, или об эволюционном развитии математического знания. На данный момент мы расходимся в отношении существования математической реальности, причем существования ее во вселенной вне и прежде мозга математика — возможно, в ходе наших встреч мы с тобой тоже эволюционируем и достигнем, наконец, согласия. По твоему мнению, математик лишь открывает, шаг за шагом, ту самую mathesis universalis, в которую ты веришь, — этот термин я употребляю здесь вполне намеренно. Однако твое отношение к этой проблеме не совсем согласуется с отношением к ней математиков вообще. Еще в XVIII веке Иммануил Кант утверждал, что «окончательная истина математики в том, что человеческий разум способен создавать на ее основе новые понятия». Многие из математиков, которых называют конструктивистами, полагают, что математический объект существует лишь в той мере, в какой его можно создать. Мне, впрочем, кажется, что спор между формалистами и конструктивистами ничуть не менее горяч, чем спор между мной и тобой [67]. Один из последних, Аллан Колдер, писал однажды, что «критерии приемлемости в конструктивной математике гораздо более строги, нежели в математике неконструктивной» [6], а если рассматривать задачу под углом конструктивизации, то можно добиться «более эффективного анализа и более результативных теорем» [6, с. 210]. Замечательно все же то, что некоторые математики защищают положения, отличные от твоих и близкие к тем, что доказывают нейробиологи вроде меня. Аллан Колдер высказывается еще более прямо, чем я (когда я напоминал тебе о твоем

1. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 51

опыте математика-создателя и говорил о субъективности твоего отношения). Он пишет: «Большинство современных математиков, воспитываемых в течение нескольких поколений на идеалах формализма, оказались в ситуации ментальной блокировки, из-за которой им с трудом удается взглянуть на математику объективно — до такой степени с трудом, что некоторые считают далее, что конструктивизм разрушает математику, подобно раковой опухоли» [6, с. 211]. Вот до какого накала, порой совершенно иррационального, доходят в спорах между собой математики. До того, что Колдер заканчивает свою статью на той же ноте, на какой закончилась наша последняя беседа: «Утверждение существования математической истины за пределами человеческого разума требует от математика веры, которую мало кто из них осознает» [6, с. 211]. Таким образом, мы оказываемся весьма далеко от столь милого сердцу Спинозы emendatio intellectus ^1 !

АЛЕН Конн: Различие между конструктивизмом и формализмом носит, прежде всего, методологический характер. Конструктивиста можно сравнить с альпинистом, который идет на приступ горы с голыми руками, формалист же в подобной ситуации садится в вертолет и приземляется прямо на горной вершине. Оба подхода имеют свои плюсы, которые зависят от поставленных задач. И в современной математике порой возникает необходимость пусть и не перейти окончательно к конструктивизму, но несколько смягчить влияние установившейся аксиоматики, в частности, несчетной аксиомы выбора. Обратимся к конкретной проблеме, с которой я однажды столкнулся и по поводу которой эти две точки зрения различаются. Речь идет об очень старом споре, касающемся вопроса об измеримости в смысле Лебега вещественных функций. Доказано, что если использовать только счетную аксиому выбора, то неизмеряемые функции построить невозможно. Из этого следует, что при математическом доказательстве с использованием только счетной аксиомы выбора никогда не возникнет проблемы неизмеримости. В конструктивистской теории аксиома выбора никогда не используется, и, таким образом, проблемы неизмеримости не возникает. Посмотрим теперь на точку зрения формалистов. Когда создается теория множеств, основанная на несчетной аксиоме выбора, любое множество может быть вполне упорядочено. Однако полный порядок на действительной прямой

Усовершенствование разума (лат.) — Прим. перев.

52 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

неизмерим по своей природе и, естественно, недостижим. Несчетная аксиома выбора значительно упрощает теорию кардинальных чисел и дает, таким образом, некоторое — весьма, на мой взгляд, приблизительное — представление об определенной области математической реальности. В частности, изоморфными (т. е. одинаковой мощности) считаются множества, для которых нельзя эффективно построить биективное отображение одного на другое. Например, множество квазикристаллов Пенроуза обладает, с несчетной аксиомой выбора, мощностью континуума, в то время как невозможно построить эффективную биекцию между этим множеством и континуумом. Обратимся снова к сравнению — несчетная аксиома выбора дает нам, так сказать, «вид с высоты птичьего полета», т.е. упрощенную картину математической реальности. Действительно, большинство математиков выросло на модели той теории множеств, которая предполагает несчетную аксиому выбора, и они не отдают себе отчета в ее упрощающем действии. Однако эта упрощенность никого, кроме небольшой горстки современных математиков, не волнует и, по большей части, даже приветствуется. Таким образом, мы видим, что различные точки зрения раскрывают разные аспекты математической реальности, и при этом не возникает никаких противоречий. Конструктивизм не ставит под сомнение существование независимого математического мира...

Ж.-П. Ш.: Во всяком случае, так говорят его защитники. Мы не можем обвинять их в обскурантизме. Они все же знакомы с математической вселенной. Но для них она существует только в той степени, в какой они могут ее шаг за шагом выстраивать.

А. К.: Думаю, тебе не удастся найти конструктивиста, который не принял бы тот перечень простых конечных групп, что я привел выше. Следует понимать, что большинство фундаментальных математических объектов можно так или иначе сконструировать. Этим и объясняется то, что конструктивисты не ставят их существование под сомнение. Напротив, в методах разница может оказаться существенной. Возьмем для примера очень полезное средство доказательства, называемое ультрапроизведения. Если ультрапроизведения никак не участвуют в формулировке результата, который требуется доказать, то этот результат, очевидно, можно получить с помощью одной лишь математической логики, не привлекая к доказательству эти самые ультрапроизведения. Это ничуть не противоречит тому, что в общем случае для некоторых задач гораздо

1. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 53

проще найти доказательство с использованием ультрапроизведений. К примеру, можно показать, что поля, полученные ультрапроизведением р-адических полей, ничем не отличаются от полей, полученных ультрапроизведением полей формальных степенных рядов на конечные поля Fp. Это обстоятельство может оказаться весьма полезным для решения некоторых уравнений. Хорошо видно, что в данном конкретном случае конструктивистский подход, запрещающий использование ультрапроизведений, проявляет себя как консервативный и ограничивающий.

Однако, как бы то ни было, я не думаю, что этим ставится под сомнение существование математического мира, независимого от человека и не воспринимаемого его органами чувств.

Ж.-П. Ш.: Это то, во что веришь ты. Граница между конструктивизмом и интуиционизмом является, по твоему мнению, скорее методологической, нежели онтологической. Конструктивисты же думают иначе... Они как раз желают «поставить под сомнение». Но, в конечном счете, твой субъективный опыт математика и твоя вера (весьма горячая, раз уж ты допускаешь, что она у тебя есть) свидетельствуют, возможно, о том, что существует некая более глубокая истина, — не прибегая при этом, впрочем, ни к чему нематериальному. Это истина, которую ты чувствуешь, которую ты воспринимаешь, которую ты представляешь себе, но относительно которой мы никак не можем прийти к согласию — возможно, вследствие отсутствия общей концепции, которая могла бы нас объединить.

Основным пунктом нашего разногласия является вопрос о существовании математического мира. Вступая в твою игру, я попытался представить, где этот мир мог бы находиться, какой он оставил бы след в природе. Если ты выдвигаешь гипотезу о том, что этот математический мир существует вне нас, и при этом продолжаешь считать себя материалистом, то ты вынужден будешь подвести под нее какую-либо материальную базу. Я не вижу, в какой иной форме самой организации материи этот математический мир может быть представлен в природе — за исключением, естественно, того, что собрано в математических трудах и в памяти математиков. Бесспорно, в окружающей нас природе существуют различные закономерности: движение планет (см. рис. 8), организация атомов в кристалле каменной соли или, например, двойная спиральная структура дезоксирибонуклеиновой кислоты. Веришь ли ты, что эти закономерности являются выражением универсаль-

54

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

У G l KiC^L Af «4/Mori

l. КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ МАТЕМАТИКА 55

ной математики, формирующей в какой-то степени «идеальный скелет» материи, вокруг которого эта самая материя и организуется? Или ты (вместе со мной) полагаешь, что эти закономерности представляют собой лишь присущие материи свойства, вовсе не обязательно являющиеся выражением некоего первичного математического закона? Если дело обстоит именно так, то задача ученого-«натуралиста» сводится к тому, чтобы постичь эти закономерности, разработать необходимые инструменты и создать язык и понятия, позволяющие, в общем случае, все это математически описать. Для того, чтобы сделать выбор между двумя этими точками зрения, необходимо сопоставить упомянутые внешние закономерности с математическими объектами. Если математика является организующим принципом материи, то рано или поздно непременно будет найдено совершенное соответствие между регулярностью материальных объектов и регулярностью объектов математических. В противном случае математика, продукт человеческого мозга, представляет собой всего-навсего приблизительный язык, служащий для описания материи, которая по большей части нашему восприятию недоступна.

Биологи — как, впрочем, и физики — в рамках своего гипотетически-дедуктивного подхода создают мысленные объекты или модели, сопоставляемые затем с физической реальностью, которая является по отношению к ним чем-то внешним. Эти модели суть упрощенные представления об объекте или процессе, когерентные, непротиворечивые, минимальные и подтвержденные опытом. Хорошая модель является прогнозирующей в том смысле, что с ее помощью мы можем разработать эксперименты, которые обогатят наши познания. Моделям также присущ генеративный характер, поскольку на их основе можно создавать другие теоре-

Рис. 8. Армиллярные сферы — металлические или деревянные объекты, состоящие из вставленных друг в друга обручей, скрепленных шарнирами. Предполагается, что они воспроизводят движение планет и небесной сферы вокруг Земли (обозначена буквой Т) в зависимости от месяца. Эти устройства появились в XVIII веке и представляют собой, в какой-то степени, первые механические модели вселенной. Представленное здесь изображение армиллярной сферы взято из рукописной учебной тетради некоего студента с инициалами G.L., датируемой 1713 годом (из частной коллекции).

56 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

тические модели и тем самым совершенствовать теорию. Наконец, в отличие от «верований», характеризующих определенную культурную традицию, модели поддаются пересмотру, В самом деле, необходимо, как мне кажется, признать, что большинство моделей, производимых наукой, действительны лишь на определенном этапе ее истории и что, как минимум, некоторое число таких проектов может быть пересмотрено и улучшено. Все это естественным образом обеспечивает кумулятивный прогресс познания. Мы пользуемся мысленными объектами, чтобы понять закономерности физического мира, чтобы описать их в математической форме, «выбрав» для этого модель, которая представляется нам наиболее адекватной. При таком подходе мы постигаем природные закономерности косвенным образом. Мы пытаемся, если можно так выразиться, примерить на них некоторое количество мысленных объектов, среди которых есть и объекты математические. Однако это не предполагает обязательного отождествления природных объектов с используемыми нами для их описания математическими объектами.

2. Поразительная эффективность математики

А. К.: Я далек от мысли, что математическая реальность располагается в физическом мире. И я совсем не пытаюсь отождествлять природные объекты с объектами математическими. Проведя границу между математической реальностью и реальностью физической, мы сталкиваемся с проблемой их отношений между собой. Приведу для начала пример того, что Юджин Вигнер называет «непостижимой эффективностью математики», которая, в общем случае, не сводится только лишь к попыткам адекватно «оформить» природные закономерности. Я говорю о теории узлов [3] (см. рис. 9 и 10). Когда берешь веревку и завязываешь сложный узел, то всегда встает вопрос о том, сможешь ли ты потом его распутать, не прибегая к методу гордиева узла. Так вот, существует одна замечательная теория, которая позволяет в большинстве случаев эту проблему разрешить: называется она теорией узлов. Эта теория не так давно весьма серьезно продвинулась вперед, хотя изначальные устремления ответственного за этот прогресс математика не имели к узлам никакого отношения. Мы с новозеландцем В. Джонсом начинали работу над совсем другой проблемой.

2. ПОРАЗИТЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ

57

Рис. 9. Лестница Иакова. Этот узел знаком многим детям, его завязывают, пропуская между четырех пальцев веревочную петлю и продевая затем свободные концы между другими пальцами. Эта лестница Иакова, очевидно, эквивалентна самому обычному узлу на петле. Эскимосы и североамериканские индейцы обожают такие игры с веревкой, демонстрирующие бесконечные возможности реализации геометрических мотивов при помощи петли, простейшего из узлов. (Теория узлов)

58

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

Коса

Соответствующий узел

Узел "клеверный лист" Его отображение

Рис. 10

2. ПОРАЗИТЕЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ 59

Потом он заинтересовался одной деликатной проблемой анализа в бесконечномерном пространстве. Речь шла о том, чтобы классифицировать подмножители одного данного множителя — куда уж, казалось бы, дальше от теории узлов. Долгое время он работал один, и никто не верил, что то, над чем он работает, может представлять какой бы то ни было интерес. Все полагали, что он лишь зря теряет время. Спустя несколько лет ему удалось доказать, что индекс подмножителя принимает дискретные значения или имеет непрерывный спектр. Джонс обнаружил, что в процессе доказательства возникала группа, известная как «группа кос», о которой у нас имеется вполне конкретное представление, в основе которого лежат самые обычные косы, получаемые переплетением нескольких нитей. Сначала это была всего лишь простая картинка. Выступая на конференциях, он иллюстрировал свое представление об этой группе, рисуя косы. Наконец, в Нью-Йорке он встретился с топологом по фамилии Бирман и, беседуя с ней, заметил, что его построение, след на алгебре группы кос, дает, по сути, новый инвариант для узлов. Он вычислил этот инвариант на узлах самого простого типа, названных им «клеверными листами», и обратил внимание на тот факт, что если отразить такой узел в зеркале, то его инвариант уже не будет тем же, что прежде. Джонса это удивило, поскольку классические инварианты являются инвариантами и при отражении. Впоследствии на примере большого количества узлов он испробовал всевозможные новые способы вычисления своего инварианта, который, вообще говоря, вычисляется весьма просто, а вот о чисто геометрической его интерпретации нам до сих пор ничего не известно. Этот инвариант чрезвычайно мощен и позволяет различить узлы, которые мы прежде не различали. Он позволяет, например, определять так называемое гордиево число — смысл этого термина думаю, вполне, прозрачен. Развязывая узел, мы обычно вытягиваем концы нити из-под других ее участков до тех пор, пока узел не развяжется; количество нитей, которые необходимо миновать для того, чтобы развязать узел и называется гордиевым числом. С помощью упомянутого инварианта можно определить гордиево число, не развязывая узла! И это очень необычно, так как Джонс начинал работу с чисто математической задачи — с территории, затерянной в одном из самых отдаленных уголков математической географической карты, в одной из самых пустынных ее областей. Однако решение этой задачи привело его прямо к узлам, которые, как тебе известно,

60 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

находят применение и в биологии, поскольку они участвуют во всякого рода задачах по кодировке очень сложных молекул — таких, например, как полимеры. Теперь, впрочем, он активно исследует возможности практического применения своих результатов к вполне конкретным задачам. Вот отличная иллюстрация труднопостижимой мощи математики ради математики, если подходить к этой самой математике без предвзятых идей о возможных дальнейших применениях тех или иных открытий.

Ж.-П. Ш.: Рассказанная тобой история все же подразумевает некое познание на основе опыта.

А. К.: Опыт здесь ни при чем. Здесь, скорее, совпадение.

Ж.-П.Ш.: Да, в конечном счете, .. . когда он встретил ту то-пологиню и в результате этой встречи пришел к тому, чтобы соотнести некоторые виды математических инструментов с вполне конкретной задачей. Узлы могут существовать в природе, а также являются результатом (по большей части) творческой деятельности человека. Однако я так и не могу представить себе, что теория узлов существовала в природе до того, как у нас скопился целый набор всевозможных видов узлов. Этому замечательному математику просто удалось создать мысленный инструмент, который ты называешь инвариантом, и им воспользоваться... Он разработал инструмент, как и человек, который придумал колесо для того, чтобы быстрее передвигаться по земле. Вместо того, чтобы переходить от одного рассуждения к другому, Джонс создал «уплотнение мысли», позволившее ему мгновенно решить задачу.

А. К.: Что меня больше всего поражает, так это то, что его исследование и его открытие не были изначально мотивированы проблемой узлов. Очень интересный пример открытия, мотивированного глубинными проблемами чистой математики. Исследование множителей привело Джонса к открытию центральной функции на группе кос. Поскольку эта функция была нужна ему только для решения задачи по классификации подмножеств, он не усмотрел в ней никаких очевидных связей с узлами. Что называется, грех по неведению. После встречи с Бирман, Джонс выяснил, что в теории узлов тоже используются группы кос и что там требуется, по теореме Маркова, некая функция на группе кос с такими-то и такими-то свойствами. И он воскликнул: «Но у меня есть такая функция, она у меня в кармане».

Ж.-П.Ш.: Я понимаю, что ты хочешь сказать. Два изначально совершенно независимых друг от друга подхода, сошлись в одной

3. ЭЙНШТЕЙН И МАТЕМАТИКА

61

точке. Математический объект, созданный одним, открыл замок, не поддававшийся всем усилиям других. Это, впрочем, не означает, что ключ и замок, открываемый этим ключом, существовали и раньше!

А. К.: Не знаю.

Ж.-П. Ш.: Мы затрагиваем здесь глубинную проблему познания — отыскание причин того, что отдельные математические инструменты, созданные независимо от каких бы то ни было исследований всевозможных частиц, узлов, и прочих природных объектов, оказываются настолько адекватными...

А. К.: Совершенно верно. Это и называется непостижимой эффективностью математики.

Ж.-П. Ш.: Я все же хотел бы, чтобы ты разъяснил мне, до каких пределов простирается эта самая эффективность и какова степень ее универсальности? Я отмечаю среди физиков и некоторых математиков определенную тенденцию к увлечению различными модными математическими моделями. Предполагается, что эти модели применимы к чему угодно, и с их помощью можно с равным успехом описывать поведение совокупностей атомов, нейронов, муравьев, людей. Ты не понаслышке знаком с отношениями между математикой и физикой. Что ты обо всем этом думаешь?

3. Эйнштейн и математика

А. К.: В первую очередь, как в физике, так и в любой другой дисциплине, всякая модель поддается пересмотру и зависит от времени. Мы хорошо усвоили урок — не приходится сомневаться в том, что существующая модель физической реальности рано или поздно будет вытеснена другой моделью. Это та сторона восприятия нами мира, которая поддается пересмотру. Можно пойти еще дальше и спросить себя, в какой степени физическая истина зависит от вопросов, которые мы задаем природе посредством проводимых нами опытов. Однако я глубоко убежден в том, что как только физическая модель разработана достаточно полно, в игру вступает генеративность математики: может даже создаться такое впечатление, что мы, изучая модель с точки зрения строго математической, становимся, тем не менее, немного физиками. Показательна, в этом смысле, эволюция убеждений Эйнштейна. Сложности математического происхождения, с которыми он столкнулся,

62 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

пытаясь сформулировать общий принцип относительности, изменили его позицию: он перестал быть чистым физиком, каковым, несомненно, являлся в 1905 году, и стал математиком. Большую часть своей жизни в науке Эйнштейн провел в попытках разработать теорию, которая объединила бы в себе электромагнетизм и гравитацию. Успех математической модели общей теории относительности был настолько велик, что Эйнштейн пришел к мысли, что решение его проблемы лежит в области математики. В 1921 году он писал о теории относительности: «Я хотел бы, чтобы вы поняли — эта теория изначально не была спекулятивной, она целиком и полностью обязана своим появлением желанию выработать физическую теорию, способную как можно лучше объяснить наблюдаемые факты. Это не революционный акт: отказ от некоторых типов понятий должен рассматриваться не как произвол, а как прямое следствие наблюдения за фактами». Но в 1933 году он пишет обратное: «Если правда то, что аксиоматическая база теоретической физики не может происходить из опыта, а должна быть выдумана, то можем ли мы тогда рассчитывать на то, что найдем однажды правильный метод? Я убежден, что если подходить к делу со стороны чистых математических конструкций, то возможно отыскать концепции и законы, объединяющие одни такие конструкции с другими, — концепции и законы, которые должны дать нам ключ к пониманию природных явлений... Созидательный принцип следует искать в математике.» [90].

В настоящее время мы являемся свидетелями очень похожего явления в теоретической физике: исчерпав все возможности, физик-теоретик приходит, за неимением лучшего выбора, к необходимости переквалифицироваться в математики. Я говорю о теории струн. В конце шестидесятых годов физики пытались отыскать непосредственно, без исследования локальных механизмов сильных взаимодействий, математическую форму так называемой 5-матрицы, которая определяет вероятность того, что в результате сильного взаимодействия двух произвольных частиц с импульсами pi и р2 образуются две частицы рз и р4- Речь идет о том, чтобы найти функцию четырех переменных pi, p2, рз и р^. Относительная инвариантность позволяет ^свести ее к функции двух переменных. Выдвигая упрощающую гипотезу, мы приходим к тому, чтобы решить ее и указать решение в форме интеграла даже для процессов, включающих более четырех частиц. Эта гипотеза называется моделью Венециано. Далее физики-теоретики доказали — отсю-

3. ЭЙНШТЕЙН И МАТЕМАТИКА 63

да и берет начало большая часть расхождений во мнениях, — что в действительности эта модель описывает взаимодействие не точечных частиц, но малых струн (см. рис. 11a).

Интерес к этой теории сильных взаимодействий был, однако, недолговечен — после доказательства т'Хоофтом возможности перенормировки теорий калибровочных функций, открытия асимптотической свободы и т.д. ее вытеснила хромодинамика. Наконец, к 1980 году, теория струн пережила свое второе рождение, но уже не в качестве модели сильных взаимодействий, а как модель квантовой гравитации.

Ж.-П. Ш.: Речь идет все о том "же математическом формализме?

А. К.: О том же самом математическом формализме. Дело лишь в изменении масштаба: при сильном взаимодействии стандартный масштаб длины составляет 10~ ^13 сантиметров, в то время как в случае гравитации он будет равен 10~ ^33 сантиметров. Следовательно, необходима энергия, намного превосходящая все то, что мы можем получить, иначе говоря, очевидно, что ни один доступный нам экспериментальный феномен из этой теории не следует. На данный момент теория струн имеет значение лишь в плане, не скажу, что чисто философском, поскольку это не так, но, скорее, формальном. Известно, что описание расходимостей в теории поля можно уточнить посредством введения этих самых «струн». Заменим точки струнами, а частицы малыми струнами, способными перемещаться. Смысл такой замены объясняется очень просто. Когда две частицы сталкиваются, образуя новую частицу, или когда одна частица делится на две, мы наблюдаем сингулярный процесс, т. е. возникает особого рода точка, из которой выходят три ветви (рис. 11). Это и есть сингулярность, которая является источником упомянутых мною только что расходимостей и возникает при обмене одной или нескольких виртуальных частиц. Однако если заменить линию, символизирующую частицу, цилиндром малого диаметра, по которому перемещается струна, то хорошо видно, что три цилиндра, подобно самым обыкновенным водопроводным трубам, могут соединяться и без сингулярности, оставаясь при этом везде круглыми (рис. 11a). Чего можно ожидать от этой теории? Заменив траектории цилиндрами, мы избавляемся от сингулярности, она становится конечной, вместо того, чтобы быть бесконечной, как предполагает классическая теория.

64

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

Рис. 11. Пример расходящихся диаграмм в квантовой электродинамике.

Рис. 11a. Диаграмма без сингулярности, согласно теории струн.

3. ЭЙНШТЕЙН И МАТЕМАТИКА 65

Я хотел бы повторить, что мое личное отношение к физике совсем не является отношением физика, хотя я восхищаюсь всеми открытиями, сделанными физиками — как, например, открытие Гейзенберга — в их весьма прагматичной манере, т. е. происходящими из опыта. Физикам принадлежит и честь такого необычайно важного открытия, как теория поля, однако на данном этапе развития науки эта теория не укладывается пока так просто в рамки уже известной нам области математической реальности. Собран огромный объем необработанного материала, о добыче новых экспериментальных результатов речь уже не идет. Математика в этом смысле отстает; переварить то, что поступает от физиков, мы пока не в состоянии. Таким образом, нам, очевидно, следует сосредоточить наши усилия на этих физических открытиях, причем работать нужно, скорее, в рамках чистой математики, не пытаясь искусственно втиснуть в рамки те вещи, которые естественным образом туда не помещаются.

Ж.-П. Ш.: У меня создается впечатление, что работа физика — равно, как и работа математика — очень похожа на изготовление «интеллектуальных самоделок ^1 », если воспользоваться термином, который так нравится Клоду Леви-Строссу [71] и Франсуа Жако-бу [62]. Берем модель в одном месте и применяем ее к экспериментальному наблюдению в другом. Теория струн не годится для того, чтобы объяснить диффузию частиц. Отказаться от такой теории! Но вдруг она совершенно неожиданно оказывается пригодной для уточнения теории квантовой гравитации. Здесь мы имеем дело, скорее, с этаким теоретическим «прет-а-порте», нежели с «шитьем по мерке». Это в какой-то степени делает более привлекательными и те дисциплины, которые несколько легкомысленно принято называть «точными науками», снимает с них завесу таинственности!

С другой стороны, я отчетливо помню, что, говоря об отношении математических объектов к объектам физическим, ты употребил выражение «втиснуть в рамки», вместо «отождествить». И этими самыми рамками ты определяешь весьма специфичный способ описания физической реальности. Мне же, напротив, кажется, что если бы математика присутствовала изначально в природе, если бы материя организовывалась посредством математических законов, то мы имели бы тогда полное отождествление между математиче-

*В оригинале bricolage, что приблизительно означает «поделки», «всевозможные вещи, которые мастерят своими руками из подручных материалов». — Прим. перев.

66 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

скими и природными объектами. Ничего подобного, однако, мы не наблюдаем. Это означает, если следовать твоей логике, что математических объектов в природе нет. Они где-то в другом месте, но где? В каком-то ином состоянии, в какой-то иной форме, которые ты пока еще не определил. У тебя получается своего рода дуализм между материей и математикой, этакий раскол между телом и духом, которого я, естественно, принять не могу.

А. К.: Дуализм тела и духа располагается в иной плоскости. Окружающий нас физический мир, не являясь вместилищем математической реальности, обладает, в то же время, некоторой труднообъяснимой взаимосвязанностью с этой математической реальностью. Как сказал, если не ошибаюсь, Эйнштейн: самая непостижимая черта физики в том, что она постижима. Сложно представить, что именно математика ответственна за организацию природных феноменов.

Ж.-П.Ш.: Согласен с «организацией феноменов», добавлю лишь «в нашем мозге».

А. К.: Не знаю. Я не совсем уверен, что можно говорить «в нашем мозге». Так можно договориться и до того, что внутри нашего мозга сосредоточено все восприятие внешнего мира.

Ж.-П.Ш.: Так оно и есть.

А. К.: Да, но мы же только что сошлись на том, что внешний мир существует независимо от нас.

Ж.-П.Ш.: Верно, а воспринимаем мы его исключительно посредством нашего мозга и наших органов чувств.

А. К.: Точно такое же отношение к нам имеет и математический мир. Он существует независимо от нас, коль скоро все математики согласны друг другом относительно независимой структуры индивидуального восприятия. С другой стороны, очевидно, что это вполне может побудить кого-нибудь высказаться в том духе, что математический мир реализуется исключительно в его мозге, точно так же, как внешний физический мир воспринимается человеком только через мозг.

Ж.-П.Ш.: Разумеется. Понимаю. Но не согласен. В частности, с твоим «точно так лее». Я уже подчеркивал опасность употребления метафор в таких ситуациях. Аналогия не является доказательством. В конце концов, отношения математики с биологией более просты, чем с физикой, и гораздо менее двусмысленны. Построение моделей требует использования математического аппарата, иногда даже происходит смешение биологии с математикой,

4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ 67

как ты только что отметил. Наша точка зрения менее амбициозна, но обеспечивает более значительную дистанцию. Таким образом, мне кажется, что наша позиция является более определенной, чем позиция некоторых физиков.

А. К.: Естественно, дистанция здесь больше. Переплетение математики и физики объясняет то, что физикам удается удерживать дистанцию, лишь прилагая большие усилия. Да, я согласен.

4. Польза от математических моделей в биологии

Ж.-П.Ш.: Вера в объясняющую способность математической модели встречается у биологов реже. Применительно к биологии математика служит, главным образом, двум целям. Первая — это анализ экспериментальных данных...

А. К.: Это ты о статистике.

Ж.-П.Ш.: Да, о получении и обработке данных. Это можно делать и при помощи компьютера, автоматически, не привлекая интеллектуальные способности экспериментатора. Кроме того, математика помогает нам при построении теоретических моделей. Эти модели разрабатываются на основе экспериментальных данных, как и в физике. Мы учитываем соответствующие посылки — например, для исследования распространения нервного импульса нам необходимо учесть величину изменения потенциала в определенной точке нерва и силу тока, создаваемого ионами натрия или калия в зависимости от потенциала. Ходжкин и Хаксли предложили уравнение [55], которое на основании этих посылок дает представление об ионной природе нервного импульса. Это уравнение позволяет описать явление, реконструировать его, опираясь на элементарные данные (см. рис. 12 и 12a).

А. К.: Такой способ кодировать информацию...

Ж.-П.Ш.: И, по большей части, воссоздавать ее заново.

А. К.: То есть это почти как в языке, поскольку язык служит как раз для воспроизводства...

Ж.-П.Ш.: Да. Язык позволяет воспроизводить информацию, но он, кроме того, обладает предсказательным характером. Во всяком случае, ни один знакомый мне биолог не скажет, что уравнение Ходжкина и Хаксли можно идентифицировать с нервным импульсом, ни даже то, что оно управляет его распространением. Распространение нервного импульса диктуется вовсе не тем или

68

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

01234

Рис. 12. Модель нервного импульса, предложенная Ходжкином и Хаксли. Волна распространяющегося потенциала показана прерывистой чертой (V). Ее можно разложить на две составляющих: транспорт ионов Na" ^1 " внутрь клетки и ионов К" ^1 " за пределы клетки, представленные здесь в виде проводимостей #[Na] и #[к]. (Воспроизводится по [56].}

Рис. 12a. Первичная структура канала, селективного в отношении ионов натрия, которые задействованы в распространении нервного импульса. С помощью методов молекулярной генетики был идентифицирован генетический материал, содержащий код протеина, ответственного за транспорт ионов Na" ^1 " сквозь мембрану нейрона в процессе распространения нервного импульса. Этот протеин состоит из одной цепочки длиной в 1820 аминокислот. В нижней строке цепочки — участок молекулы ДНК, представленный в виде последовательности триплетов из четырех оснований (А, Т, G и С); в верхней строке — участок молекулы протеина, образуемый соединением существующих в природе аминокислот (21 аминокислота), обозначенных здесь трехбуквенным кодом. (Воспроизводится по [85])

4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ

69

zs

** * _ и » «»

^

О «I» _ IM "О ·*·

Й^^

iUiusoesssfi^ -L-oess!^

и'«$т»с«'(:««й-L-»ит«^1и^^

»·» J» ЭЮ MC

|^U*KTM1U1lJ^t»CCMW^1MwItIUI«lJmTCUCIUACCC«MCIK•Tr»C1«*iM.*»T[>]r«li«« tT»rI«i*rf>iai>«lrVrti*r(TrtltttM.MI^^S^iSS^SS^^

i'i'u3k^i3ka&jii3Mu3i3^^

:ArtMCCMUI"'CMI«'CT«aCMIUDI M«

^^ ffiRSiiab!^^

710 ?» /M

W«"^TCTKW»MA

' ПО 400

tTIWUi«TUl*^ l

'с«&

/>-Ич»,\Л»^»,|),[>],1»»

»»о

I-5«r^1») )«*>7n»»>rr*)C)«C[r]U«UL»lrU]rni*m[(] Ik ПС. If, I ) IT,»,^,! !(*«·„»

rttr»4»^Ticrtt4^l'K««<.CcrcrftCIt4*C»rCtSfUebU«ATf«K^!bI^IKUM'*GIKIS

U«'^O*t»«<>lllAtii»r[<]i)H>[l].M«»*l>'-fbl[>]lnf4.,^>ytt«

С1Мти«сшшксс11ШммдтЁ1мс*ш:А»1(х:1хдмг

лт»7««К1

Iiii'!*!iI;?'-i*I*i ^v II^;fr* ^r ^ ^lrfi " ^G '" ^1 ' ^A '*' ^r4 ^ ^u «*^«» ^l ' ^rl ^^ ^tf ''^^«^^«>*^ ^l »'»' ^1 f'''»i<^irii»^ •a

70 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

иным Универсальным Математическим Законом, как любят повторять, говоря о своей работе, некоторые физики!

А. К.: Мне кажется, в данном случае ты очень точно формулируешь проблему. Если провести анализ какого-либо явления — химический, скажем, или электрический, — то полагаю можно, воспользовавшись химическими законами, прийти к доказательству соответствующего уравнения.

Ж.-П.Ш.: Очень важный момент. Упомянутое математическое уравнение можно было бы объяснить позднее — по меньшей мере, частично — с помощью лежащих в основе явления молекулярных процессов. Молекулу, образующую чувствительный к напряжению канал, через который проходят ионы натрия, удается изолировать, нуклеиновую же кислоту, которая эту молекулу кодирует, мы уже умеем клонировать и воспроизводить [85]. Отныне молекулярные механизмы, определяющие распространение нервного импульса, находятся в наших руках. При всем том важно уяснить, что математическое уравнение не позволяет добраться непосредственно до элементарной структуры, которая как раз и объясняет явление. Доступ к этой структуре можно получить лишь при использовании совершенно другого подхода, основанного на методах биохимии и молекулярной биологии. Математическое уравнение распространения нервного импульса основывается на некотором количестве предположений, относящихся к постулируемым моделью каналам. Разумеется, оно определяет некоторый набор элементарных ионных свойств, которые должна демонстрировать ответственная за рассматриваемое явление молекула. Однако из уравнения совершенно невозможно узнать, являются ли эти самые каналы протеинами или же липи-дами. Уравнение имеет дело с кооперативными явлениями, происходящими на уровне мембраны и ионного транспорта. Оно не сообщает нам, каково будет точное число участвующих в процессе субъединиц или действующих протеинов. Математика играет для биолога лишь некоторую предсказательную роль, весьма при этом ограниченную. Она не позволяет нам дойти непосредственно до структуры.

Приведу в качестве иллюстрации этого соображения другой пример — законы наследственности. Это один из самых известных и самых простых примеров. Исследуя наследственную передачу цвета цветов гороха, Мендель показал, что она следует законам, которые формулируются предельно простым математическим

4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ 71

уравнением. Законы Менделя позволяли сделать вывод о существовании устойчивых и передаваемых по наследству детерминантов, но, разумеется, не позволяли предположить, что материальным носителем наследственности являются хромосомы или, тем более, ДНК.

b обоих приведенных мной примерах — распространение нервного импульса и законы Менделя — математическое уравнение описывает некую функцию. Оно позволяет определить поведение, но не объясняет явление. В биологии объяснение идет в паре с идентификацией структуры, порождаемой определяющей ее функцией. Открытие требует учета отношений структура-функция, а не одного лишь описания процесса при помощи математического уравнения.

А. К.: Я согласен с твоей интерпретацией. Так часто бывает и в физике, когда мы начинаем решать задачу с написания уравнений среднего поля, совсем как физики XIX века. Пока нам ничего не известно о соответствующей микроскопической структуре, доказать эти уравнения мы не можем. Но как только теория приобретает достаточно проработанный вид, в действие вступает ге-неративность математики. Мой любимый пример позаимствован у Гейзенберга. Результаты экспериментальной спектроскопии — такие, как комбинационный принцип Ридберга-Ритца — привели Гейзенберга к пониманию того, что алгебра наблюдаемых величин для системы атома должна быть некоммутативной, алгеброй матриц. Из одного лишь этого наблюдения и некоторого количества математических преобразований на свет явилось уравнение Шредингера, объясняющее загадочные числа (разности обратных квадратов двух целых чисел), которые управляют закономерностями в спектре излучения атома водорода. Располагая принципом исключения Паули и более развитой математикой, мы сможем, в конечном счете, справиться и с анализом уравнения Шредингера для атома с n электронами.

Ж.-П. Ш.: И, наконец, полностью описать таблицу Менделеева.

А. К.: Это-то и удивительно. В моделировании любого явления можно различить два этапа. В первую очередь, это этап, который прошли физики XIX века, наблюдая течение потока жидкости и описывая явления макроскопически. Впоследствии, с ростом понимания микроскопической структуры материи, ученые пришли к использованию генеративности математики, которая позволила установить, что количество возможных вариантов, в общем слу-

L

72 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

чае, ограничено, и предопределила дальнейшее развитие химии как науки (см. рис. 13).

Ж.-П.Ш.: Однако не связан ли этот генеративный аспект, как ты только что отметил, именно с тем фактом, что мы достигаем здесь самого нижнего уровня, где проявляются закономерности, обладающие вследствие этого универсальной применимостью?

А. К.: Разумеется. До тех пор, пока нам не удастся добраться до уровня, расположенного глубже среднего поля, эффективность генеративного аспекта математики, как мне представляется, будет ограниченной.

Ж.-П.Ш.: Примерно о том же я и говорил несколько ранее. Уравнение Ходжкина и Хаксли допускает обобщение. Ему присущ предсказательный аспект. Однако как только дело доходит до анализа индивидуальных ионных каналов и молекул, коллективная активность которых формирует нервный импульс, возникает новая совокупность правил и предсказаний. Они формулируются в новой математической форме, которая применяется к новым системам — к каналам, селективным в отношении кальция или же к тем, что чувствительны к нейромедиаторам.

А. К.: Абсолютно согласен. И все же я хотел бы предложить некую общую критику в том, что касается типа математики, используемого в такого рода моделировании. Упомянутый тип математики всегда вращается вокруг уравнений с частными производными или, в лучшем случае, вокруг моделей статистической механики. В обоих случаях, как и в большинстве физических моделей, ведущим принципом является фундаментальное понятие области взаимодействия. Даже взаимодействия нелокализованного типа, такие как ньютоновское притяжение, становятся локализованными при введении подходящих полей. Принцип области взаимодействия является золотым правилом современной физики, главный инструмент которой — лагранжев формализм. Однако мне не кажется очевидным, как минимум a priori ^1 , что интересной и полезной биологу, специализирующемуся на функционировании мозга, будет лишь та математика, о которой я говорил. Было бы хорошо, если бы биологи не только имели хотя бы элементарное представление о таких понятиях, как комбинаторная топология, но и активно использовали бы их.

Ж.-П. Ш.: Так и будет... после нашей беседы.

«из предыдущего» (лат.), т.е. заранее, до опыта. — Прим. перев.

4. ПОЛЬЗА ОТ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В БИОЛОГИИ

73

Z

Элемент

И^эВ)

Электронная конфигурация

Is

25 2р

3s 3p 3d

4s 4p 4d 4/

1

H Водород

13,6

1

2

Не Гелий

24,6

2

3

Li Литий

5,4

1

4

Be Берилий

9,3

2

5

В Бор

8,3

заполнен

2 1

6

С Углерод

11,3

2 2

7

N Азот

14,5

(2)

2 3

Число электронов

в каждом слое

8

О Кислород

13,6

2 4

9

F Фтор

17,4

2 5

10

Ne Неон

21,6

2 6

И

Na Натрий

5,1

1

12

Mg Магний

7,6

2

13

AI Алюминий

6,0

2 1

14

Si Кремний

8,1

зало,

лен

2 2

15 16

P Фосфор S Сера

10,5 10,4

(2)

2 3 2 4

17

Cl Хлор

13,0

2 5

18

Ar Аргон

15,8

2 6

1

19

К Калий

4,3

20

Са Кальций

6,1

2

21

Se Скандий

6,5

1

2

22

Ti Титан

6,8

2

2

23

V Ванадий

6,7

заполнен

з

2

24

Сг Хром

6,8

5

1

25

My Марганец

7,4

(2)

(8)

(8) 5

2

26

Fe Железо

7,9

6

2

27

Со Кобальт

7,9

7

2

28

Ni Никель

7,6

8

2

29

Си Медь

7,7

10

1

30

Zn Цинк

9,4

10

2

31

G a Галлий

6,0

2 1

32

Се Германий

7,9

заполне

н

2 2

33

As Мышьяк

9,8

2 3

34

Se Селений

9,7

(2)

(8)

(18)

2 4

35

Вг Бром

11,8

2 5

36

Кг Криптон

14,0

2 6

Рис. 13. Начало периодической таблицы элементов.

74 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

А. К.: Именно по этой причине я и был так заинтересован в нашей встрече. В биологии математика используется как язык. Если, к примеру, вы располагаете кривой ответов, то очевидно, что гораздо проще ее выразить, когда есть простая математическая функция, позволяющая эту кривую описать, чем когда вы вынуждены описывать ее, выделяя параметры. Это просто проявление молодости биологии. Если посмотреть на то, как развивалась физика, то можно заметить, что те или иные явления прежде всего стараются формализовать, описать их с помощью математических функций. Так, например, произошло с открытием Планка. Однако в какой-то момент, в силу генеративного характера математики, появляется возможность добавлять в описание что-то новое. И не только потому, что уравнения допускают прогнозирование. Здесь проявляется та же внутренняя взаимосвязанность явления с математикой, какую мы наблюдали в случае атома водорода, что позволяет допустить, исходя из критериев простоты и из математической эстетики, существование интуитивного предчувствия возможной истинности в тех случаях, когда мы практически не располагаем никакими предварительными экспериментальными результатами, а затем и убедиться в оправданности этого предчувствия. Я с большим оптимизмом отношусь к той генеративной роли, какую математика могла бы, при необходимости, сыграть и в биологии. Мне представляется, что очень скоро — пусть и не сегодня, а лишь когда удастся понять, какую из областей математической реальности можно лучше всего увязать с биологией, — генеративность математики придется весьма и весьма кстати.

5. Квантовая механика: первичный осмотр

Ж.-П. HL: Я хотел бы вернуться к квантовой механике и к тем выводам, которые можно получить посредством грубого, примитивного, но все же достаточно уместного приложения математики к биологии. Время от времени мы сами превращаемся в математиков, или же сотрудничаем с математиками, стремясь отыскать, скажем так, математическую рамку, которая по возможности наилучшим образом подошла бы к интересующим нас биологическим феноменам. Причем речь идет вовсе не об идентификации биологических реалий с математическими объектами. Мы всего лишь пытаемся сконструировать математические объекты, которые со-

i

5. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: ПЕРВИЧНЫЙ ОСМОТР 75

ответствовали бы объектам природным. Мы размышляем, находим решение, разрабатываем модель за моделью, обращаемся к литературе и находим там множественные свидетельства предшествующих нашим попыток и ошибок. И что же мы делаем в результате? Мы выбираем модель, которая лучше всего «сидит». Иначе говоря, наш подход к математике является крайне прагматичным и конкретным. Мы берем от нее только то, что наиболее полно соответствует природной реальности. Математика для нас есть набор мысленных объектов. Ни больше, ни меньше.

В связи с чем мне хотелось бы снова вместе с тобой обратиться к квантовой механике — области физики, которая мало мне знакома. У меня такое чувство, что физики работают в области, в рамках которой им весьма сложно представить то, что происходит в масштабе, очень отличном от того, в котором функционирует наш мозг и органы чувств (см. рис. 14). И когда физик говорит нам, что законы квантовой физики предполагают фундаментальную неопределенность (я умышленно употребляю термины, которыми они пользуются в своих трудах), возникает вопрос, а не совершают ли физики серьезную эпистемологическую ошибку...

А. К.: Ты хочешь сказать «ошибку на языковом уровне»?

Ж.-П. Ш.: Ошибку, которая заключается в идентификации природы и модели, созданной ими для описания этой природы. Учитывают ли они всерьез не только инструмент измерения и взгляд наблюдателя, но и особенности функционирования собственного мозга, равно как и его способность воспринимать явления в том масштабе, в котором повседневный опыт и здравый смысл оказываются неприменимы. Что ты думаешь об этом?

А. К.: Я и сам уже сталкивался с вопросом о фундаментальной неопределенности. Поэтому я смогу тебе ответить. В первую очередь, возникает проблема языка — впрочем, она не является самой важной. Известно, что нельзя представлять частицу как материальную точку с определенными местоположением и скоростью. Если мы хотим, например, построить мысленный образ электрона, вращающегося вокруг ядра атома водорода, то правильнее будет вообразить некую волновую функцию, определяемую уравнением Шредингера и уровнем энергии, нежели планетарную систему. В случае же более сложного атома — например, атома гелия, в котором ядро окружают два электрона, — мысленный образ окажется гораздо более сложным, поскольку волновая функция, пространственную форму которой в случае с одним электроном

76

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

Рис. 14. Гравюра из «Трактата о равновесии жидкостей» Блеза Паскаля (1664, 2-е издание, С. Desprez, Париж). Исследуется проблема меры в физике и связи этой меры с экспериментатором. Любопытно, что последний изображен ниже уровня воды.

(см. рис. 15) еще можно хотя бы визуализировать, представляет теперь собой функцию с двумя пространственными переменными, т.е. функцию в шестимерном пространстве. Следующим шагом мы должны понять, что хотя язык частиц и нельзя назвать самым удобным для восприятия, он тем не менее позволяет формулировать вопросы, на которые природа дает ответы. В качестве конкретного примера рассмотрим некий дискретный источник частиц — скажем, электронов, — который время от времени испускает их в направлении очень узкой прорези, создавая эффект дифракции. Можно описать эту систему, отталкиваясь от волновых функций, и предсказать вид дифракционной картины на экране, расположенном за прорезью, в любой точке траектории электрона. Если бы язык частиц никуда не годился, мы сразу получили бы тому доказательство: вследствие дифракции электрон должен был бы трансформироваться в облако. Однако этого не происходит. Проводя опыт, мы каждый раз будем получать попадание в ту или иную точку на экране. Иначе говоря, электрон остается частицей. Именно в подобных опытах и проявляется особенно ярко упомя-

5. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: ПЕРВИЧНЫЙ ОСМОТР

77

т — О

т -

2р, т = О Рис. 15. Пример волновой функции электрона в атоме водорода.

I

78 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

нутая тобой фундаментальная неопределенность. Всякий раз, как источник испускает электрон, этот электрон действительно ударяется в некоторую точку x на регистрирующем экране (см. рис. 16). Все дело, однако, в том, что результат такого эксперимента («источник испускает электрон, который затем достигает некоторой точки x на экране») невоспроизводим в принципе. И это нисколько не зависит от точности задания величины х. Равно невоспроизводим и результат эксперимента «источник испускает электрон, который затем достигает верхней половины экрана». Нам никогда не удастся воспроизвести исходные данные с точностью, достаточной для того, чтобы наверняка получить тот же самый конечный результат. При проведении второго опыта у нас будет не более одного шанса из двух, что результат будет тем же. Какова бы ни была точность испускающего электроны аппарата, мы не сможем повторить опыт с тем же результатом. Воспроизводима лишь частота, вероятность появления электрона в той или иной точке экрана. Единственная воспроизводимая величина — нечто вроде плотности, иначе говоря, кривая частоты попадания электронов в различные точки регистрирующего экрана. Она имеет форму кривой дифракции и позволяет предположить, что электрон прибудет в ту или иную точку с такой-то вероятностью.

Ж.-П.Ш.: Существование фундаментальной неопределенности, тем не менее, не доказано. Аналогичные вещи могут происходить и в гораздо более макроскопических ситуациях, например, при броуновском движении...

А. К.: Если бы так. Необходимо уяснить, что сам факт удара электрона в ту или иную точку экрана ни в коем случае не следует принимать за воспроизведение результата эксперимента. Этот результат не в состоянии предусмотреть ни одна теория, поскольку он невоспроизводим. Если мы намерены заниматься физикой, то нужно четко определить, что такое физическое явление. Как только мы дадим этому понятию связное определение, в квантовой механике больше не возникнет никакой путаницы и никаких парадоксов. Теория замечательно согласуется с соответствующей математической моделью. Какое же определение можно дать понятию «физическое явление»? О физическом явлении можно говорить, только располагая воспроизводимыми экспериментальными результатами. Таким образом, физическое явление есть результат опыта, который, если точно оговорить исходные данные, сможет с идентичным результатом воспроизвести далее экспериментатор

5. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: ПЕРВИЧНЫЙ ОСМОТР

79

Источник электронов

Прорезь в перегородке

Фотографическая пластинка

Рис. 16. Явление дифракции.

в другой лаборатории. Если же, напротив, мы не можем передать исходные данные настолько точно, чтобы получить при повторении эксперимента тот же результат, то рассматриваемое нами явление не является физическим явлением. Поэтому оно и не может быть предусмотрено теорией.

Ж.-П.Ш.: То есть фундаментальной неопределенности не существует. Тому факту, что электрон в один момент времени попадает в одну точку, а в другой момент — в другую, может, в конце концов, кто-нибудь не сегодня завтра даст детерминистское объяснение.

А. К.: Не даст. Известно, что это явление необъяснимо даже с помощью так называемых «скрытых переменными».

Ж.-П.Ш.: Это потому, что гипотеза скрытых переменных выводится из частной модели. Но, возможно, существует какая-либо другая модель, о которой физики еще не задумывались.

А. К.: Нет. Гипотезу скрытых переменных невозможно совместить с существующей моделью квантовой механики, моделью, единственным оправданием которой служит ее невероятная по-

80 ПРИРОДАг ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

пулярность. Можно представить последовательность опытов, подтверждающих неравенства Белля, согласно которым интерпретация посредством скрытых переменных совместима с существующей моделью. Моя точка зрения очень проста. Существуют результаты, которые можно назвать физическими, поскольку они воспроизводимы. И есть другие результаты, физическими не являющиеся, поскольку воспроизвести их нельзя.

Ж.-П. Ш.: Я все думаю об употреблении термина «невоспроизводимость». Когда при стимуляции глаза записывают реакцию нейрона, то получают целый пакет импульсов. Однако из опыта в опыт мы вовсе не обязательно записываем при этом одинаковое количество импульсов...

А. К.: Естественно. Зато опираясь на эти результаты, можно вывести некий закон, который будет воспроизводим, и именно это обстоятельство и решает дело в данном случае.

Ж.-П. Ш.: Так и есть. После некоторого количества опытов обнаруживается некий усредненный и вполне воспроизводимый отклик. И многие биологи скажут, что формирование этого отклика можно считать «детерминистским» — от сенсорного рецептора к нейрону, независимо от всевозможных «колебаний», вносящих в процесс свой вклад. Я использую термин «колебания», поскольку речь идет о изменчивости, вызванной более тонкими модальностями передачи сигнала на уровне синапсов, геометрии контактов между нервными клетками и т. д., которые исследователь в опытах такого рода не контролирует. На деле при переносе информации внутри нервной системы существует несколько уровней изменчивости. В них нет ничего загадочного [5J. Если применить такое рассуждение к процессам, которые изучают физики, то возникает вопрос, не в том ли все дело, что те просто пока не нашли модель, которая дала бы более глубокое объяснение. Модель скрытых переменных не работает. Разве не следует, столкнувшись с отрицательным результатом или неудачной интерпретацией, остановиться и задуматься? Возможно, когда-нибудь мы сможем прийти к более рациональному объяснению.

А. К.: В случае с глазом известно, что при повторении опыта с одними и теми же исходными данными каждый раз получается один и тот же пакет импульсов.

Ж.-П. Ш.: Да, теоретически. На практике же это невозможно.

А. К.: В то время как в квантовой механике мы имеем дело именно с теоретической невозможностью; в этом-то и разница.

5. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: ПЕРВИЧНЫЙ ОСМОТР 81

Ж.-П.Ш.: Боюсь, я не совсем понимаю твое рассуждение. Нечто представляется теоретически невозможным — может быть лишь потому, что до сих пор не была обнаружена адекватная теория?

А. К.: Нет. К сожалению, это очень сложный момент. Моя позиция в этом вопросе вполне однозначна. Некоторые экспериментальные результаты можно счесть физическими явлениями. Однако они таковыми не являются, поскольку невоспроизводимы. Никакая теория не может предсказать явление, если его нельзя воспроизвести.

Ж.-П.Ш.: Но это вовсе не исключает того, что экспериментальный результат может стать физическим явлением. Создается впечатление, что физики оказались во власти теории, которая объясняет природные явления слишком хорошо, и им теперь ни к чему искать — и найти наконец — другую теорию. Разве что они, заинтересовавшись какой-нибудь поставленной задачей, рискнут-таки углубиться в суть вопроса.

А. К.: Согласно теории в ее современном состоянии, фундаментальная неопределенность проявляется непосредственно при измерении двух последовательно наблюдаемых (некоммутируемых) величин; количественно эту неопределенность выражает принцип неопределенности Гейзенберга. Этот принцип имеет не только теоретическую, но и практическую значимость. На экспериментальном уровне квантовая механика ставит проблему проведения опытов и невоспроизводимости их результатов. Если в опыте с электроном я закрываю щель и измеряю отдачу экрана, вызванную попаданием электрона, то это явление можно замечательно воспроизвести и отлично объяснить с помощью физики. Здесь действует закон сохранения импульса. Когда я говорю «При значительном количестве испущенных электронов вероятность попадания в определенную точку на экране имеет такое-то значение», я описываю явление совершенно воспроизводимое и вполне объяснимое с точки зрения теории. Если же я скажу «Электрон прибыл в такую-то точку на экране», то я опишу лишь результат, который экспериментально воспроизвести невозможно.

Ж.-П.Ш.: Под физическим явлением ты понимаешь явление воспроизводимое. Это значит, что нужно определить экспериментальные условия таким образом, чтобы эксперимент впоследствии можно было бы воспроизвести. Если бы мы знали о фактах, опре-

82 ПРИРОДА, ОДЕТАЯ по МЕРКЕ

делающих передвижение электрона вверх или вниз, то мы смогли бы воспроизвести это явление.

А. К.: Того, о чем ты говоришь, нельзя достичь, не изменив результата, даже на статистическом уровне.

Ж.-П. ILL: В таком случае, теория никуда не годится.

А. К.: Возможно, однако она точно объясняет воспроизводимые экспериментальные явления. И, как я уже упоминал, с помощью этой теории (правда, в несколько более уточненном виде) стало возможным предсказать, например, так называемый аномальный магнитный момент электрона, с погрешностью измерения, соответствующей погрешности в толщину волоса при измерении расстоянии от Парижа до Нью-Йорка.

Ж.-П. ILL: Необъясненным остается наиболее фундаментальный уровень, к которому математики еще не получили «мысленного» доступа. Модель Ходжкина и Хаксли отлично подходит для объяснения электрических феноменов в нервном импульсе в понятиях ионного переноса. Тем не менее, в ее рамках невозможно непосредственно идентифицировать соответствующие ионные каналы, что удалось, однако, осуществить молекулярному биолоху, использовавшему методы, радикально отличающиеся от тех, что использовали в своих опытах Ходжкин и Хаксли.

А. К.: Я все же приведу иллюстрацию, чтобы показать, как можно избавиться от дискомфорта, возникающего вследствие явной неопределенности квантовой механики. Если ограничить поле исследований физика воспроизводимыми явлениями, то мы получим совершенно связное единое целое, а невозможность предсказать, в какую точку угодит электрон, — это своего рода отступление, вызывающее сильную фрустрацию у теоретика. Возьмем пример, хорошо знакомый физикам: параллельные вселенные Эверет-та [32]. Все выглядит так, будто могут происходить все возможные события, что электрон может ударить в любую точку на экране. Однако каждый из этих возможных вариантов означает бифуркацию вселенной на две параллельных вселенных. Простоты ради предположим, например, что мы производим измерение с двумя возможными результатами. Это измерение, таким образом, создает бифуркацию на две параллельных вселенных. Мы окажемся в одной из них или в другой, в зависимости от той или иной реализованной возможности. Взаимосвязанность этих двух параллельных вселенных достаточна для того, чтобы в статистике средний результат был одинаковым. Каждый результат опыта

5. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА: ПЕРВИЧНЫЙ ОСМОТР 83

зависит от той конкретной параллельной вселенной, по отношению к которой происходит бифуркация. Сам по себе результат не воспроизводим.

Ж.-П. Ш.: Идея мне кажется интересной. Но умело поддерживаемая путаница между невоспроизводимостью и неопределенностью наводит на мысль, что большинство теоретиков бессознательно просто отказываются признать, что они потерпели здесь неудачу.

А. К.: Нельзя даже надеяться на возможность предсказания невоспроизводимого результата. Главным свойством физического эксперимента — думается, в этом вопросе все со мной согласятся — является его воспроизводимость. Если эксперимент невозможно воспроизвести, значит, он не обладает физическим содержанием. Неудача здесь не в теории, а в эксперименте. Настраивая экспериментальную установку, мы не приходим к знанию того, как уточнить исходные данные так, чтобы заранее знать точку попадания электрона. Принцип неопределенности Гейзенберга показывает, что достичь этого абсолютно невозможно; та же неопределенность проявляется и тогда, когда мы последовательно измеряем две наблюдаемые величины, которые не коммутируют между собой (как, например, в опыте Штерна - Герлаха).

Ж.-П. Ш.: Может быть, ты смог бы найти способ управлять каким-либо физическим параметром, на который раньше никто не обращал внимания. Это способ может быть как теоретическим, так и экспериментальным. Было бы пикантно, если бы провести эксперимент физикам предложил математик!

А. К.: И все-таки важно понять, что эта неудача есть неудача эксперимента. Поэтому мне и нравится приводить именно этот пример. Как правило, значение придают только теории, хотя эксперимент в данном случае играет роль едва ли не большую: в конце концов, наблюдаем мы именно экспериментальный результат, и именно этот результат не поддается воспроизведению.

Ж.-П.Ш.: Хороший эксперимент поставить гораздо сложнее, чем выдумать посредственную теорию. И наша беседа со всей очевидностью показывает, что в этой загадочной неопределенности, о которой говорят некоторые физики, особого смысла нет. Скорее всего, следует смириться с тем, что состояние наших знаний не позволяет нам пока оперировать этими понятиями, как в экспериментальном плане, так и в плане теории. Мне как-то сложно принять в качестве закона природы собственное невежество...

84

ПРИРОДА, ОДЕТАЯ ПО МЕРКЕ

А. К.: Действительно, в рамках существующей вполне связной системы воззрений мы научились объяснять воспроизводимые экспериментальные результаты. Я просто не представляю себе, как можно достичь понимания результатов невоспроизводимых. Весьма сложно принять, что на микроскопическом уровне, на квантовом уровне, существуют явления, которые мы не в состоянии воспроизвести. Впрочем, неприятие факта не отменяет самого факта. Сложно оценить и его последствия в философском смысле. Непостижимо, что на атомном уровне природные феномены абсолютно непредсказуемы. Даже физико-химическая «реальность» оказывается гораздо неуловимее, чем кажется на первый взгляд.

Нейронный математик

1. Озарение

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: В наши дни немногие математики занимаются исследованием мозга. Читая книгу Дьедонне «Во славу человеческого разума» [28] — название которой немного напоминает Ad majorem dei gloriam ^1 Игнатия Лойолы, — я заметил, что слово «мозг» употребляется на ее страницах очень редко. Во всяком случае, не с объясняющей целью. Как раз совсем наоборот. Например, он пишет: «Рациональная активность творящего мозга никогда еще не получала равно рационального объяснения. Причем в математике меньше, чем где бы то ни было» [28, с. 38]. В этой книге, которая мне очень нравится, и которую я прочел с большим интересом, Дьедонне рассматривает развитие математики совершенно независимо от мозга — примерно так же историк искусства увлеченно исследует развитие живописи и скульптуры, не желая отдавать себе отчет в том, что и видим-то мы, по большей части, мозгом, а не глазами! Хорошо бы напомнить, что математик занимается математикой, все же используя свой мозг, иначе и быть не может!

АЛЕН Конн: Полностью с этим согласен. Мозг — материальный инструмент математика; понимание принципов функционирования мозга в применении к работе математика крайне важно.

Ж.-П. Ш.: Сходные соображения мы находим и у некоторых математиков прошлого — например, у Пуанкаре и Адамара. В своем замечательном «Эссе о психологии изобретения в математике» [49] Адамар размышляет о бессознательном и его последовательных слоях, участвующих в процессе математического творения. Он приводит выдержки из книги «Об уме и познании» Ипполита Тэна, философа, который еще удостаивал своим вниманием научные данные (в особенности это касается наук о нервной

*«К вящей славе Господней» (лат.) — Прим. перев.

86 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

системе), интерес к которым со времен Сартра, Фуко и их последователей постепенно сместился у многих современных философов в сторону психоанализа, хотя в последнее время начинают появляться исключения из этого правила, и весьма притом заметные [63].

Адамар описывает свою работу математика в очень интересной, на мой взгляд, манере. В первую очередь, он выделяет подготовительную работу, которая неизбежно включает в себя — причем здесь я с ним полностью согласен — провалы и ошибки, даже если математик скромно умалчивает об этом, представляя свои результаты в «хорошо переработанном», как правило, виде. Как и Пуанкаре, Адамар пытается свести вместе эти попытки «управления бессознательным» и различает в «математическом творчестве» несколько этапов, которые он называет «подготовка», «созревание» и «озарение». Он также подчеркивает важность использования знаков, равно как и методов мысленной визуализации, и ссылается на современного ему психолога Бине, который, как и Тэн, очень интересовался экспериментами по визуализации, начатыми английскими ассоциационистами. Замечательно, что совсем недавно этот интерес к мысленной визуализации снова проявился в экспериментальной психологии — через посредство таких авторов, как Косслин, Шепард и наш соотечественник Дени [22]. Здесь мы встречаемся с совместной заинтересованностью психологов и нейробиологов. Мысленный образ не следует рассматривать как нечто эфемерное и нематериальное, напротив, это результат весьма конкретной и вполне определенной активности мозга. Адамар указывает на то, что во время подготовительной работы, когда в мозге математика начинают возникать образы, иногда случается так, что его собственный мозг и чувства внезапно охватывает некое озарение. Оно составляет очень важный этап в творческой работе математика. Необходимо, впрочем, чтобы за озарением последовал третий этап, более осознанный, нежели предыдущий. Он состоит из проверок и определений, позволяющих более точно сформулировать рассуждение, теорему или доказательство. На этом последнем этапе вводятся такие понятия, как суждение и рассуждение.

Способ рассуждения Адамара относится к интроспективному типу. Он всегда подвергается критике психологов, философов и, естественно, нейробиологов, поскольку он субъективен. Тем не менее, это рассуждение весьма интересно, так как вы-

i

1. ОЗАРЕНИЕ 87

ражено в форме повествования, обладающего некоей объективностью — его могут воспроизвести и другие математики. Что ты думаешь об этом описании математического творчества, предложенного Пуанкаре и Адамаром?

А. К.: Я сам пережил — по крайней мере, мне так кажется — такого рода опыт. Первая фаза, созревание, представляет собой подход, основанный на уже приобретенных знаниях: мы постепенно концентрируемся на каком-то определенном мысленном объекте. Мы пытаемся сфокусировать свою мысль, подготавливаем рабочее пространство, окружаем себя знакомыми вещами. Третья фаза, верификация, начинается тогда, когда озарение уже произошло. Процесс верификации очень мучителен, так как всегда опасаешься, что где-то ошибся. Это самая болезненная фаза, поскольку невозможно узнать наверняка, права ли твоя интуиция... это почти как во сне, интуиция часто обманывает. Я помню, как однажды проверял полученный результат целый месяц: возвращался к малейшим деталям доказательства, это было вроде наваждения, хотя эту задачу можно было, в крайнем случае, доверить и компьютеру, который проверил бы логику рассуждения. А с другой стороны, когда озарение уже произошло, оно привносит значительную долю аффективности, так что ты уже не можешь остаться пассивным и безразличным. В тех редких случаях, когда со мной действительно происходило такое, я каждый раз не мог сдержать слезы. Я часто сталкивался со следующей ситуацией: в определенный момент, когда первый, подготовительный, этап уже завершен, натыкаешься на стену. Здесь ни в коем случае не следует совершать распространенной ошибки и переходить сразу к самому сложному. Нужно продвигаться неявно, где-то вблизи задачи. Если думать непосредственно о задаче, то накопленные в первой фазе средства очень быстро исчерпываются, и приходится отступать. Необходимо освободить мысль для того, чтобы в мозге могла совершаться подсознательная работа. Например, когда производишь алгебраические исчисления, относительно простые, но довольно длинные, мысль в течение этого времени не полностью сфокусирована на задаче, что благоприятствует подключению к работе подсознания. Естественно, математик должен быть при этом достаточно спокоен. Так можно достичь своего рода созерцательного состояния, которое не имеет ничего общего с состоянием концентрации студента, сдающего экзамен по математике. Воспользовавшийся этой техникой на экзамене студент, выйдя из

88 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

аудитории, скажет: «Я провалил экзамен, но мне пришла в голову идея, над которой я хочу еще поработать». Меня каждый раз поражает (я все еще о неявном подходе к задачам) величина видимой удаленности исходной задачи от того, чем я в данный момент занимаюсь.

Ж.-П. III.: Конечно. В течение всего этого периода полным ходом идет развитие твоего мозга. Ты строишь гипотезы, создаешь заготовки...

А. К.: Но задача-то стоит на месте.

Ж.-П. Ш.: Как же тогда неожиданно возникает решение задачи, если ты ходишь вокруг да около?

А. К.: Это достаточно трудно описать. Опыт показывает, что, если приступать к решению самой задачи непосредственно, то ресурсы такого «прямого», рационального, мышления очень быстро исчерпываются. Зависит, конечно, от сложности задачи, но если не достичь полного освобождения, то решение, как правило, не приходит. И все происходит с точностью до наоборот, когда речь идет о решении задачи, скажем, на экзамене, когда необходимо просто автоматически выполнить некие действия. Эта стадия примерно соответствует фазе концентрации всех знаний о данной задаче, которыми располагают математики. При этом мы легко уточняем задачу, точно определяем степень ее сложности, но дальше прямая мысль уже не помогает. Продвинуться можно только в том случае, если в наличии есть стратегия, пусть и неявная, состоящая в том, чтобы рассмотреть все дополнительные вопросы, не имеющие a priori отношения к самой задаче.

Ж.-П. Ш.: Совершенно посторонние вопросы или все же связанные с поставленной задачей?

А. К.: Бывает, совсем посторонние.

Ж.-П. Ш.: Идет ли речь в данном случае лишь о том, чтобы занять рабочую память и позволить происходить на более глубоком уровне работе бессознательной, предполагающей более значительный вклад долговременной памяти? Или это, напротив, своеобразная ассоциативная процедура, которая занимает много времени, т.к. соединяющиеся элементы относятся к очень разным контекстам? Я так понимаю, «хождение вокруг задачи» позволяет задействовать математические объекты, которые не имеют к ней непосредственного отношения. По совокупности они приводят к решению или вызывают каким-то окольным путем, обращаясь к долговременной памяти, наиболее соответствующее по-

1. ОЗАРЕНИЕ 89

ставленному вопросу представление. Идет ли речь о процессе сокрытия рациональной мысли, ослабления работы сознания, который дает проявиться внутренним «посторонним» представлениям и позволяет математическим объектам сочетаться «против природы»? Не находишь ли ты, что конечное решение включает в себя, в некоей «химерической» форме, все эти элементы параллельного размышления? Причины своего вопроса я объясню позже.

А. К.: Я могу говорить только о собственном опыте. Хотя мои размышления и касались одного вопроса, они a priori не пересекались. Они вели к решению самой задачи, хотя ни на минуту не были направляемы этой задачей.

Ж.-П. Ш.: Но задача все же присутствовала где-то внутри твоего мозга.

А. К.: Возможно. Однако я совершенно этого не сознавал. Я задавал себе другой вопрос, отвечал на него, и это как-то вело меня к решению первой задачи.

Ж.-П.Ш.: Я снова спрошу: когда ты используешь для решения задачи связанное или не связанное с этой задачей знание, присутствует ли использованный математический материал в конечном решении в сколько-нибудь «рекомбинируемой» форме?

А. К.: Сложно сказать. Задача заключалась в следующем: доказать, что некий объект, вполне определяемый и, как нам было заранее известно, реализуемый, допускает одну и только одну реализацию. Техническая задача, весьма сложная, к ней очень трудно было подступиться напрямик, поскольку все средства, имеющиеся в нашем распоряжении, очень быстро себя исчерпали. Благодаря тому, что я переключился на соседнее, никак не связанное с прежним, поле исследования, располагавшее большим количеством более доступных объектов для изучения, я получил некоторые навыки и интуитивные представления, которые и применил затем к решению первой задачи. Иначе говоря, для успеха необходимо было сменить окружение, выбрать какое-нибудь не связанное явно с решаемой задачей поле исследования.

Ж.-П. Ш.: То есть ты использовал скорее окружение, чем мысленные объекты.

А. К.: Именно так. Окружение, в рамках которого моя мысль могла перемещаться и развиваться, тогда как в узко определенном контексте задачи мысль, будучи загнанной в угол, застывает, блокируется сложностью.

90 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

Ж.-П.Ш.: Ты в некотором роде расширил контекст с тем, чтобы ввести изменчивость. Здесь твои действия полностью согласуются с дарвиновской эволюцией. Ты определяешь период, в течение которого сознательно или бессознательно порождаются вариации, сочетаются мысленные объекты и формируются окружения внутри плана более общего, нежели план поставленной задачи.

А. К.: Для простоты скажем так: математики, которым не удается решить задачу, имеют привычку обобщать ее и отыскивать затем частное с помощью общего. Такое начало и в самом деле позволяет обнаружить недостающий кусочек мозаики. При этом мы, разумеется, надеемся, что решение частного случая обобщенной задачи, которая имеет мало общего с задачей исходной, позволит получить некую идею, которая, в свою очередь, окажется применимой к решению этой самой исходной задачи. Таким образом, мы пытаемся обобщить для того, чтобы раскрыть какие-то ранее неизвестные аспекты поставленной задачи. Мы продвигаемся постепенно, относительно медленно и подбираемся, в конце концов, к рассматриваемому объекту.

Ж.-П.Ш.: Иначе говоря, пытаемся сочетать элементы, помещая их в более широкий контекст, несмотря на то, что до этого они были разделены.

А. К.: Не следует смешивать подсознательный процесс второго этапа и упомянутую мною только что программу, по которой он осуществляется и которая принадлежит к культурному достоянию человечества. Это — просто стратегия, в ней нет ничего бессознательного, поскольку она известна всем специалистам. Однако у меня часто возникало впечатление, что церебральный механизм располагает некоей системой, которая, как бы это сказать, не открыта, — ее нельзя воспринимать непосредственно, но она основана на очень похожих механизмах.

Ж.-П.Ш.: Вполне возможно, что в памяти присутствует ряд объектов, едва достигающих уровня того, что можно назвать сознанием. Происходит некая мысленная работа, причем не все производимые операции оказываются подконтрольны воле. Это применимо как к математике, так и к мышлению вообще. Мышление без помощи языка возможно [102]. Твой опыт математика подтверждает для меня случайность фазы созревания и заставляет предположить, что в течение этой фазы рекомбинируемые во времени дарвиновские вариации производятся посредством переходов. В определенный момент одна из них оказывается адекватной по-

1. ОЗАРЕНИЕ 91

тавленной задаче и в этом расширенном контексте обеспечивает решение: это и есть озарение!

Можешь ли ты уточнить, поскольку это очень важно, каковы условия этой адекватности? Вызывается множество преходящих математических объектов, сознательных или бессознательных, а затем вдруг все увязывается, ключ входит в замочную скважину, и дверь открывается. По схеме «мысленного дарвинизма» [14] за этапом вариаций «генератора разнообразия» следует «процесс отбора».

А. К.: Вряд ли можно быть уверенным в том, что в ходе второй фазы эту роль исполняет именно генератор разнообразия. Твоя модель подошла бы для компьютеров, играющих в шахматы. Они демонстрируют относительно дарвиновское поведение: производится большое число попыток, которые ни к чему не привели бы, если б не было функции отбора, которая одновременно измеряет выгоду от нескольких ходов и силу позиции, к которой они приведут. Нам остается ввести величину, которая выражала бы эту выгоду и силу позиции и которую компьютер мог бы оптимизировать. Чтобы отыскать в функционировании мозга математика, решающего задачу, дарвиновский механизм, следует начать с поиска аналогов этой функции отбора.

Математикам хорошо известно, что понимание теоремы не означает понимания каждого шага доказательства, расшифровка которого может длиться несколько часов. Здесь, напротив, речь идет о целостном видении всего доказательства за чрезвычайно краткий промежуток времени. Мозг должен быть способен «проверять» — не знаю, каким образом — все доказательство за одну или две секунды. Уверенность в том, что ты понял теорию, возникает только при условии возникновения вот этого самого чувства. А вовсе не в результате того, что ты можешь провести все доказательство от начала до конца без единой ошибки — это всего лишь локальное понимание. Момент озарения «производится» механизмом, который я не в состоянии определить, обеспечивающим, что ключ откроет замок. Для того, чтобы убедиться в наличии в мозге дарвиновского механизма, необходимо понять, какой тип функции оценки используется в фазе созревания для выбора решения задачи. В самых общих чертах мы могли бы тогда сказать, что в течение первой фазы происходит построение, причем вполне сознательное, функции оценки, обусловленное аффективностью, которая выражается приблизитель-

92 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

но следующим образом: «я хочу решить эту задачу». Дарвиновский механизм соответствовал бы в этом случае фазе созревания, так как озарение происходит только тогда, когда значение функции оценки достаточно велико для того, чтобы вызвать аффективную реакцию.

Ж.-П.Ш.: И тогда мы слышим не тревожный звон, а звонок удовольствия...

А. К.: ...который дает нам понять, что все, что мы нашли, работает, что все это связно и, можно даже сказать, эстетично. Это удовольствие, я уверен, схоже с удовольствием, которое испытывают художники, находя свое решение, придающее картине совершенно целостный и гармоничный вид. Работа мозга должна быть при этом в точности такой же. Впрочем, слово «дарвиновский», как мне кажется, указывает на нечто таинственное, что ставит проблему функции отбора и величины, подвергаемой оптимизации.

Ж.-П. III: Разумеется. Однако ничего таинственного здесь нет. Механизм мышления основан на отборе. Мы прибегли к дарвиновскому рассуждению, главным образом, для того, чтобы определить фазы, которые иначе остались бы неразличимыми или неясными. Модель становится интересной, если с ее помощью мы можем продвигаться вперед — если и не в понимании, то, как минимум, в анализе.

2. Мозг и многочисленные уровни его организации

Ж.-П.Ш.: Теперь мы можем перейти к другому вопросу. Какова роль нейронаук в понимании механизма производства и обработки математических объектов? Обращусь снова к Дез-анти. Сильная материалистическая эпистемология должна включать в себя описание аппарата познания и способа его функционирования, т. е. нашего мозга и того способа, при помощи которого он производит математические объекты. Усилия, необходимые для того, чтобы понять нейронные основы математики, имеют, таким обр'азом, фундаментальное научное значение. Психологи-«функционалисты» — такие, как Фодор [33] или Джонсон-Лэйрд [66], — отвергают этот подход, полагая его бесполезным. По их мнению, достаточно описать процесс мышления в форме алгоритмов. Они выделяют сущность, называемую англо-

2. МОЗГ И МНОГОЧИСЛЕННЫЕ УРОВНИ ЕГО ОРГАНИЗАЦИИ 93

саксонскими авторами словом mind ^1 (смысл тот же, что и во французском esprit ^2 , но без примеси какой бы то ни было метафизики), т. е. совокупность функций мозга и его нейронной организации. Между структурой и функциями при таком подходе проводится очень четкое разделение. Однако описание церебральных функций в математической форме они приравнивают к объяснению, достаточному для того, чтобы понять процесс в целом. Как нейро-биолог, я всегда был противником такого отношения. Как бы то ни было, я уверен, что попытка описать нейронные основы церебральных функций — в частности, тех, что связаны с математикой — позволит нам лучше понять и саму математику.

А. К.: Совершенно верно.

Ж.-П. Ш.: Прежде чем подойти к нейронным основам математики, мне кажется необходимым определить понятие уровня организации (см. рис. 19). Работа биолога состоит, по большей части, в том, чтобы установить соотношение между функцией и определенной структурной организацией. Иначе говоря, установить причинную связь между структурой и функцией. Если об этой связи не задуматься еще до начала исследования, то есть большой риск совершить фундаментальные ошибки. О некоторых из них ты, наверное, уже знаешь. Одна из самых знаменитых ошибок такого рода была совершена в XIX веке — убеждение биологов-«физикалистов» в возможности самопроизвольного зарождения живых организмов. Началось все со спора о необходимости присутствия дрожжей для запуска процесса ферментации. Ферментация считалась «химическим разложением», и предполагалось, что она может целиком и полностью происходить m vitro ^3 . Так оно и есть, и позже Бухнер это покажет! Однако из этого предположения был сделан вывод о возможности воссоздать живую клетку из некой популяции молекул в растворе, осуществив тем самым самопроизвольное зарождение. Этот вывод в свое время отрицал Пастер, причем имея на то все основания [16]. В чем же источник этой ошибки? Очевидно, не в предположении о существовании некоей «жизненной силы», несводимой к законам физики и химии, которые не позволяют осуществить такое воссоздание! Просто никто не осознал во всей полноте огромную сложность клеточной организации, которую невозможно пока воспроизве-

^1 Разум (англ.) — Прим. перев.

^2 Разум, дух (фр.) — Прим. перев.

^3 В пробирке, в искусственных условиях (от лат.) — Прим. перев.

94 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

сти целиком и полностью, даже в случае таких простых организмов, как дрожжевые бактерии. Клетка состоит только из молекул. Но они образуют очень сложноорганизованное целое, которое делится и размножается посредством особого рода взаимодействий, сильно переплетенных одно с другим, причем от понимания этих взаимодействий во всей их целостности мы еще очень далеки., Авторам того времени не удалось установить правильное соотношение между структурой и функцией. Предложенное ими соответствие между структурой и функцией оказалось неадекватным в силу различных уровней организации.

Этой ловушки следует избегать при рассмотрении проблемы соотношения между математикой и мозгом. Один лишь факт обращения к этой проблеме вызывает раздражение. Вам укоризненно укажут на то, что мир математики настолько далек от нейронов, синапсов и прочих составляющих мозга, что попытка установить такое соотношение будет напрасной тратой времени. Одним словом, эта идея встречает жесткое сопротивление. И для того, чтобы установление причинных связей между статической структурой и динамической по своей природе функцией имело смысл, необходимо, чтобы это установление осуществлялось на соответствующем уровне организации. Таким образом, биолог должен прежде всего определить необходимые иерархические уровни на функциональном плане, и только после этого приступать к экспериментальному исследованию.

Этим вопросом также интересовались «философы разума» — в частности, такие светила, как Кант. Кант различает три уровня, достаточно, как мне кажется, интересных. Уровень чувствительности, определяемый способностью органов чувств получать «впечатления». Уровень понимания, или способность формирования концептов, позволяющих синтезировать чувственные элементы. И, наконец, уровень разума, который содержит принципы использования концептов, спонтанно производимых пониманием. Это кантово разделение позволяет обозначить три уровня абстракции: 1) выработка представлений из объектов внешнего мира; 2) абстрагирование представлений в виде концептов; 3) организация концептов в абстракции более высокого порядка..., и все это, разумеется, внутри мозга. После того, как мы определили эти уровни, можно попытаться, на свой страх и риск, установить соотношения между соответствующими «способностями» и организацией связей в нашем головном мозге.

J

2. МОЗГ И МНОГОЧИСЛЕННЫЕ УРОВНИ ЕГО ОРГАНИЗАЦИИ 95

Примечательно, что такие компьютерные теоретики как Нью-элл [84] и Саймон [94] проявили независимый интерес к иерархическим уровням в компьютере.

А. К.: Очень важный момент. Я убежден, что сравнение с компьютером может позволить произвести более точное определение различных уровней активности мозга применительно только к математической деятельности.

Ж.-П. Ш.: Невел и Саймон определяют так называемый «уровень знания» (knowledge level), который располагается (в неких теоретических, еще не сконструированных, компьютерах) выше «символического уровня» компьютеров сегодняшних. Уровень знания обогащается постоянно, приобретая все новый опыт, в соответствии с так называемым «принципом рациональности», суть которого заключается в следующем: «Если некий агент обладает знанием, какое из его действий приведет к реализации одной из его целей, то агент выбирает именно это действие».

А. К.: У меня есть кое-какие возражения против такого определения.

Ж.-П. Ш.: Можешь предложить другое. Дело не в этом. Согласен ли ты с таким разрывом между, по крайней мере, двумя уровнями, один из которых приближается к уровню понимания (в целом символическому), а другой — к уровню разума?

А. К.: Я даже мог бы определить достаточно точно три уровня в математической деятельности. Сложнее понять, как связать их с теми, которые выделяет Кант. Я использую другую терминологию.

Ж.-П. Ш.: Ну разумеется. А я, в свою очередь, попытаюсь привести эти уровни в соответствие с данными, полученными нейро-науками.

А. К.: Думаю, что первый уровень — в том, что касается лишь математической деятельности — соответствует современным компьютерам. Предустановленные механизмы позволяют давать точные решения задач данного типа вычислительной, в общем случае, природы. Речь идет, например, об умении производить деление, совсем не понимая при этом механизма выполняемых операций. Конечно, сегодня компьютеры делают это гораздо лучше, чем раньше. Однако даже в случае таких достаточно сложных операций, как вычисление интегралов или построение графика функций, механизм всегда задан заранее.

96

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

Ж.-П. Ш.: Мы находимся на уровне элементарных операций.

А. К.: На уровне вычислений, причем операции здесь далеко не всегда элементарны. Операции как раз могут быть весьма сложными, но дело не в этом. Имеет значение единственно тот факт, что выполнение этих операций не влечет за собой никаких практических последствий для способа, которым они выполняются. Если не переходить на другой уровень, то, освоив однажды сложение или умножение, мы уже не изменяем способ, а применяем его, не задавая себе вопрос «А почему именно так?». Многие люди выполняют деление и порой довольно долго, совершенно не понимая, как это происходит. Чисто автоматически. Современные компьютеры не поднимаются выше уровня простого вычисления, поскольку они не располагают пониманием механизма, который они используют. Они применяют готовые рецепты и дают результат гораздо быстрее, чем человеческий мозг, однако рецепты при этом остаются рецептами. Меня никогда не впечатляли ни чудо-калькуляторы, применяющие известные рецепты, ни люди, обладающие совершенно рациональным образом мышления и всегда обращающие внимание на ошибку, к примеру, в наборе или в синтаксисе. Почему? Потому что они застряли на первом уровне, уровне вычислений, исключающем глобальное понимание системы. На этом уровне никакого взаимодействия между системой и производимыми ею вычислениями не происходит.

Второй уровень определить сложнее...

Ж.-П.Ш.: А что, есть и третий?

А. К.: Есть. Математическая деятельность и впрямь делится на три уровня. Но я вовсе не утверждаю, что они соответствуют тем, которые описал Кант. Тем не менее, я хотел бы подчеркнуть богатство первого уровня. Он, в частности, объединяет в себе некоторые виды деятельности, осуществляемые в высшей математике: построение графиков кривых, выполнение кинематических вычислений...

Ж.-П.Ш.: Тупая, рутинная работа!

А. К.: Я помню, один из моих преподавателей часто говорил: «Я бы очень хотел, чтобы'легкие вещи вы научились делать быстро и правильно». В данном случае применяются лишь рецепты. Второй уровень начинается, когда есть взаимодействие между выполняемыми вычислениями и собственно проблематикой. Предположим, например, что нам известны два способа выполнения вычис-

2. МОЗГ И МНОГОЧИСЛЕННЫЕ УРОВНИ ЕГО ОРГАНИЗАЦИИ 97

ления, дающие разные результаты. Здесь мы переходим на второй уровень, поскольку вынуждены усомниться либо в правильности метода, либо в отсутствии в вычислении ошибок, либо в верном понимании смысла выполняемого вычисления. Иначе говоря, возникает необходимость как-то проверить метод и тем самым понять его цель и механизм. Очевидно, что на данный момент компьютеры на такое не способны.

Ж.-П.Ш.: Можно попросить компьютер проверить его собственный метод...

А. К.: В настоящий момент, сравнивая результаты, полученные при одном и том же вычислении разными компьютерами, мы исключаем ошибки, связанные с этим разладом. Но отсюда еще очень далеко до размышлений компьютера о цели, которой он должен достичь, или о возможности изменить стратегию.

Ж.-П. III.: Это не совсем уровень разума...

А. К.: Я и не утверждаю, что это уровень разума. Это тот уровень, который я называю вторым. Когда вычисление невыполнимо или когда получаются два разных результата, мы, вместо того, чтобы просто применить готовый рецепт или проверить, нет ли здесь ошибки, меняем стратегию и адаптируемся. Представим себе, что некто, выполняя операцию умножения, находит более простой метод для получения результата. Или что компьютер, играя в шахматы, приходит к пониманию своих ошибок и больше их уже не совершает, или даже вырабатывает собственную стратегию. Он не станет полагаться на хранящийся в памяти перечень подходов, а придумает новый подход.

Ж.-П.Ш.: Этот компьютер, способный находить ошибки и предлагать альтернативную стратегию, уже близок к уровню разума.

А.К.: Очень важно, чтобы все это было задано изначально... Здесь в игру снова вступает фрустрация, о которой я уже говорил. .. Нужно, чтобы компьютер мог испытывать какое-то чувство, когда он ошибается, проигрывает партию в шахматы, или когда его стратегия оказывается не оптимальной. Нужно, чтобы он получал от всего этого какой-то стресс или, напротив, испытывал удовольствие от того, что нашел более эффективный, более быстрый метод. Не думаю, что этот тонкий механизм невозможно реализовать, особенно если для этого нужно достичь, например, всего лишь более высокой скорости вычисления. Компьютер должен быть способен сам придумывать и совершенствовать механиз-

98 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

мы вычисления. В некоторых случаях это возможно уже сейчас, однако вообще говорить об этом пока еще очень рано.

Ж.-П. Ш.: Нечто вроде повторного ввода.

А. К.: Именно так. Нужно, чтобы компьютер мог самостоятельно улучшать свою программу, как это, по всей видимости, делает мозг. Но современным компьютерам до этого еще очень далеко. Весьма сложно определить и выделить именно те величины, которые вызвали бы у компьютера фрустрацию или удовольствие, которые позволили бы ему самому придумать выход. Из-за всех этих сложностей я с некоторым даже восхищением отношусь к тем процессам, что происходят в мозгу и позволяют ему испытывать чувства. Именно чувства играют основную роль в переходе на второй уровень. Этот переход аналогичен возникновению способности строить иерархии ценностей, использовать их или модифицировать. Я знаю математиков с чисто рациональным мозгом, который я квалифицировал бы как мозг первого уровня. Они поражают меня отсутствием иерархий. Они неспособны понять, является тот или иной объект исследования или теорема более интересными, чем другие аналогичные объекты. Неспособны настолько, что если проведенное доказательство корректно, то все теоремы для них стоят друг друга. Второй же уровень, напротив, предполагает возможность оценить качество или значимость теоремы.

Однако перейдем к третьему уровню — уровню открытия. На этом уровне мы не только способны решить поставленную задачу, но можем также открыть — я не говорю «придумать», потому что это не соответствовало бы исповедуемой мною философии существовании мира математики независимо от вмешательства мыслящих индивидуумов, — ту часть математики, к которой усвоенные знания не дают прямого доступа. Нам удается поставить новые задачи, отыскать недоступные ранее пути и открыть прежде не исследованную область математической географии. Можно различить два типа математической деятельности. Одна состоит в том, чтобы решать поставленные задачи. А другая — в том, чтобы создавать (при наличии уже поставленной задачи или какого-либо рассуждения) инструменты мысли, не существовавшие в имеющемся инструментарии и позволяющие раскрыть еще не освоенную часть математической реальности...

Ж.-П. Ш.: Возвращаясь к Канту...

А. К.: Я не говорю, что это то же самое. Я не об этом думал.

3. КЛЕТОЧНЫЙ УРОВЕНЬ 99

Ж.-П. Ш.: В любом случае, нам никогда не удастся точно уместиться в рамках тех категорий, которые определяет Кант. Но это и не важно. Гораздо важнее, как мне кажется, определить уровни функций. Я думаю, что первый уровень близок к уровню понимания. Что касается двух других, я бы идентифицировал их с разумом, введя предварительно иерархию. Наш коллега Жиль-Гастон Гранже, который преподает философию в Коллеж-де-Франс, также выделяет два аспекта разума [42]. С одной стороны это тактические аспекты, «наблюдение связи между принципом и следствием, пропозициональное или логическое исчисление». С другой стороны — аспекты стратегические, «позволяющие дать определение поля, в котором может действовать та или иная логика, и оценить правдоподобие целей и результатов». Тактический разум занимается не только выполнением операций, но и анализом логического исчисления и проверкой правильности логических высказываний.

А. К.: Верификация истинности рассуждения в теореме относится, по моему мнению, к первому уровню. Я не теряю надежду, что компьютеры вскоре будут к этому способны.

Ж.-П. Ш.: Если я правильно понял Гранже, тактический разум подразумевает возможность смены тактики. Речь идет не только о том, чтобы подвергнуть ту или иную тактику испытанию, речь идет также и о выработке новых тактик. Иначе слово «разум» не было бы оправдано. Этот тактический разум, как мне кажется, близок к тому, что ты рассматриваешь как второй уровень. И напротив, разработка новой стратегии сближается, скорее, с чистым актом творчества, с открытием нового поля знаний и исследований, с определением новой категории задач.

А. К.: И да, и нет. Мне кажется, что второй уровень в моем определении напоминает одновременно и тактический, и стратегический разум Гранже. Разделение Гранже и моя классификация в точности не совпадают. Хотя это и не важно. В данном случае я говорю не как философ, а как математик-практик.

3. Клеточный уровень

Ж.-П. Ш.: Мне вовсе не кажется необходимым точное соответствие всех определений, один к одному. Это было бы слишком упрощенной и непримиримой позицией, чего я принять никак не могу. К тому же, абсурдным было бы полагать, что мозг разделен

100 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

на какие-то не сообщающиеся между собой области. Тем не менее, само по себе наличие соответствия представляется мне вполне оправданным. Однако следует подчеркнуть, что подразделение на уровни есть не что иное как эффективная операция нашего научно мыслящего мозга!

Теперь мы можем, наконец, подступиться к нейронаукам. Некоторые уровни организации мозга выделить нетрудно, с другими придется повозиться. Самый простой уровень — уровень нервной клетки, нейрона (см. рис. 17), состоящего из отростков-дендритов, которые собирают сигналы к телу клетки, и аксона, который передает нервный импульс от тела клетки наружу. Как ты знаешь, наш головной мозг состоит в совокупности из приблизительно ста миллиардов нейронов — огромное количество! Эти нейроны связаны между собой зонами неплотного контакта, или синапсами. В среднем, на нервную клетку приходится по 10 тысяч синапсов. Следовательно, общее число синапсов в нашем мозгу составляет величину порядка 10 ^15 . Это просто астрономическая цифра. Ни о чем тебе не напоминает — в смысле уровня сложности?

А. К.: Цифра, действительно, колоссальна. Мне вспомнилось число Авогадро — достаточно близкая величина, порядка 10 ^23 .

Ж.-П. Ш.: Нейрон — это элементарный кирпичик или, лучше сказать, элемент огромной мозаики. Функция его достаточно проста: генерация нервного импульса. Нейрон генерирует электрические импульсы, амплитуда которых составляет приблизительно 100 милливольт, а длительность — порядка миллисекунды. От нейрона к нейрону импульсы распространяются по аксону; скорость их распространения меньше скорости звука и варьируется от нескольких метров до десятков метров в секунду, расстояния же, преодолеваемые нервными импульсами, иногда оказываются весьма значительными. Аксоны в головном мозге достигают в длину сантиметра, реже — десяти сантиметров. Длина прочих аксонов может достигать метра — таковы, например, моторные нейроны спинного мозга, управляющие движениями пальцев ног. Эти сигналы дискретны и чрезвычайно малы; они распространяются как солитоны и несут в себе основную информацию, которая может быть передана по центральной нервной системе. В общем, этакие универсальные и дискретные «единицы активности»...

А. К.: Не расскажешь ли поподробнее о химических и гормональных основах этих процессов?

3. КЛЕТОЧНЫЙ УРОВЕНЬ

101

я

Рис. 17. Основные типы нейронов коры головного мозга млекопитающих. Клетки были помечены серебром и поэтому изображены черными и непрозрачными. Дендритные древовидные структуры, собирающие нервные сигналы к телу клетки, можно узнать по тонким «шипам»; аксон всего один, но он может иметь боковые ответвления, часто перпендикулярные ему. Стрелки указывают направление распространения нервных сигналов. А, В и С — пирамидальные клетки; D — клетка с аксоном, уходящим вверх; E — гранулярная клетка. (Иллюстрация из сборника трудов С. Рамона-и-Кахаля [17].)

102 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

Ж.-П. HL: Разумеется. Над этой темой мы работаем вот уже двадцать лет. Химическая составляющая играет важнейшую роль в процессах передачи сигналов через нервные соединения и регуляции эффективности этих соединений. Концепция нервной системы, в которой действуют лишь потенциалы электрических взаимодействий в сети проводников, была бы слишком жесткой.

А. К.: И слишком упрощающей.

Ж.-П. III.: Все электрические импульсы, циркулирующие в нашей нервной системе, имеют одну и ту же природу. Они идентичны у кальмара, у дрозофилы и у человека. Их можно описать все тем же уравнением Ходжкина и Хаксли. Они могут порождаться нервной клеткой автономно и спонтанно, даже при полном отсутствии взаимодействия с внешним миром. Так, в частности, происходит во сне. Однако порождение нервного импульса может быть вызвано и контактом с окружающей средой. Зрительная система допускает оба эти типа активности. Как только рецептор-ных клеток сетчатки касается свет, появляется электрическая активность клеток ганглия, аксоны которых формируют зрительный нерв. Электрические импульсы проходят по зрительному нерву, достигают латерального коленчатого тела, где стимулируют нейроны-передатчики, посылающие сигналы в зрительную кору головного мозга. Это так называемая вынужденная активность. Однако зрительная система способна и на спонтанную активность — в частности, у зародыша, где такая активность, весьма вероятно, служит для управления созреванием всей системы. Таким образом, генерация нервных импульсов может быть как спонтанной, так и вынужденной, причем отличить друг от друга импульсы, произведенные тем или иным способом, естественно, невозможно.

На уровне системы сигнальный «код», ассоциируемый с распространением волн, весьма небогат. Помимо одиночных волн, отмечаются последовательности импульсов, регулярные или определенным образом зависящие от времени (например, экспоненциально). Могут существовать периодические пакеты импульсов... поступающие с регулярностью часового механизма. Однако этому коду далеко до азбуки Морзе, которой можно описать целый язык. На самом деле «семантика» здесь располагается на уровне анатомических соединений. Состояние активности определяет отбор той или иной совокупности нейронов в рамках гораздо более сложно устроенной сети. Образуется нечто вроде «контраста» между активными и неактивными нейронами, либо между нейро-

3. КЛЕТОЧНЫЙ УРОВЕНЬ 103

нами с большей и меньшей активностью, либо между группами нейронов с различной корреляцией активности. Все это происходит на клеточном уровне.

А. К.: Прежде чем мы пойдем дальше, вопрос общего порядка. Если ограничить рассмотрение электрическими процессами, то не поразителен ли тот факт, что ток здесь распространяется со скоростью, гораздо меньшей скорости света, — примерно с той же скоростью, что и солитон? Скорость распространения нервного импульса составляет величину порядка скорости звука.

Ж.-П. Ш.: И даже меньше.

А. К.: Этот феномен для меня является загадкой. Мне очень хочется наконец понять, почему такой механизм может давать положительный эффект. Действительно, с открытием сверхпроводимости при относительно высоких температурах появляется надежда создать когда-нибудь компьютеры, которые будут функционировать в тысячу раз быстрее современных, причем именно благодаря увеличению скорости распространения сигналов. Надеюсь, нам все же удастся объяснить, почему небольшая скорость распространения информации в мозге и все эти солитонные аналогии играют роль скорее положительную, чем отрицательную.

Ж.-П.Ш.: Нельзя говорить, что положительную или отрицательную роль играет здесь скорость. Это просто факт. Следует рассуждать иначе, и принять еще раз эволюционистскую точку зрения. Клеточная организация у бактерий, а затем и у так называемых высших организмов, формировалась в ходе эволюции из элементов, которые были в то время в наличии. Поэтому Франсуа Жакоб и говорит о «самоделках из подручных материалов» [62, с. 85]. Из этих элементов образовалась непроницаемая липидная мембрана и системы селективного переноса ионов Na ^+ , К ^+ , Са ^++ ,..., далее возник электрохимический градиент, результатом которого и стал, в конечном счете, потенциал мембраны. Этот электрический потенциал был затем «задействован», чтобы производить сигнал, который смог распространяться дальше. Это способ распространения был сохранен и использован в более сложных системах.

Весьма вероятно, что нервный импульс, или потенциал действия, появился еще у очень примитивных одноклеточных существ. Электрические сигналы такого типа действительно регистрируются у инфузорий и одноклеточных водорослей. В более сложных многоклеточных организмах «животного» типа некото-

104

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

рые клетки дифференцировались, произведя каналы, служащие для сообщения и передачи команд другим клеткам. Нервная система развилась как центр управления организмом. Образующие его специализированные клетки используют существующие электрические свойства для того, чтобы распространять сигналы, давать или принимать команды от других клеток организма. Малая скорость передачи сигналов в нервной системе обусловлена историей ее развития. Примитивные живые организмы не нуждались в более быстрых системах передачи сигналов, поэтому им ни к чему были и клеточные элементы, позволяющие использовать сверхпроводящие свойства материи.

Я хотел бы сейчас вернуться к твоим словам о важности химии в нейронной системе передачи сигналов. Конечно же, не следует рассматривать нервную систему как «ригидную», чисто электрическую машину. Передача информации в рамках нервной системы имеет значительные возможности регуляции, которые позволяют осуществлять обучение и располагаются как на уровне собственно нейронов и генерации импульсов, так и на уровне синапсов, в точке сочленения между нервными клетками. На этом уровне — при условии, что мембраны контактирующих клеток достаточно близки — электрический импульс может перейти непосредственно от одной клетки к другой. Чаще всего в роли ретранслятора выступает химическое вещество (нейромедиатор). Оно накапливается в нервном окончании, а прибытие нервного импульса вызывает его высвобождение в пространство синапса. Там оно быстро распространяется до следующей клетки, где связывается со специфическими рецепторами и вызывает на этом уровне электрический отклик посредством открытия ионных каналов. Эти рецепторы, которые мы подробно исследуем в моей лаборатории, являются мишенью таких фармакологических агентов, как кураре, ЛСД, морфий, валиум и... никотин. Они располагаются в наиболее критической точке процесса передаче информации между нервными клетками. Вот почему мы с Тьерри Хейдман-ном [52] предложили модель регуляции эффективности синапса на уровне этих постсинаптических рецепторов нейромедиаторов (см. рис. 18). Как выясняется, эти проникающие сквозь мембрану протеины могут существовать в нескольких обратимых конфор-мациях, эффективность отклика которых различна. Они могут переходить из одного состояния в другое посредством относительно медленных молекулярных изменений. Причем этот процесс мо-

3. КЛЕТОЧНЫЙ УРОВЕНЬ

105

20 сек

г. С

• м

^7 10

*7»

г ~\

0,5

^J ~ ^Т \. - .

-

о

U

тгштгтттлттттгтшшншип

Рис. 18. Молекулярная модель регуляции эффективности химического синапса посредством изменения конформации постсинаптического рецептора.

На верхней схеме показаны два нервных окончания (треугольники), находящиеся в контакте с поверхностью одного и того же нейрона (горизонтальная линия); внутри нейрона имеются молекулы рецептора, чувствительные к нейромедиатору. Этот рецептор может существовать в двух формах, которые способны переходить одна в другую; одна из них (А) передает информацию более эффективно, нежели другая (D). Химические (нейромедиаторы, нейропептиды... ) и/или электрические сигналы (показаны стрелками), произведенные левым синапсом, регулируют эффективность правого синапса, действуя совместно на постсинаптический рецептор, находящийся в одном из двух состояний. Их относительный эффект на состояния А и D увеличивает (нижняя линия) или уменьшает (верхняя линия) эффективность синапса.

Нижняя схема демонстрирует эволюцию во времени эффективности некоторого условного синапса (У. С.), обозначенной здесь буквой s, при условии, что его стимуляция осуществляется совместно со стимуляцией некоторого безусловного регулирующего синапса (Р. С.), обозначенной буквой s. Совпадение во времени обеих стимуляций (показаны стрелками) дает рост эффективности (r/a(s)), который продолжается несколько минут (заштрихованная полоса). (По работам [52, 53])

106 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

жет управляться как электрическими, так и химическими сигналами, или даже многими сигналами одновременно. Таким образом, постсинаптические рецепторы способны обрабатывать несколько элементарных сигналов одновременно и в одной точке пространства. Это их замечательное свойство даже заинтересовало химиков, которые полагают, что молекулы такого типа можно каким-то образом использовать в конструкции компьютеров. Впрочем, сейчас зарождается целая новая дисциплина, получившая название «бионика». Она пока не многого достигла, но мы вполне можем помечтать о транзисторах, интегральных микросхемах... построенных из молекул рецепторов размером в несколько миллионных долей миллиметра!

4. От элементарных систем к мысленным объектам

Рассмотрим теперь следующий, более высокий, уровень организации — уровень нейронных систем (рис. 19). Очевидно, что нейроны могут объединяться друг с другом, а эти объединения могут специализироваться на таких особых функциях, как рефлекторные действия: ходьба, первые этапы зрительного восприятия... Например, сетчатка — это очень сложная сеть, которая, основываясь на данных об уловленных фоторецепторами фотонах, вырабатывает первое представление о внешнем мире. На втором уровне, во всей полноте реализованном только у беспозвоночных — таких, например, как земляной червь или слизень — происходит то, что этологи называют «закрепленными действиями»: отыскивать пищу, летать, спариваться, хватать добычу.

А. К.: То есть не важно, являются ли те или иные действия врожденными или приобретенным — мы все равно говорим, что это второй уровень организации.

Ж.-П. LLL: Это уровень элементарных контуров спинного мозга, позвоночного столба, так сказать, «мини-мозга». Малые совокупности нейронов у беспозвоночных собираются в нервные узлы, которые соединяются друг с другом многочисленными связями.

Далее идет другой уровень. Некоторым беспозвоночным, прошедшим особенно большой путь эволюции — таким, например, как спруты, поведенческие реакции которых близки к поведенческим реакциям позвоночных, — а также высшим позвоночным

4. ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИСТЕМ К МЫСЛЕННЫМ ОБЪЕКТАМ 107

Социальная жизнь Архитектура

Homo sapiens Млекопитающие Приматы `a

Птицы

^7Г Рыбы

Пчелы

Насекомые

омы Муравьи

Термиты — -—

(взаимосвязь совокупностей...)

_« Понимание»

(совокупность

нейронов)

Нейронные контуры (рефлекторные дуги, локальные контуры)

Нейроны

Молекулы

(нейромедиаторы нейропептиды, рецепторы, каналы, ферменты...)

Атомы (углерод, водород, кислород, азот...)

Рис. 19. Уровни организации нервной системы.

и, в особенности, человеку свойственно выстраивать так называемые «репрезентации». Их нервная система обладает способностью собирать нервные клетки вместе и тем или иным образом их кодировать — например, навык управления транспортным средством можно рассматривать как частный случай «моторной» репрезентации. Однако существуют также и репрезентации сенсорного типа, репрезентации более «абстрактные». Иерархическая организация в многочисленных нейронных контурах, о которых мы уже говорили, заменяется при этом параллельной организацией.

Нейронные основы кода, используемого в таких репрезентациях, очень подробно изучены Георгопулосом [38] на примере указывания кистью руки у развитой обезьяны. Он регистриро-

108

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

вал индивидуальную активность нескольких сотен нейронов двигательной зоны коры, в то время как обезьяна указывала рукой в заданном направлении. Георгопулос пытался определить, каким образом двигательная программа кодируется (или «репрезентируется») на уровне популяции регистрируемых нейронов. Он смог показать, что каждая клетка этой популяции проявляет максимальную активность, когда обезьяна указывает рукой в некоем особом, или предпочтительном, направлении, отмечая тем самым его специфичность (см. рис. 20). Для каждого нейрона определяется вектор, ориентация которого соответствует оптимальному направ-

а)

M

-z

4. ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИСТЕМ К МЫСЛЕННЫМ ОБЪЕКТАМ 109

лению, а длина определяется активностью этого самого нейрона в тот момент, когда обезьяна протягивает руку в каком-то определенном направлении. Эта длина меняется при изменении направления, в котором указывает рука. Она соответствует, в некотором роде, «голосу» этого конкретного нейрона или «налогу», который нейрон выплачивает ансамблю популяции за процесс кодирования движения руки в соответствующем направлении. Более того, направление, в котором указывает рука обезьяны, представляет собой (с менее чем 10%-ной погрешностью) векторную сумму элементарных «нейронаных» векторов. Вектор направления, в котором укажет рука, равен векторной сумме «голосов» популяции нейронов.

А. К.: Значит, сложение? Просто потрясающе. Можно представить все это в декартовых координатах... !

Ж.-П.Ш.: Да, через индивидуальные активности нейронов. Векторная сумма этих «микроскопических» активностей очень близко соотносится с вполне «макроскопическим» направлением,

Рис. 20. Состояние активности одного и того же нейрона двигательной зоны коры головного мозга бодрствующей обезьяны в тот момент, когда она пыталась дотянуться рукой до цели, помещаемой последовательно в каждом из восьми направлений трехмерного пространства, представленных на рисунке стрелками.

а) — Зарегистрированная электрическая активность представлена короткими вертикальными штрихами, каждый из которых соответствует одному нервному импульсу. Каждая линия из штрихов соответствует одной из попыток обезьяны. Общая для всех записей вертикальная линия (ДВ) отмечает начало движения. Рассмотрение всего множества записей показывает, что данный нейрон отвечает оптимальным способом (наиболее плотное расположение штрихов), когда обезьяна направляет свою руку в нужном направлении: в данном случае по направлению на 4 часа 30 минут в плоскости рисунка.

б) — Амплитуда отклика (частота разряда), когда обезьяна указывает рукой в заданном направлении (М) есть линейная функция косинуса угла между направлением движения и предпочтительным направлением (С) нейрона. Эту амплитуду можно рассматривать как «налог», который нейрон платит за кодирование движения всему ансамблю популяции. (Рисунок из работы [37])

110

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

90°

Вектор популяции

^ Клеточный вектор

Направление движения Векторная гипотеза

Траектория движения

Интервал доверия вектора популяции

Рис. 21. Кодирование популяцией нейронов двигательной коры направления движения на полдень (90°) на двумерной рабочей плоскости. Хорошо тренированная обезьяна реализует целое семейство достаточно сжатых траекторий движения. В соответствии с векторной гипотезой, сумма «голосов» каждого регистрируемого нейрона (общим счетом 241 клетка) или клеточных векторов, представленных здесь непрерывными линиями, дает вектор популяции (пунктирная линия), который сориентирован в направлении движения с интервалом доверия 99%. (Рисунок из работы [37].)

в котором указывает рука обезьяны. Происходит кодирование ансамблем нейронов, и я думаю, что эта модель носит общий характер (см. рис. 21). На определенном уровне сложности центральной нервной системы возникают «репрезентации» или «мысленные объекты» [9], которые можно описать как состояния активности нейронов популяции, так и по графам этих нейронов. Каждый нейрон популяции отличается от своего соседа. Каждый в рамках этого множества обладает функциональной специфичностью, индивидуальностью, «сингулярностью».

А. К.: Ты говорил, что такая способность свойственна и спруту, а ведь она вряд ли может быть врожденной.

4. ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СИСТЕМ К МЫСЛЕННЫМ ОБЪЕКТАМ 111

Ж.-П.Ш.: Не будем сваливать все в одну кучу. В данный момент я пытаюсь определить уровни организации, и я еще не закончил.

Мы подходим, таким образом, к уровню, который можно назвать символическим или уровнем понимания. На этом уровне организации можно определить мысленные репрезентации в физических терминах. На более высоком уровне, который я называю уровнем разума, формируются цепочки представлений. «Совокупности совокупностей» эволюционируют во времени. Здесь становится крайне важным временной фактор, который мы еще не обсуждали достаточно подробно.

Самая передняя область головного мозга, фронтальная кора (рис. 22), по всей вероятности, выполняет так или иначе именно эту функцию. В качестве попытки иллюстрации этого утверждения приведу пример, взятый мною из клинических исследований пациентов, страдающих от поражения лобной доли. Классический пример — результат теста Милнера и Петридеса [81]. Исследователь предлагает испытуемому рассортировать несколько карт в соответствии с определенным правилом. Например, по цвету. Если три карты — красные, то и четвертая должна быть такой же, иначе исследователь отмечает ошибку. Затем, продолжают с тремя другими картами, тоже красными, и испытуемый выбирает красную карточку. Он все время следует одному и тому же правилу. Неожиданно, не предупреждая испытуемого, исследователь меняет стратегию. Правило будет, к примеру, касаться номинала карт: скажем, только тузы... Испытуемый сначала делает ошибки и продолжает выбирать красные карты, на что исследователь ему каждый раз указывает. Сделав несколько ошибок, испытуемый осознает, что стратегия изменилась. Больной, страдающий поражением фронтальной коры, к такому осознанию не приходит. Он упорно продолжает ошибаться. Но Милнеру и Нетридесу, испытуемый больной не формулирует предположений, которые позволяют продвигаться дальше в рамках этого теста. Он лишен элементарной, но характерной для уровня разума функции.

А. К.: Значит, наличие функции зависит от определенной зоны.

Ж.-Н. Ш.: Да. В начале у субъекта проявляются нейрологиче-ские нарушения — например, вследствие повреждения сосудов. Он консультируется у нейролога, который исследует его мозг путем сканирования. Определенные области лобной доли показы-

112

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

Человек

ip.f.

Рис. 22. Эволюция относительной площади поверхности префронтальной (выделена черным) коры головного мозга млекопитающих. Двигаясь от примитивных млекопитающих к Homo sapiens, можно наблюдать увеличение относительной площади поверхности префронтальной коры. У кошки она составляет 3,5%, у собаки — 7%, у лемура — 8,5%, у макака — 11%, у шимпанзе — 17% и у человека — 29%. По форме борозд и щелей префронтальной коры можно определить вид млекопитающего: р. f. = пре-сильвиева щель, Lp.f. = нижняя предцентральная щель. (Рисунок из работы [34])

вают нарушения. Тогда больной может быть подвергнут тестам, которые позволят определить функциональный дефицит, связанный с этими поражениями. И наоборот, нейролог может, исследуя пациента, распознать аномальный результат какого-либо теста

5. НЕЙРОПСИХОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ ИЗ

и диагностировать фронтальное поражение, которое затем подтвердится на сканограмме. Таким образом, лобная доля вносит определенный вклад в то, что я называю нейронными архитектурами разума [10]. Английский нейропсихолог Шаллис [91, 92] замечательно выразил суть этого различия. Он разделяет так называемые «рутинные» функции от функций «внимательного наблюдения», принимающих, по его мнению, участие в обнаружении ошибок, формулировании новых гипотез и изобретении новых стратегий. Таким образом, можно вполне резонно предположить, что в головном мозге существуют особые области, участвующие в производстве рациональной мысли. В поддержку этого заключения можно привести следующий замечательный факт: относительная площадь поверхности лобной доли в сравнении с остальной поверхностью новой коры (неокортекса) в ходе эволюции растет, причем у обезьян эта относительная площадь значительно больше, чем у крыс, а у людей — значительно больше, чем у обезьян.

А. К.: Это в точности соответствует моему описанию второго уровня.

Ж.-П. Ш.: В данном конкретном случае, — да. Но здесь может быть замешан также и третий уровень, хотя тесты, о которых шла речь, не показывают этого с достаточной очевидностью.

А. К.: Разделение второго и третьего уровня следует сохранить. Твои замечания относительно лобной доли, отвечающей за функции второго уровня, меня убедили. Что касается третьего уровня, то об этом я ничего не знаю.

Ж.-П. Ш.: Лобная доля играет важную роль в генерации предположений. Предположения, выдвигаемые при игре в карты Мил-нера и Петридеса, являются рудиментарными. Несомненно, на своем уровне осуществляется порождение и гораздо более сложных гипотез, но их очень сложно зарегистрировать. Для этого нам потребовалось бы поместить мозг Архимеда под камеру наблюдения за несколько долей секунды до возгласа «Эврика»!

5. Нейропсихология математики

Ж.-П.Ш.: В соответствии с различием уровней организации в функциях мозга, локализованные поражения головного мозга позволяют «добраться» и до математических способностей. Вели-

114

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

кий французский нейропсихолог Экаэн [51], с которым ты, может быть, знаком, различает несколько категорий дефицита.

В случае «цифровой алексии и/или аграфии» субъект не в состоянии читать и/или писать цифры, но может сохранять умение пользоваться буквами. Экаэн смог показать, что за чтение и написания цифр отвечает левое полушарие — точнее, теменная доля левого полушария.

Пациенты, страдающие от «пространственной акалькулии», не могут строить ряды из цифр. Этот дефицит, по-видимому, связан с системой визуально-двигательной ориентации, которая позволяет одновременно читать и упорядочивать цифры. В этом случае за управление движением глаз отвечает, скорее всего, правое полушарие.

Третий дефицит называется «анарифметия». Это дефицит собственно способности к счету. Пациент не в состоянии совершать арифметические действия, независимо от своей способности читать, писать и правильно располагать числа. Во всех случаях речь идет о дефицитах, связанных с тем первым уровнем, о котором мы говорили выше.

Интересное подразделение делает Лурия. Он полагает, что все перечисленные дефициты связаны с теменно-затылочной областью коры. Они, по его мнению, отличны от тех, что поражают височную долю и вызывают нарушение памяти. Поражения этого типа приводят к тому, что субъект перестает запоминать то, что он только что сделал. Ему не удается следовать за нитью своих вычислений.

Больные, страдающие поражением лобной доли, имеют нарушения другой природы. Они не воспринимают задачу, которую им необходимо решить. Они теряют нить размышления, им не удается формулировать последовательное рассуждение, они дают импульсивные ответы, в какой-то мере случайные, и упорствуют в своей ошибке. Для обнаружения фронтальных поражений применяется среди многих других тестов и цепочка последовательных вычитаний. Можно также предположить, что лобная доля отвечает за последовательное выполнение математических операций, за решение и даже постановку задач. Возможно, это соответствует второму или третьему уровню.

А. К.: Только не третьему.

Ж.-П.Ш.: Используемые в данном случае тесты являются по необходимости элементарными.

5. НЕЙРОПСИХОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ 115

А. К.: И все равно невозможно разработать тест для третьего уровня.

Ж.-П.Ш.: Почему же невозможно? Вообрази себе, например, такой тест, который могли бы использовать не-математики. Еще один тест, предлагаемый больным с поражением лобной доли, состоит в том, что их просят прочитать, а затем пересказать какую-нибудь историю. Им читают, например, «Красную Шапочку» (Лер-митт) или «Золотого Петушка» (Лурия), а затем просят восстановить историю.

А. К.: Здесь мы все еще остаемся на втором уровне.

Ж.-П.Ш.: Нет, элементы истории восстанавливаются, но целый текст бывает несвязным. Конец перемещается в начало, порядок следования эпизодов путается...

А. К.: Но это же порядок организации, воображение в этом не участвует.

Ж.-П.Ш.: Это верно. Однако найди мне объективный тест воображения. Нейропсихологи будут тебе очень благодарны.

А. К.: Я не знаю такого теста. Однако хочу задать тебе вопрос: часто говорят, что математики теряют творческий потенциал, когда стареют. И это довольно известное явление. Что ты об этом думаешь?

Ж.-П.Ш.: Лобная кора подвержена относительно быстрому старению — в частности, при болезни Альцгеймера. Больные, страдающие этим заболеванием, действительно, могут очень быстро потерять память и способность к счету. То, что они при этом теряют научный творческий потенциал — также вполне правдоподобно. ..

А. К.: Наверняка возможно более четкое различение второго и третьего уровней...

Ж.-П.Ш.: Очень сложно, особенно в рамках обычных операций. Больной с фронтальными нарушениями — какой описан, например, у Лермитта [74] — это больной, который «вписывается в окружающий мир». Когда ему дают какой-либо предмет, он его использует. Ему дают ручку, он ей пишет. Очки он надевает на нос. Молотком забивает гвоздь. Он находится в прямой связи с внешним миром, сохраняя владение речью. Он нормально выполняет рутинные виды деятельности, но ему не удается решать задачи, которые относятся к новым ситуациям. Непредвиденность — это значительное препятствие для человека, страдающего некоторыми видами нарушений лобной доли.

116

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

6. Переход с уровня на уровень посредством вариации-селекции

Ж.-П. Ш.: Думаю, для уточнения различий между вторым и третьим уровнями нам следует задать новый вопрос. Как мы переходим с уровня на уровень? В течение нескольких лет [8, 12, 13, 15] я разрабатывал предположение (аналогичные идеи можно найти и у других авторов [31, 30, 65] ), суть которого заключается в том, что переход с уровня на уровень (причем какой угодно уровень) можно описать в терминах этакого «обобщенного дарвинизма» (см. рис. 23). Переход с некоторого уровня на следующий нуждается в двух фундаментальных составляющих — генераторе разнообразия и системе отбора. Элементы начального уровня комбинируются между собой, меняются случайным образом и вырабатывают некие переходные «формы», в зависимости от следующего более высокого уровня организации. Эти формы порождаются

Доступ к верхним уровням

(социальным и т.д.)

уровень Z

Стабилизация и

усиление

i ima.ogu\a.

Opj. СииНОСЩИ·*!

" ^^

"^ "

А

J г

правила

И

устойчивость

l·

Регрессия 1 1 Регулирование между

уровнями

A

1

1

Y

— \mrmp>WT,

Y

Укоренение '

в нижних уровнях

(атомном и т.д.)

время

Рис. 23. Обобщенный дарвинизм

6. ПЕРЕХОД с УРОВНЯ НА УРОВЕНЬ ПОСРЕДСТВОМ ВАРИАЦИИ. .. 117

уже структурированными элементами, т.е. вовсе не обязательно атомами. Стало быть, имеет место производство «дарвиновских» вариаций, которые способны получить временный доступ к высшему уровню организации. Далее механизм селекции стабилизирует некоторые из этих переходных состояний и таким образом порождает более высокий уровень организации.

А. К.: Какой именно механизм селекции?

Ж.-П.Ш.: Общая модель выглядит примерно так:

материя —»- форма —^- функция (вариации) Q

(стабилизация)

Функция действует ретроактивно на переход «материя-форма». Критерий отбора связан, таким образом, с «новой» функцией, определяемой переходной формой, произведенной генератором разнообразия. Если эта новая функция соответствует такому воздействию на внешний мир, которое благоприятствует выживанию организма, то она отбирается.

А. К.: Внутри мозга или вне его?

Ж.-П.Ш.: Я для начала попытался представить очень общую формальную модель, которая, надеюсь, действительна, каков бы ни был рассматриваемый уровень организации в первоначальном состоянии. Попробуем теперь ее применить. Самый простой и самый известный случай — эволюция видов. Генератор разнообразия находится на уровне генома, или хромосомной ДНК. «Дарвиновские» вариации — мутации, рекомбинации, дупликация генов, перенос хромосомного материала — представляют собой случайные, но редкие события, которые вызывают уже вторичные модификации «фенотипа» организма, которые могут сопровождаться «адаптацией» к тем или иным особым условиям окружения. Также может иметь место выделение особых генетических комбинаций, однако отбора при этом не происходит вследствие географической изоляции: этот процесс называют недарвиновской эволюцией, но мне этот термин не очень нравится. Некоторые «нейтральные» элементы впоследствии сохраняются, другие же исчезают.

Нервная система представляет собой точно такой же орган, как и другие. Однако она имеет особый статус. Соединения между нервными клетками, синапсы, не возникают в мгновение ока —

118 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

они образуются в результате долгого и сложного процесса развития, который продолжается у человека вплоть до наступления половой зрелости. То есть в нервной системе происходит внутренняя по отношению к организму эволюция. Более того, различается, по крайней мере, два типа внутренней эволюции: эволюция количества связей, происходящая в процессе развития организма, и эволюция эффективности связей между нейронами, т. е. их состояний активности, что, впрочем, протекает гораздо легче, чем изменение связности.

Рассмотрим сначала первый тип эволюции — эволюцию посредством «эпигенеза», происходящую во время эмбрионального и постнатального развития организации мозга. Для начала предположим, что «человечность» формирующегося мозга (в смысле его отличия от мозга, скажем, обезьяны) определяется неким глубочайшим генетическим детерминизмом церебральной организации. Участвующие в этом развитии гены сейчас активно исследуются у позвоночных. Очень подробно они были исследованы у мухи-дрозофилы, которая, пусть и всего лишь муха, имеет, как и мы, голову, грудную клетку, брюшную полость и конечности. Не так давно [36, 86] были идентифицированы некоторые из генетических детерминант, фиксирующих декартовы координаты эмбриона (по осям «голова-хвост», «спина-живот»), регулирующих сегментацию тела (т. е. тело формируется в виде последовательных сегментов — примерно как у червей) и, наконец, идентифицирующих собственно сегменты (головной, с антеннами и жвалами; грудной, с крыльями и лапками; брюшной, с генитальны-ми органами и т.д.). В течение эмбрионального и постнатального развития эти три совокупности генов проявляют себя дифференциально и последовательно. Результатом этого чередования генетических проявлений является организм, обладающий целостной архитектурой, планом организации, который в рамках одного вида остается неизменным (или почти неизменным) от одного индивида к другому.

Можно предположить, что увеличение площади фронтальной коры, которое мы наблюдаем у млекопитающих (от мыши к человеку) происходит под влиянием некоторых из упомянутых генов. Их число, вероятно, не очень велико. В самом деле, ДНК шимпанзе на 99% идентична ДНК человека. Если какие-то из этих генов остаются активными в передней части эмбрионального зачатка мозга более длительное время, то следствием этого будет дифференци-

6. ПЕРЕХОД с УРОВНЯ НА УРОВЕНЬ ПОСРЕДСТВОМ ВАРИАЦИИ. .. 119

альное увеличение площади поверхности фронтальной коры. Таким образом, общая организация головного мозга человека, основной части нашей церебральной архитектуры, находится во власти генов.

Тем не менее, власть генов имеет свои пределы. Как же их обнаружить? Можно для начала сравнить связность одного и того [ж]е нейрона у двух генетически идентичных индивидах (например, у двух однояйцевых близнецов); идентифицировать нейрон можно по его форме и расположению. Опыт был осуществлен Левента-лем [50] на партеногенетических ракообразных дафниях — водяных блохах, обладающих упрощенной нервной системой с фиксированным числом нейронов, причем все эти нейроны располагаются в пространстве всегда одинаково (или почти одинаково). С помощью партеногенеза можно легко получить несколько генетически идентичных индивидов, называемых «изогенными». После чего достаточно разрезать их на тонкие слои, исследовать под электронным микроскопом и сравнить у этих индивидов полное аксонное дендритообразование одного и того же нейрона. Результаты исследования показывают, что главные линии связности у разных индивидов сохраняются неизменными, однако в деталях, на уровне распределения синаптических контактов, появляется определенная вариантность.

Второе «доказательство»: исследование эволюции церебральной связности как функции от объема приобретенного опыта. Маленького котенка или новорожденную обезьяну помещают на так называемый «чувствительный» постнатальный период в искусственное визуальное окружение, отличное от того, в каком обычно развиваются эти животные. В результате у взрослого животного очень сильно и часто необратимо нарушается функциональная специализация индивидуальных нейронов зрительной коры (специфика ориентации, бинокулярность зрения и т.д.). Человек также может по несчастному стечению обстоятельств приобрести подобный «опыт» — например, вследствие врожденной катаракты. Непрозрачность хрусталика на ранних стадиях развития организма приводит к визуальному дефициту и даже к слепоте, сохраняющейся и после операции катаракты (если она была проведена после окончания вышеупомянутого чувствительного периода), т.е. к слепоте на уровне коры головного мозга. Эти опыты, наряду с многими другими, говорят о том, что «установление» взрослой связности обусловлено активностью нервной системы

120

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

в процессе ее развития. Вместе с Филиппом Курежем и Антуа-ном Даншеном [12] мы предложили формальную модель эволюции связности системы нейронов в процессе ее развития по дарвиновской схеме в рамках данной модели; структура генетического материала при этом не изменяется, что позволило нам квалифицировать нашу модель как «эпигенез» посредством селективной стабилизации синапсов. Основная идея заключается в том, что генетические детерминанты, ответственные за распознавание отдельных нейронов, входящих в обе группы клеточных партнеров, одинаковы или почти одинаковы. Для того, чтобы закодировать эту способность к распознаванию, достаточно небольшого числа генов. На определенной критической стадии развития (в чувствительный период) два ансамбля нейронов входят в контакт. Я говорю здесь не о сформировавшихся контактах между нейроном x первой группы и нейроном у второй группы, но о процессе «установления контакта», бурном, нечетком, множественном и перекрывающемся. На этой стадии можно наблюдать впечатляющее разнообразие всевозможных связей. В действие вступает генератор «дарвиновских вариаций»! Далее происходит «доводка», позволяющая, посредством стабилизации некоторых соединений и удаления других, установить взрослый тип связности. С помощью такой модели можно моделировать простые ситуации обучения, а также более сложные ситуации, возникающие в процессе развития, в частности, человека. В человеческом мозге последовательные волны формирования и отбора синапсов следуют друг за другом, сливаются, накладываются друг на друга последовательными притоками и оттоками... в течение длительного времени после рождения. Необходимо, разумеется, уточнить биологические ограничения, которые ведут к отбору предпочтительных соединений. Эти правила отбора должны зависеть от организма в его целостности и во взаимодействии с внешним миром.

А. К.: А почему бы не использовать все эти связи, коль скоро они уже сформированы? Их просто необходимо использовать. Чем объясняется отбор?

Ж.-П. Ш.: Свой вклад в моделирование конечного состояния сети вносит присущая системе активность. А именно она у нейронов не идентична в точности. В предложенной модели эволюция того или иного синапса определяется локальными правилами эволюции в зависимости от собственного состояния активности

6. ПЕРЕХОД с УРОВНЯ НА УРОВЕНЬ ПОСРЕДСТВОМ ВАРИАЦИИ. .. 121

синапса и от состояния клетки, на которую эта активность проецируется. Например, как я уже говорил, совпадение активности двух контактирующих клеток может вызвать стабилизацию этого контакта. Обучение приводит к новому отношению «вход/выход». После обучения одинаковый сигнал на входе всегда дает одинаковый сигнал на выходе, тогда как до обучения сигналы на выходе от опыта к опыту варьировались.

Описанная формальная модель обладает интересным математическим свойством, которое можно сформулировать в виде теоремы изменчивости. Согласно этой теореме, одинаковое отношение «вход/выход» после обучения можно получить даже в тех случаях, когда в результате отбора сохраняются разные связности. Это вполне согласуется с наблюдениями изменчивости связности, о которых я только что говорил. Известно также, что хотя у большинства людей речевые центры расположены в левом полушарии, есть люди, у которых эти центры размещаются в правом полушарии или распределены по обоим полушариям. Причем по одной лишь манере речи отличить одних от других еще никому не удавалось. Нейрофенотип лее, несмотря на очевидную схожесть функций, изменяется очень сильно. Мы подходим, таким образом, к заключению, крайне значимому в рамках нашего обсуждения. Несмотря на существенные различия в тонкой церебральной организации отдельных математиков, им как-то удается одинаково воспринимать своим мозгом одинаковые математические объекты.

Завершив рассмотрение нейронного дарвинизма эволюции связности, коснемся и другой эволюции — эволюции более высокого уровня, которую можно охарактеризовать как дарвинизм ментальный [14] или психологический. (Это понятие встречается еще у Фрейда: см. [98, с. 244].) Нейронный дарвинизм в ходе развития организма проявляется, главным образом, в самом раннем детстве или еще в эмбриональном состоянии. Эмбрион активен, он проявляет спонтанную активность, которая может вмешаться во «внутренний» отбор синапсов, обеспечивающих координацию между различными нервными центрами. Что до ментального дарвинизма, то он имеет отношение, по большей части, к взрослому мозгу — как на уровне понимания, так и на уровне разума. На шкале психологического времени он производит, скорее, изменения синоптической эффективности, чем эволюцию количества связей. Единицами отбора здесь служат не просто связи

122

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

и элементарные контуры, но совокупности нейронов, способных на координированную активность, Они выбираются из элементов, уже отобранных в результате нейронной эволюции. Генератор разнообразия является здесь не результатом изменчивости связей в процессе развития, но результатом спонтанного и неустойчивого начала активности совокупностей нейронов — так называемой «пре-репрезентации». Возникает активность комбинаторного типа, предвосхищающая взаимодействие с внешним миром. Если в результате этого процесса достигается некая «конгруэнтность», «резонанс» между внутренним и внешним состояниями системы, то пре-репрезентации стабилизируются, «запасаются» в сети. Если резонанса нет, то никакого запечатлевания не происходит. Такое запоминание изменяет величины синаптической эффективности, составляющие в совокупности сохраняемую конфигурацию системы.

Последовательность ментальных репрезентаций, вызываемых процессом размышления в «рабочем разделе» краткосрочной памяти, имеет в своей основе аналогичный ментальный дарвинизм. Применима ли такая модель к работе математика? Можно предположить, что в течение периода «инкубации» различные репрезентации математических объектов сменяются, переходя друг в друга и следуя друг за другом достаточно произвольно. Затем среди репрезентаций или пре-репрезентации происходит нечто вроде внутреннего отбора посредством резонанса. Этот отбор приводит к «объекту-результату», который согласуется с поставленной задачей, т.е. с «интенцией», на которую следовало должным образом отреагировать. На той стадии, на которой мы сейчас находимся, эти идеи носят пока еще очень схематический характер, и я не думаю, что в данный момент их можно сформулировать сколько-нибудь точнее.

Совместно со Станисласом Деэном и Жан-Пьером Надалем мы разработали модель [20], пока еще очень элементарную, сети нейронов, расположенных последовательными слоями, которая способна распознавать порядок следования символов или мелодию, запоминать их и впоследствии воспроизводить. Эта модель дает хорошее объяснение процессу обучения некоторых птиц пению (см. рис. 24). Сейчас мы вплотную приближаемся к возможности детально моделировать некоторые этапы протекания мысли, однако до достижения успеха предстоит еще немало работы.

6. ПЕРЕХОД с УРОВНЯ НА УРОВЕНЬ ПОСРЕДСТВОМ ВАРИАЦИИ. .. 123

Стадия

Начальные вокализации

6 4 VII

i'

IV

IV

б

4 III

Пластическое пение

слог 4

слог 4

слог 5

слог 2

[4] ^6 i'· viV'TnT ^1 ' ^1 '

4+ * · * V \ xiJv t»*N * i

IV

слог 1 слог

^б + ' UPMTG 'lYIMvn'i'l' I'U>

4+ JjJJJJJJJJJJJJJs JJJ

слог 3

слог 3 Кристаллизованное пение

слоги для обучения

Рис. 24. Обучение болотного воробья пению. Линиями представлена частота производимых звуков в зависимости от времени. Внизу справа показаны слоги, которым обучается воробей. Птенец слышит и запоминает эти слоги в период между 22-м и 62-м днями после появления на свет. Примерно через 200 дней птенец производит первые вокализации и выстраивает их в слоги, услышанные за семь месяцев до этого. В песне взрослой птицы остается только слог № 3. Кристаллизация пения сопровождается потерей (или отсевом) слогов, что свидетельствует о «селекционном» характере обучения. (Рисунок из работы [77])

124

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

sens

Рис. 24 a. Формальная нейронная сеть, способная распознавать, воспроизводить и записывать в памяти посредством отбора временные последовательности «репрезентаций». Архитектура очень проста: три слоя нейронов (сенсорные, обозначенные на рисунке сокращением sens, входные — inp и внутренние — int), разделенные на группы самовозбуждающихся нейронов (обозначенные кругами), кодирующих «репрезентации». Между собой нейроны соединяются тройками синапсов ЛВС, эффективность которых модулируется химически. Подробнее см. работу [20].

7. Ментальный дарвинизм и математическое творчество

Ж.-П.Ш.: Предлагаю теперь рассмотреть, как определенные формы ментальной активности математика — или мыслительной активности вообще — следуют своего рода эволюции по Дарвину...

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 125

А. К.: Аналогичным образом можно сформулировать гипотезу о дуализме между случайным процессом дарвиновской эволюции и моей верой в независимое существование грубой математической реальности. Логичность и гармоничность этой гипотезы послужат противоядием от случайности. Некоторые сравнительно случайные размышления, приводящие к тому же результату, показывают, что мы на верном пути. На третьем уровне организации именно необъяснимая логичность математической реальности и позволяет, как мне кажется, нескольким независимым совокупностям нейронов входить в резонанс только тогда, когда они пребывают в гармонии.

Ж.-П. Ш.: Да, это комбинаторика пре-репрезентаций.

А. К.: Следует постулировать, что независимо от мозга существует внешний мир, логичность которого может быть воспринята с помощью резонанса случайных механизмов.

Ж.-П.Ш.: Я собирался подсказать тебе похожую мысль. Продвинемся в определении математических объектов как объектов мысли несколько дальше и рассмотрим их сначала как частные ментальные репрезентации, как физические состояния, наблюдаемые через установленную камеру.

А. К.: Сама по себе ментальная репрезентация никакого смысла не имеет...

Ж.-П.Ш.: Она получает вполне явный «смысл», как только ее кому-либо сообщают. Математические объекты и в самом деле представляют собой ментальные репрезентации, основным свойством которых является то, что их можно сообщить от одного индивида к другому — в отличие, скажем, от «невыразимых» состояний великих мистиков или сумасшедших. Ментальные репрезентации способны становиться репрезентациями публичными. Математические объекты можно передавать — вполне «строго и точно» — от одного мозга к другому, ими можно манипулировать, причем способ такого манипулирования практически не зависит от конкретных индивидуумов, пусть и отличающихся друг от друга как генетически, так и эпигенетически.

Некоторые антропологи (например, Спербер [96]) различают несколько типов публичных репрезентаций. Репрезентации «первого порядка» выражают, например, что хлеб — съедобен, лев — опасен, растения — зелены. Эти репрезентации записываются в долговременную память и не допускают никакой эмпирической непоследовательности и никаких противоречий между собой. Бу-

126 НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

дучи основаны на частных фактах, они все же имеют универсальное значение, поскольку были множество раз подтверждены. Репрезентации второго порядка по Сперберу — это «репрезентации репрезентаций», отношения мелзду фактами и ментальными состояниями, либо мелзду межсубъектными ментальными состояниями. Он разделяет их на две категории: верования и научные модели. Я добавлю сюда третью категорию — художественные репрезентации [И, с. 20-32].

Верования по определению изменчивы. Они, тем не менее, передаются авторитарно, как и истины, что является, как отмечает Спербер, постоянной провокацией против здравого смысла. Бок о бок с верованиями развиваются гипотезы, научные модели или даже математические объекты, носящие логичный, недвусмысленный, непротиворечивый, предсказательный и генеративный характер. Помимо соответствия реальности, они противопо- || ставляются верованиям еще и в том, что такие построения легко | опровергнуть и впоследствии пересмотреть, тогда как верования 4 не подлежат критике в данном теологическом контексте! Верова- | ния также подвержены эволюции, которую можно интерпретиро- Ц вать в дарвиновских терминах, однако эта эволюция отличается от эволюции математических объектов. Таким образом, можно определить свойства собственно математических объектов как публичных репрезентаций второго порядка — как научных репрезентаций, сформулированных настолько ясно и прозрачно, насколько это вообще возможно.

В процессе отбора и распространения верований гораздо бо- ] \ лее важную роль, как нам представляется, играет не рациональная составляющая, но эмоциональная. Как же происходит отбор среди математических объектов? Из этапов работы математика ты упомянул озарение, возникающее после фазы созревания, в течение которой, по всей видимости, и действует дарвиновская комбинаторика. Можно предположить, что озарение совпадает по времени с наступлением резонанса ментальных репрезентаций. Однако фронтальная кора, где, очевидно, и происходит этот резонанс, напрямую связана с лимбической системой, ответственной за эмоциональные состояния (см."рис. 25). Наша фронтальная кора не только вырабатывает познавательные стратегии, но способна также реализовать и стратегии эмоциональные — посредством очень разветвленной сети связей между фронтальной корой и лимбической системой (см. рис. 26). Думаю, математику следует, наряду

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 127

Рис. 25. Лимбическая система и удовольствие. Очень схематичное представление лимбической системы в виде круга, впервые описанного Папе-цем. Этот круг включает в себя, в частности, гиппокамп, который получает информацию от неокортекса, от гипоталамуса (Hyp), частью которого являются сосцевидные тела (M), от передних ядер (А) и заднего ядра тала-муса (MD). Эти образования проецируются, соответственно, на префрон-тальную кору и на поясную долю, которая напоминает по форме кольцо или лимб, откуда, собственно, и происходит название «большая лимбиче-ская доля», данное ей Полем Брока.

Электрическая стимуляция определенных точек лимбической системы вызывает автостимуляцию и, как следствие, ощущение удовольствия. Стрелками показана реакция, выражающаяся в эрекции пениса мужской особи. (Рисунок из работы [75].)

128

НЕЙРОННЫЙ МАТЕМАТИК

парагиппокампальная доля

передняя доля

зона 19

зона 46

верхняя височная борозда

Рис. 26. Сеть анатомических связей, устанавливаемых у обезьяны между лобной долей (зона 46), височной долей (верхняя височная борозда), теменной долей (зона 7А) и лимбической системой (передняя поясная доля, задняя поясная доля и парагиппокампальная доля). В нижней части рисунка показана внешняя сторона левого полушария, в верхней — его же внутренняя сторона. Лимбическая система располагается, главным образом, на внутренних сторонах полушарий мозга, в средней его части. Взаимные соединения между неокортексом и лимбической системой устанавливают связь между познавательной способностью и эмоциями. (Рисунок из работы [41].)

с рациональными стратегиями, развивать и стратегии эмоциональные, дающие ему надежду на достижение результата. В момент озарения резонансы выходят за пределы фронтальной коры, достигая лимбической системы — т. е. можно предположить, что эмоциональное состояние вносит свой вклад и в оценку.

7. МЕНТАЛЬНЫЙ ДАРВИНИЗМ и МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ТВОРЧЕСТВО 129

А. К.: Совершенно верно. И это очень важно.

Ж.-П.Ш.: Функцию оценки, способную распознать достижение «гармонии» между субъектом и его окружением или же внутренней «гармонии» между несколькими репрезентациями, можно реализовать в виде системы удовольствия или системы тревоги.

Наконец, следует различать условия, в которых происходит озарение, и условия передачи информации от одного математика к другому. Речь идет о разных процессах, творчество отлично от передачи знаний. Тем не менее, для осуществления такой передачи мозг получателя должен обладать определенной компетентностью.

А. К.: Разумеется.

Ж.-П.Ш.: Этот определенный уровень компетентности требуется для того, чтобы получатель принял или отбросил предлагаемый ему математический объект или доказательство. Следовательно, необходимо принимать в расчет эту компетентность, характерную для существующего математического контекста. Принятие какого-либо нового предположения сообществом математиков означает, в частности, соответствие этого предположения контексту, его интеграции в этот контекст. Внутренняя взаимосвязанность математических объектов, которая так тебя удивляет, вырабатывается весьма постепенно.

А. К.: Мы, безусловно, постепенно выстраиваем копии этих объектов в нашем мозге в процессе создания мысленных образов, однако это отнюдь не ставит под сомнение существование самой математической реальности.

Ж.-П.Ш.: Математическая реальность выстраивается постепенно, посредством открытий, модификаций, а также резонансов с прочим контекстом. Вот почему я отрицаю реальность математики, предшествующую опыту ее применения. Взаимосвязанность объектов достигается, как мне кажется, не a priori, a a posteriori, и является результатом отсутствия между ними противоречий. Именно поэтому Моррис Клайн и называет свою книгу, посвященную новой истории математики, «Математика: утрата определенности».

А. К.: Итак мы вернулись к исходной точке нашего спора. Думаю, пора через нее, наконец, перешагнуть.

Дарвин и математики

1. Полезность дарвиновской схемы

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Дарвинизм в математике не кажется мне новой идеей. Прежде чем её развивать, думаю, не помешает еще раз уточнить уровни, о которых мы оба уже говорили, для того, чтобы мы могли более четко определить «точки перехода», в которых каждый из нас будет вступать в обсуждение.

АЛЕН Конн: Мне почти нечего добавить. Очень формально можно различить в рамках нашей дискуссии три уровня. Однако я вовсе не претендую на то, что они имеют какой-то абсолютный смысл. Прежде всего, первый уровень определяется способностью к счету, применению заданного алгоритма как быстро, так и правильно. Этот уровень мы уже можем наблюдать в современных компьютерах.

Ж.-П.Ш.: Уровень символических операций.

А. К.: Да, но эти операции могут быть весьма сложными. И всё же какова бы ни была степень сложности, алгоритм всегда задается заранее. Исполнитель этого алгоритма абсолютно не понимает. Таким образом, никакие вариации, никакие изменения стратегии на данном уровне невозможны.

Ж.-П.Ш.: Для этого необходимо перейти на символический уровень, уровень понимания, который Кант помещает между чувствительностью и разумом.

А. К.: На втором уровне, напротив, можно для достижения определенной цели — например, решения задачи — выбрать стратегию и изменять ее в зависимости от результата. Когда происходит ошибка, можно произвести сравнение с другими вычислениями. Иначе говоря, этот уровень предполагает понимание используемого механизма. Выполняя, например, операцию деления, мы понимаем, почему мы выполняем именно эту операцию, а не какую-либо иную. Еще один пример, немного, правда, преувеличенный: запоминая цифру при сложении, мы понимаем, что используем при этом 2-коцикл группы. Следовательно, необходимо,

1. ПОЛЕЗНОСТЬ ДАРВИНОВСКОЙ СХЕМЫ 131

чтобы используемые операции были формализованы, составляли некую иерархию, зависящую от цели, к которой адаптируется выбранная стратегия. И для того, чтобы этого добиться, нужно очень хорошо разбираться в том, что делаешь. В математике именно такой подход часто позволяет решить задачу, если она не слишком сложна или не требует каких-то новых идей. При условии, разумеется, что она не относится к первому уровню, т. е. не является простым вычислением или применением алгоритма.

Ж.-П. Ш.: Можно предположить, что такая форма разума (возможно, низшая) соответствует тактическому разуму Гранже. Здесь вводится применение стратегии и, в случае необходимости (если первая тактика себя не оправдала), поиск новой тактики.

А. К.: Нить рассуждения на втором уровне никогда не обрывается. Мне кажется, именно эта деталь и отличает его наиболее очевидно от третьего уровня. Ни в какой момент времени не возникает разделения между функционированием мозга и объектом, к которому оно применяется.

Ж.-П.Ш.: Мне кажется, именно такое определение и дает Гранже тактическому разуму. Меняется тактика, меняются средства, методы, но математическая интенция остается все той же. Третий же уровень позволяет изменить стратегию целиком, что повлечет за собой и изменение цели.

А. К.: Здесь нужно быть осторожнее. Это не совсем то различие, о котором я говорил. На мой взгляд, третий уровень можно определить следующим образом: в то время, как «разум» (или «мысль») занят какой-то другой задачей, первоначальная задача находится в стадии внутреннего — можно даже сказать, «подсознательного» — разрешения. Главным является именно это разъединение между явным и активным размышлением и иным, неявным функционированием мозга...

Ж.-П.Ш.: Не думаю, что сам факт «сознательности» той или иной операции предполагает наличие какого-то особого уровня. Скорее, речь идет о способе «внутреннего» восприятия происходящего. Главным признаком третьего уровня является, как мне кажется, именно возможность доступа к озарению, позволяющему глобально менять стратегию. Как следствие, создаются новые границы мысли, внутри которых затем может быть применена новая тактика. Теперь, когда мы достигли понимания по всем трем уровням, не кажется ли тебе, что дарвиновская схема в данных условиях может оказаться весьма полезной?

132

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

А. К.: Для оценки ее эффективности мне не достает более или менее точного определения функции оценки. Такая функция позволила бы, например, на втором уровне интуитивно предположить, что одна стратегия лучше другой и сделать выбор. Для того, чтобы дарвинизм работал, нужно все-таки, чтобы мозг мог выбирать среди разных возможностей или среди разных совокупностей нейронов те, которые функционируют наиболее эффективно. Нужно, чтобы критерии выбора могли изменяться в зависимости от предложенной цели. Можем ли мы представить себе, пусть нечетко и неточно, такую функцию оценки (функцию в чем-то аналоговую, но, возможно, адаптируемую под определенные компьютеры) для выбора наилучшей стратегии среди возможных?

Ж.-П.Ш.: Твой ход.

А. К.: Если за основу взять тот принцип, которого я придерживался с самого начала (т. е. признать независимое существование математической реальности), то кое-какие идеи предложить можно — по крайней мере, в качестве примеров, которые можно будет соотнести с опытом и с реальностью. Можно также допустить, что направляющим фактором здесь является внутренняя логичность математики в том смысле, что любая организованная структура противопоставляется случайному. Таким образом, вполне возможно, что именно логичность математики играет роль механизма отбора в процессе построения в мозге образного представления о математической реальности.

Ж.-П. Ш.: Это никоим образом не предполагает, что существование математики первично. Ты говоришь о ней как о направляющем факторе для мысли. Функция оценки есть не что иное, как функция подтверждения интегрированности в логичную непротиворечивую структуру. Это подтверждение происходит в нашем мозге, где в долговременной памяти хранится некоторое количество математических репрезентаций. При появлении нового объекта они входят в своего рода резонанс. Результатом является некая глобальная активность.

А. К.: Я говорил о внутренней логичности.

Ж.-П.Ш.: Так. Я же говорю, что она является внутренней как для мозга, так и для математики, потому что вся математика располагается внутри мозга математика. В частности, в его долговременной памяти. Она представлена указателями, совокупность которых внезапно объединяется под влиянием нового математического объекта. И все они вдруг начинают действовать координиро-

I

1. ПОЛЕЗНОСТЬ ДАРВИНОВСКОЙ СХЕМЫ 133

ванно. Почти все элементы мозаики были уже в наличии. Для завершения не хватало лишь одного кусочка. С добавлением этого самого кусочка вдруг появляется осмысленная картинка.

А. К.: Но давай вернемся к противопоставлению беспорядка и организации. Математическая реальность в силу своей структуры, своей внутренней гармонии — это неистощимый источник организации. При случайном отборе формул резонанс между ними можно получить только тогда, когда все они вместе обладают некоторой взаимосвязанностью. Функция математики как раз и заключается в выявлении этой взаимосвязанности. Можно предположить, что различные группировки активных нейронов входят в резонанс только тогда, когда возникает подобное проявление взаимосвязанности. Эту идею на данный момент еще нельзя сформулировать точнее, однако поразмыслить над ней, безусловно, стоит.

Ж.-П.Ш.: Доступом к такой взаимосвязанности обусловлена изменчивость в течение этапа созревания. Ведь мозг функционирует не как компьютер или машина для игры в шахматы. Далеко не все возможности принимаются во внимание и оцениваются. Напротив, устройство, основанное на принципах комбинаторики, имеет дело, как правило, с весьма небольшим количеством мысленных объектов.

А. К.: Если мозг способен сформировать минимальную структуру, пусть даже соответствующую очень примитивной модели представления мысленного образа математической реальности, то несложно представить механизм эволюции систем внутри мозга, позволяющий создавать более развитые структуры. Возьмем в качестве примера рассуждение по аналогии. Этот тип рассуждения приводит от простой синтаксической структуры к созданию похожей модели, но из элементов, имеющих иную семантическую интерпретацию. Удостоверившись в совместимости этой новой структуры с математической реальностью, можно модифицировать структуру с целью увеличения ее эффективности. Решение задачи, таким образом, не следует с необходимостью из последовательности случайных попыток. Благодаря аналогии, построенной на основе предыдущей модели, можно получить непосредственный доступ к более ограниченному набору решений. Ты тут упомянул о шахматах. Думаю, что великие шахматисты, именно благодаря этой самой интуиции, способны существенно сократить число ходов, которые необходимо рассмотреть, тогда как компьютеру приходится рассматривать этих ходов миллионы.

134 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

Ж.-П.Ш.: Психологи изучили игру великих гроссмейстеров и проанализировали их стратегии [18, 57]. По всей видимости, гроссмейстеры осваивают своего рода новый язык, слова в котором обозначают серии возможных ходов в игре и сами ходы. Количество слов варьируется примерно от 7 до 10 тысяч, что соответствует в среднем словарному составу французского или английского языков. Вместо систематического комбинаторного анализа распределения фигур на шахматной доске, гроссмейстер обращается к своей памяти и вырабатывает соответствующую стратегию. Вместо того, чтобы постоянно изобретать новые стратегии, он предпочитает размышлять, опираясь на образы и стратегии, имеющиеся в его памяти.

А. К.: Здесь мне представляется важным понятие устойчивости конфигураций и форм. Мозг одинаково воспринимает некоторые строго кодированные формы, которые в действительности ;( различны. Например, в игре в шахматы гроссмейстер, благодаря У описанному механизму, приходит к открытию и классификации ^ небольшого количества «аттракторов» среди большого числа воз- // можных конфигураций, разделенных позиционно, но соседству- [;]| ющих в его разуме. Этот специфический ментальный механизм, ,| на данный момент пока еще не доступный компьютерам, позво- J ляет ему таким образом свести его задачу к небольшому числу Ц решений. Впрочем, сегодня и искусственный интеллект пытается f сымитировать этот процесс с помощью динамической топологии. |

I

2. Кодирование устойчивых форм I

Ж.-П. Ш.: Таким образом, долговременная память иерархична. ff

Она не имеет ничего общего со словарем, где слова расположены f в алфавитном порядке. Совсем наоборот...

А. К.: Иерархия задается, как мне кажется, механизмами топологии.

Ж.-П.Ш.: Организация долговременной памяти представляет

собой фундаментальную теоретическую проблему для нейробио- -L-

логов. Они работают с такими понятиями, как семантические де- |

ревья, иерархические классификации... 1

А. К.: Прежде чем пуститься в топологические разъяснения, не §

могу не обратить внимание на одну вещь. Один из моих коллег, ве- I

ликолепный математик, решил однажды заняться психоанализом. '*

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 135

Возможно, он подумал, что топология может стать интересным инструментом для психоаналитических исследований. Он рассказывал мне, как однажды, после ознакомления с понятием компактного пространства, Жак Лакан объяснял в своей лекции, что Дон Жуан был компактен, и показал, что из любого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие... Кое-кто из группы Лакана также принялся употреблять математические термины, не осознавая их истинного смысла, чтобы произвести впечатление на прочих коллег, столь же не сведущих в математике. Ясно, что полученный таким образом мир химер никакой реальности не соответствует. Наша дискуссия не должна ни в коем случае привести к ложным интерпретациям такого рода. Я, в частности, не претендую на новое понимание функционирования мозга. Я лишь думаю, что было бы хорошо, если бы некоторые элементарные понятия топологии, которые я попробую объяснить в деталях, стали лучше известны ученым-нейробиологам вроде тебя. Почему топология? Как ты объяснил, устройство мозга у разных людей не идентично. Так же различно и восприятие внешних объектов. Однако свойства, по поводу которых существует согласие, имеют характер инварианта «структурной устойчивости» (по терминологии Тома), что достаточно хорошо учитывается в рамках топологической теории.

Ж.-П. Ш.: Ментальные репрезентации и объекты памяти кодируются в мозге в виде форм (в смысле гешталът-теории), несмотря на значительную изменчивость синапсов, в которых они хранятся. Таким образом, в нервной системе протекают процессы воплощения воспринимаемых инвариантов. Это первая проблема. Другая касается способа, которым упорядочиваются репрезентации в памяти. Эти проблемы нужно отделить друг от друга. Начнем с первой...

А. К.: Я сначала попробую объяснить в общих чертах основы симплициальнои топологии и смысл ее самого простого понятия — упомянутого тобою выше «дерева». Задачей симплициальнои топологии является изучение топологических инвариантов объектов, называемых симплициальными комплексами. Симплициаль-ный комплекс — это конечное множество точек, которые я буду называть «вершинами». Ты можешь представлять их себе в виде нейронов, образующих в совокупности достаточно сложный агрегат. Структура этого объекта определяется подмножеством (которое я назову «дельта 1») множества пар вершин. Нары вершин мы

136 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

будем называть «ребрами» — продолжая сравнение с нейронами, ребро можно представить себе как связь двух нейронов. Однако, за исключением случаев, когда симплициальныи комплекс одномерен, структура на этом не заканчивается. Вообще говоря, для любого целого п, меньшего, чем размерность, следует задать подмножество «дельта п» множества фигур, содержащих n вершин. На- Ц пример, если симплициальныи комплекс имеет размерность 2, то Ш следует учитывать не только ребра, но и треугольники. Единствен- fl ное правило согласования заключается в том, что ограничиваю- ff щие треугольник стороны должны быть ребрами. Это означает, | что треугольник ABC принадлежит комплексу (ABC € D ^2 ) толь- f ко тогда, когда три его ребра принадлежат комплексу (AB G D ^1 ), (ВС € D ^1 ), (AC e D ^1 ). Обратное утверждение не верно. Аналогично, если А и В являются вершинами, то соединяющее их ребро не обязательно принадлежит комплексу. Опираясь на эти основы, мы можем применить значительный потенциал симплициальной топологии к нашему случаю.

Симплициальные комплексы размерности 1 не представляют для нас особого интереса. Так, фундаментальные группы связан- | ных с ними топологических пространств — это всегда свободные | группы. Я приведу несколько примеров симплициального комплек- ^ са большей размерности, не пытаясь, впрочем (по крайней мере, | пока), сопоставить им какой-то смысл или реализацию. А для того, | чтобы ты мог себе легко все это представить, я буду использо- | вать для обозначения вершин моего симплициального комплекса | термин «нейроны», для обозначения ребер, которые связывают | нейроны между собой, — термин «простые связи», в случае сово- Ij купности из y нейронов я буду говорить о «сложных связях». В ка- ;c-честве первого примера рассмотрим симплициальныи комплекс f с топологией двумерной сферы. Комплекс состоит из четырех ней- | ронов А, В, С и D. Каждая пара (AB, AC, BD,... ) имеет связыва- | ющее нейроны ребро. Каждая тройка — треугольник. Этот ком- | плекс двумерен, и не существует связей большего порядка, чем t треугольные связи. Теперь я опишу другой симплициальныи комплекс, эквивалентный предыдущему (т.е. определяющий тот же топологический объект), однако число вершин будет иным. Добавится вершина Е. К прежним ребрам добавим те, что соединяют E с вершинами А, В и С, а ребро ED добавлять не станем. Все треугольники останутся треугольниками — так как их ребра никуда не делись (см. рис. 27), — за исключением треугольника ABC. На-

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 137

пример, фигура АЕВ — треугольник, a AED — не треугольник, потому что ED не является ребром. Полученный симплициаль-ный комплекс имеет размерность 2. Связанное с этим комплексом топологическое пространство гомеоморфно топологическому пространству первого симплициального комплекса. Эти два пространства гомеоморфны двумерной сфере. Переход от первого симплициального комплекса ко второму называется «барицентрическим подразделением».

Сравнивая топологические комплексы с совокупностями нейронов и пытаясь выяснить, существуют ли совокупности нейронов большей размерности, чем размерность 1, мы сталкиваемся с первой трудностью, связанной с обнаружением и правильным определением тройных связей, или треугольников, в симплициальном комплексе. Это можно проделать лишь опытным путем или с помощью машины, способной пользоваться не только механизмом древовидной классификации, но и намного более богатыми ресурсами топологии больших размерностей.

Ж.-П.Ш.: Я думаю, что это очень интересная идея. Известно, что каждый отдельный нейрон образует десятки тысяч связей, которые, очевидно, могут участвовать в различных репрезентациях. Описанная тобой схема позволяет эти возможности использовать. .. Рассмотрим, к примеру, как мой мозг кодирует какую-либо особую фигуру, скажем, твое лицо. Проблема размерности приобретает здесь критическую важность. Ранее мы уже обращались к ментальным репрезентациям, рассматриваемым как физические состояния, определяемые активностью определенных популяций нейронов. Однако эта точка зрения разделяется далеко не всеми. Барлоу [2], например, построил альтернативную теорию, согласно которой каждый нейрон в мозге обладает крайне развитой функциональной специфичностью, которой вполне достаточно для того, чтобы закодировать любую «репрезентацию» — даже такую особенную, как, например, его собственная бабушка или, скажем, желтый «фольксваген». Эта теория известна как теория «бабушкиных клеток» («grandmother cells» по-английски). Некоторые экспериментальные данные это подтверждают. В теменно-височной коре обезьян [88, 26] можно зарегистрировать реакцию отдельных нейронов, которые кодируют распознавание лиц и даже некоторых черт лица (см. рис. 28). Одни нейроны реагируют на лицо в фас или в профиль, другие — на лицо и в фас, и в профиль. Есть нейроны, которые дают реакцию на лицо с глазами и не ре-

138

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

А - (А, В, С, D)

D ^2 - (AB, AC, AD, ВС, CD)

D ^3 - (ABC, ABD, ACD, BCD)

D = (А, В, С, D, E)

D ^2 - (AB, AC, AD, BC, BD, CD, A E, BE, CE)

D = (ABE, ACE, BEC, ABD, ACD, BCD)

Симплициальный комплекс Геометрическая реализация

Рис. 27

агируют, если глаза на лице отсутствуют; есть нейроны, которые реагируют на лицо одного из экспериментаторов и не реагируют на лицо другого, некоторые нейроны оказываются чувствительны даже к направлению взгляда наблюдающего за обезьяной экспериментатора. Это заставляет предположить наличие у некоторых нейронов крайне тонкой функциональной специфич-

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ

139

I_I.

а

и

|10 пиков в сек 10 сек

0° 30° 60° 80° 100° 180

12

Рис. 28. Специфичность реакции отдельных нейронов височной коры макака на очень сложные объекты. Реакция отдельных нейронов регистрируется у бодрствующей обезьяны с помощью микроэлектрода. Каждый нервный импульс представлен в виде вертикальной черты постоянной длины (рисунок на следующей странице). Частота этих импульсов за конечный промежуток времени показана штрихами переменной высот (верхний рисунок). Специфичные реакции нейронов регистрируются в трех разных точках височного кортекса соответственно: реакция на лицо в фас, реакция на лицо в профиль, реакция на руку. Заметим, что для реакции на лицо необходимо наличие у объекта глаз, а для реакции на руку необходимо различать пальцы. (Рисунки из работ [26, 47].)

140

ДАРВИН И МАГЕМАТИКИ

III!

III»

I I

[5°

2 секунды

120°

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 141

ности. Однако не следует заходить слишком далеко. Поскольку если бы в височной коре в действительности существовал всего лишь один нейрон, кодирующий любой из вышеперечисленных объектов, то шанс обнаружить его был бы крайне мал. Тот факт, что полученные результаты можно воспроизвести, доказывает, что существуют целые популяции нейронов, обладающих этими специфическими свойствами. Очевидно, что они представляют собой ансамбли высокодифференцированных нейронов, принимающие участие в распознавании образов. А нейроны, индивидуально реагирующие на те или иные особые черты, связаны в действительности с другими ансамблями нейронов, которые расположены в первичной и вторичной зрительных зонах и приводятся в действие нейронами сетчатки. Здесь (т. е. в рамках нервной системы) мы имеем дело с системами, обладающими одновременно сложной иерархией и высоким параллелизмом. Таким образом, я не совсем уверен, что в данном конкретном случае можно как-нибудь применить твое предложение позаимствовать подход у симплициальной топологии.

А. К.: Не знаю, пригодны ли в самом деле мои замечания к проблеме запоминания.

Ж.-П. Ш.: Речь идет не просто о запоминании. Речь идет о способе накопления информации в нервной системе. Проблема кодировки ментальных репрезентаций — вот топологическая проблема.

А. К.: Да, но я пришел к топологии совсем по другой причине. Мы говорили о существовании большого разнообразия, но также и о некоторой инвариантности в способе формирования мозга у различных индивидов. Рамки топологии идеальны для понимания такого рода явления, поскольку один и тот же топологический объект может иметь множество разных представлений. Он может состоять из множества различных симплициальных комплексов, сохраняя неизменность своих топологических свойств. Таким образом, симплициальная топология является идеальным средством кодировки, например, понятия формы, если мы, разумеется, не будем слишком углубляться в количественные аспекты ее геометрии. В качестве очень простого примера можно взять инвариант, который не изменяется при замене симплициального комплекса, например, размерности 2, другим, описывающим все тот же топологический объект. Здесь необходимо пояснить, что такое характеристика Эйлера-Пуанкаре. Это число равно количеству вер-

142 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

шин с вычетом количества ребер и добавлением количества треугольников. Не сложно убедиться в том, что операция барицентрического подразделения, о которой я только что говорил, сопровождающаяся добавлением одной вершины, трех ребер и двух треугольников, к изменению определенной выше характеристики не приводит. Попробуем вычислить характеристику Эйлера-Пуанкаре для двумерной сферы. Имеем четыре вершины, четыре треугольника и шесть ребер — следовательно, искомая характе-ристика равна 2. Впрочем, несложно представить себе электри-ческую систему, позволяющую вычислять это число в зависимо-сти от данного симплициального комплекса. В топологии извест-но несколько существенно более сложных преобразований, чем барицентрическое подразделение. Эти преобразования изменяют топологический объект, т. е. в результате получаем объект, не го-меоморфный исходному, — впрочем, его так называемый «тип гомотопии» остается прежним. Существенный инвариант топологического пространства с точностью до гомотопии называется «фундаментальной группой» этого пространства. В случае сферы он вполне тривиален, т. е. сводится к одному элементу, однако пере-стает быть таковым в случае симплициальных комплексов размерности хотя бы 2 (как, например, тот, что определен на рис. 29). То-пология есть исследование топологических пространств, с точно-стью до гомотопии или гомеоморфии. Мне представляется вполне вероятным, что возможность строить топологические структуры (элементарные или, напротив, чрезвычайно богатые по форме) мозг получает, благодаря комбинаторике симплициальных ком-плексов. Точнее говоря, его топология показывает, что мозг спосо-бен тщательно разрабатывать комбинаторику того или иного сим-плициального комплекса. Жаль упускать возможность использо-вать прогресс в топологии для разработки, например, машин для запоминания информации, ограничившись одними лишь деревьями (т.е. симплициальными комплексами размерности 1), фундаментальная группа которых тривиальна. Определение фундаментальной группы несложно для понимания: выбрав однажды начальную точку, которая послужит точкой отсчета, т. е. вершиной, мы рассматриваем все траектории, которыми можно пройти вдоль всех ребер «сети», возвратившись в результате в точку отсчета. Траектории мы составляем, соединяя концы соответствующих ре-бер. Единственная тонкость: необходимо понять, что две траекто-рии могут определять один и тот же элемент фундаментальной

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ 143

группы. Для объяснения я мог бы перейти на уровень комбинаторики, но этот путь слишком труден. С тем же успехом я могу привести геометрическую картинку. Несмотря на то, что симпли-циальный комплекс представляет собой комбинаторный объект, он имеет и так называемую «геометрическую реализацию». Вершина симплициального комплекса помещается в пространство достаточно большой размерности, вершины, являющиеся крайними точками одного ребра, соединяются настоящим отрезком, три точки в вершинах треугольника образуют вместе с соединяющими их отрезками настоящий треугольник и т.д. Описанная фигура представляет собой пример геометрической реализации симплициального комплекса размерности 2 (см. рис. 29). В общем случае изобразить его достаточно сложно, так как симплициальный комплекс неизбежно попадает в пространство большей размерности. Вот почему невозможно непосредственно визуализировать его геометрически. Следовательно, мы вынуждены заменить здесь геометрию комбинаторикой. Однако на таком представлении — по крайней мере, в случае малых размерностей — можно легко объяснить, почему две траектории могут определять один и тот же элемент фундаментальной группы. Или, что равнозначно, каким образом траектория определяет ту или иную сущность как элемент фундаментальной группы. Это происходит, когда траекторию можно деформировать без разрыва так, что она становится тривиальной (см. рис. 30). С помощью этой конструкции можно уже получить все хоть сколько-нибудь интересные группы, начиная с симплициального комплекса размерности 2. Отсюда и происходит невероятное богатство комбинаторики, даже в случае сим-плициальных комплексов размерности 2. Удивительно то, что мозг потенциально скрывает в себе мириады возможностей для реализации этой комбинаторики и применения богатств топологии. Например, сосчитать количество отверстий в поверхности есть не что иное, как вычислить для этой поверхности характеристику Эйлера - Пуанкаре.

Ж.-H.LLL: Можно ли, исходя из этого, сконструировать машину? Это и в самом деле стало бы лучшим доказательством...

А. К.: Сосчитать количество отверстий в поверхности, т.е. характеристику Эйлера-Пуанкаре, очень просто. Чтобы извлечь инвариант, машина должна будет сосчитать количество вершин. Ей нужно будет вычесть число ребер и прибавить число треугольников. Все это не представляет абсолютно никакой слож-

144

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

я

D ^1 - (А, В, С, D, E, F, (7, Я, /)

ЛЯ, ЯС, CD, /Ж EF, FG, AC, BE, CF, DF, EH, FI, D ^2 = (AD, BF, CH, DG. EI, GH, AE, BG, CI, DH, HI, GI, AG, BH, AI)

D ^3 - (AEB, AED, DEH, DGH, BGH, AB G, ACD, CDF, DFG, FIG, AIC, AIG, BCF, BEF, BGH, CHI, EIF, EIH)

Симплициальный комплекс

Геометрическая реализация

Рис. 29

ности. Вполне хватило бы самой обыкновенной электрической системы.

Ж.-П. Ш.: Мозг не функционирует таким образом. Не считает.

А. К.: А электрическая система считает. Представь систему, в которой вершины обладают равными и положительными электрическими зарядами. Каждое ребро заряжено отрицательно. Каждый треугольник добавляет к общей сумме один положительный заряд. Если в момент включения системы определить ее общий заряд, то мы получим топологический инвариант.

2. КОДИРОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ФОРМ

145

Рис. 30. Петля АС В представляет собой нетривиальный элемент фундаментальной группы симплициального комплекса, изображенного на рис. 29. Петля AED есть тривиальный элемент, поскольку она, как показано на рисунке (шаги 1, 2 и 3), поддается деформации.

Ж.-П.Ш.: Думаю, нужно все это реализовать.

А. К.: Естественно. И это вполне возможно. К тому же, ничто не мешает этому явлению оказаться не только электрическим, но и химическим.

Ж.-П.Ш.: Разумеется. Электрическое явление показалось мне привлекательнее, поскольку его легче измерить. Измерять выделение химических медиаторов гораздо сложнее, но это также можно реализовать — по крайней мере, опосредованно. Однако нам еще не скоро удастся сделать это. В случае центральной нервной системы сложность состоит еще и в установлении соответствия между малыми совокупностями нейронов и более глобальной, равно как и более неуловимой, размерностью. Впрочем, это возможно — например, в случае с распознаванием лица на уровне височной коры.

А. К.: Можно было бы предположить, например, что распознавание форм, не превышающих топологию размерности 2, производится системой, состоящей лишь из точек (нейронов), ребер и треугольников. Иначе говоря, системой, в которой нет необходимости возбуждать коррелированно совокупности, состоящие более чем из трех нейронов. Впрочем, все это, очевидно, является чистой спекуляцией.

Ж.-П.Ш.: Вовсе нет. Это простое предсказание, которое можно представить на рассмотрение физиологам! Измерение корреляции активности среди нейронов выполняется уже во многих лабораториях [44]. Мы обсудили вопрос об инвариантах и репрезентациях. Перейдем теперь ко второму вопросу: организации долго-

146 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

временной памяти, часто представляемой в виде деревьев... Если учесть твое, основанное на этой новой топологии, понимание феномена репрезентации, то что ты можешь сказать о доступе к долговременной памяти и об ее организации? И каким образом человек оказывается способен рассуждать по аналогии? Учитывая опять же, что рассуждение по аналогии можно очень просто свести к установлению соответствий между двумя разными деревьями.

3. Организация долговременной памяти

А. К.: Я знаю, что в рамках того, что касается проблем запоминания, распространена модель деревьев, о которой я только что говорил. Здесь не избежать объяснения одного понятия более общего порядка, более тонкого, нежели понятие дерева: я говорю о гиперболическом симплициальном комплексе, или о комплексе с отрицательной кривизной. У меня нет четкой идеи, как именно можно применить это понятие к процессам запоминания. Ясно одно: понятие дерева слишком ограниченно, слишком жестко, а в случае необходимости исправить ошибку оно предписывает двигаться задним ходом, в точности следуя проделанному пути. Понятие гиперболического симплициального комплекса является гораздо более гибким и не теряет при этом свойств деревьев, каковые свойства используются при моделировании запоминания. Понятие дерева одномерно и организует информацию в памяти линейно, тогда как гиперболические симплициальные комплексы делают это более тонким образом.

Что такое гиперболический симплициальный комплекс? Это свойство можно определить чисто комбинаторным путем — сказать, например, что для того, чтобы симплициальный комплекс с размерностью 2 был гиперболическим, достаточно, чтобы каждая вершина треугольника была общей, по меньшей мере, для семи различных треугольников. Но мы гораздо лучше поймем значение этого понятия, если обратимся к геометрии и геодезии. Для этого нам следует, прежде всего, вернуться к неевклидовым геометриям. В модели Пуанкаре — отображении внутренней части круга на плоскость — геодезические линии представляют собой перпендикулярные к краю круга дуги окружности. Возьмем такую геодезическую линию (см. рис. 31) и точку Р, не лежащую на этой линии.

3. ОРГАНИЗАЦИЯ ДОЛГОВРЕМЕННОЙ ПАМЯТИ 147

Можно легко построить бесконечное множество других геодезических линий, которые проходят через P и не пересекают первую линию. В такой геометрии прямые представляют собой геодезические линии, не подчиняющиеся аксиоме Евклида. Угол между двумя геодезическими линиями в описанной модели — это угол между соответствующими окружностями. Можно легко убедиться, что сумма углов треугольника здесь всегда меньше 180° — это свойство характерно для пространств отрицательной кривизны. Можно так же уточнить, как в этой геометрии Пуанкаре измеряется расстояние между двумя точками. Самый короткий путь между двумя точками А и В — это геодезическая линия (т.е. дуга окружности), пересекающая обод круга в двух точках и перпендикулярная ему в этих точках. У этой геометрии есть свойство, сближающее ее с деревом и совершенно не характерное для евклидовой геометрии. Этим свойством как раз и является гиперболичность. Есть простой способ его сформулировать. Пусть ВС — отрезок, а. А — точка вне этого отрезка; при перемещении от А к В потери окажутся невелики (во всяком случае, не более раз и навсегда заданной величины) по сравнению с оптимальным перемещением, обеспечиваемым геодезической линией, только в том случае, если сначала двинуться кратчайшим путем (по геодезической) от точки А до отрезка ВС, а затем переместиться вдоль отрезка ВС (см. рис. 32). Это свойство, по-видимому, истинно для деревьев, ложно для евклидова пространства, и опять истинно для гиперболического пространства Пуанкаре. Более того, и я настаиваю на этом, оно будет истинным и для универсального покрытия очень многих симплициальных комплексов — как раз тех, что являются гиперболическими симплициальными комплексами. Вернемся к организации памяти. Если мы строим модель, в которой объекты памяти локализуются в гиперболическом пространстве, то, согласно описанному свойству, для перемещения сознательного внимания А к объекту памяти X, расположенному внутри конечной выпуклой области P данного гиперболического пространства нет необходимости знать заранее точное расположение объекта X в P — даже если область P относительно велика. Достаточно сначала добраться по кратчайшей к границе области Р, а затем, достигнув ее, направиться к объекту X. Гиперболическое пространство в полной мере обладает свойством необходимой взаимосвязанности — так же, как и деревья, — не являясь при этом одномерной структурой со всеми вытекающими отсюда неудобствами.

148

ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

Гиперболический треугольник

Геодезическая линия

Рис. 31. Гиперболическая геометрия. В рамках этой геометрии точками являются точки круга, а прямыми — дуги окружности, перпендикулярные ободу круга. Через точку Р, не принадлежащую прямой AB, проходит несколько прямых, «параллельных» прямой AB (т.е. не пересекающих ее).

Ж.-П, Ш.: Да, но между пониманием и применением... Недостаточно располагать общей формальной теоретической моделью. Необходимо каким-то образом добиться того, чтобы эти предположения можно было реализовать в лабораторных экспериментах.

А. К.: Вообще-то американский математик У. Терстон уже несколько лет исследует возможности гиперболической геометрии в области разработки более совершенных компьютеров.

4. РАССУЖДЕНИЕ по АНАЛОГИИ 4. Рассуждение по аналогии

149

А. К.: Впрочем, дело не в этом. Я еще не закончил отвечать на твой вопрос. Ты хотел знать мое мнение о рассуждении по аналогии.

Ж.-П. Ш.: Да. Рассуждение по аналогии будет здесь очень кстати.

А. К.: У меня сложилось впечатление, что рассуждение по аналогии включает в себя два этапа. Первый, опознание аналогии — по всей видимости, наиболее сложный для понимания этап, приближающийся, пожалуй, к распознаванию образов. Второй этап

\l/f ^9

Рис. 32. Дерево и геодезическая линия. Сплошная линия — геодезическая от точки С к точке В', пунктирная линия — геодезическая от А к В.

150 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

составной — репликация-перевод-доработка. Первый его шаг заключается в том, чтобы ухитриться выполнить репликацию конфигурации нейронов, или, говоря на языке математики, симпли-циального комплекса, подчиняющегося некоторой функции. Предположим, что мы разработали для этой цели некую аналоговую систему нейронов, тогда вторым шагом («перевод» в моей терминологии) будет «подключение» реплицированной системы посредством замены ассоциированных слов из первой системы их переводом, опираясь на ее аналогичность второй системе нейронов. Третья фаза (вступающая после завершения перевода) состоит в проверке функционирования новой системы нейронов с целью улучшения ее структуры. Способен ли мозг осуществить такую репликацию?

Ж.-П.Ш.: Не забывай, что наши два полушария связаны между собой. Возможно, что некоторые репрезентации присутствуют одновременно в обоих полушариях, а перенос происходит от одного полушария к другому...

А. К.: А значит, можно с той или иной целью создать репрезентацию и передать ее в другое полушарие.

Ж.-П. Ш.: От полушария к полушарию передаются весьма значительные объемы информации, однако трудно сказать, связана ли эта передача с рассуждением по аналогии. Оба полушария, как ты знаешь, не являются абсолютно симметричными. Можно представить, что производимая одним полушарием репрезентация как-то изменяется (усиливается или смягчается) в другом. Понимание отношений между правым и левым полушариями представляет собой очень важную задачу. У низших млекопитающих, не владеющих речью, эти отношения выражены очень слабо — у них отсутствует даже латерализация функций мозга. Она, очевидно, появляется с развитием речи, и позволяет, помимо прочего, использовать оба полушария независимо друг от друга. И обеспечивать таким образом «взрывное» увеличение полезной площади поверхности коры, причем без избыточности. Незначительные генетические изменения, создающие лишь легкую асимметрию, привели в итоге, в результате процесса эпигенеза, к очень быстрому устранению избыточности и к взаимному использованию способностей обоих полушарий. Возможно, именно такова природа «человеческого феномена», суть которого заключается в том, что из модификации малого количества генов и увеличения объема мозга (не такого уж и значительного) развивается эффективность нового порядка.

r

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕПРЕЗЕНТАЦИЙ и РАМКИ МЫШЛЕНИЯ 151

5. Последовательность репрезентаций и рамки мышления

Ж.-П.Ш.: Не вернуться ли нам к исходной идее: дарвинизм в математике, построение последовательности рассуждений и «вызревание» математических объектов в противопоставлении их друг другу вплоть до наступления озарения в рамках определенной задачи. Для простоты будем различать два вопроса. Первый: построение временной последовательности ментальных репрезентаций дает «высказывание» в опровержимой форме, возможно, «истинное». Второй: определение так называемых «рамок мышления» или «интенции», на которых основывается математическое размышление и даже творчество. Как определить интенцию в математике ?

А. К.: В теории вероятности имеется одно очень важное и вполне применимое к данному случаю понятие — я говорю об «обусловленности». .Для того, чтобы определить интенцию — например, намерение выиграть партию в шахматы, — мне представляется необходимым отождествить эту интенцию с функцией оценки, с помощью которой можно оценить, насколько далеки мы в данный момент от поставленной цели. Сначала, впрочем, следует понять, как именно мозг строит эту самую функцию оценки. К этому мы еще вернемся. А пока допустим, что такая функция оценки у нас уже есть, и будем использовать ее для задания условий для систем, как это делается в теории вероятности. Я предложил бы такой образ, вполне согласующийся с дарвинизмом, о котором ты говоришь: взяв в качестве аналогии механизмы внутренней эволюции, предположим, что мозг уже выработал тысячи этих совокупностей нейронов или нейронных симплициальных комплексов и теперь задействует их, обусловливая функцией оценки. Каждая система дает какой-то результат, и нужно, чтобы мозг мог отобрать из этих результатов тот, который оптимизирует функцию оценки. Я думаю, что физики с их принципом стационарной фазы наткнулись на очень хорошую идею, позволяющую если и не решить эту задачу, то хотя бы подсказать интересный возможный механизм для интересующего нас процесса. Предположим, что каждая из нейронных систем производит электрический ток, фаза которого пропорциональна значению функции оценки в этой системе. В тех системах, где эта функция не достигает максимума, существование сосед-

152 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

них (больших или меньших) значений функции в других системах приводит к тому, что сумма произведенных токов обращается в нуль. В тех же системах, где функция оценки максимальна, обращения суммы токов в нуль не происходит. Именно эти системы и вносят существенный вклад в результирующий ток. Такой тип систем не является экономичным; можно представить себе значительно более простые системы, в которых функция оценки определена раз и навсегда — как, например, в шахматных компьютерах. Впрочем, этот недостаток ничуть не мешает таким системам демонстрировать весьма значительную гибкость, которой регулярно пользуются физики с тех пор, как у них появился интеграл Фейнмана.

Ж.-П.Ш.: То есть у нас практически есть механизм отбора.

А. К.: Да, но, к сожалению, воспользоваться им мы сможем только после того, как построим функцию оценки. Как это сделать? Признаться, не имею ни малейшего понятия, даже самого смутного.

Ж.-П.Ш.: Тем не менее, необходимо что-то делать.

А. К.: Мне думается лишь, что эта функция должна быть связана с лимбической системой или с другими структурами в мозге, она не может быть исключительно внутренней.

Ж.-П.Ш.: А говорил, что понятия не имеешь. Вот и предположение: возможно, существует некий цикл...

А. К.: Думаю, должна существовать какая-то корреляция между собственно оценкой и ощущением фрустрации или удовлетворения, испытываемыми в тот момент, когда математик близок к решению задачи. Но я не знаю точно, как эту корреляцию определить. Каким образом в механизм деструктивных или конструктивных взаимовлияний можно встроить ту или иную конкретную цель — цель активной, существующей в данный момент мысли?

Ж.-П. Ш.: Можно предположить, что в момент достижения цели. ..

А. К.: Можно, но это не совсем удовлетворительно, поскольку, согласно теории, вероятность все-таки изначально обусловлена поставленной целью, еще* до проявления феномена деструктивных или конструктивных взаимовлияний.

Ж.-П.Ш.: Наконец-то. Вычисления таки осуществляются в каких-то рамках! Это очень важно. Ты, как и я, не способен отличить логическое рассуждение от...

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕПРЕЗЕНТАЦИЙ и РАМКИ МЫШЛЕНИЯ 153

А. К.: Я говорю не о творчестве, я пока остаюсь на втором уровне.

Ж.-П. III.: Даже на втором уровне цель играет свою роль — цель фиксирована, ее даже можно рассматривать как некую внутреннюю «одержимость». Это означает, что длительное состояние активности нейронов...

А. К.: ... должно вызвать фрустрацию или чувство стеснения.

Ж.-П. Ш.: Постой. Можно также предположить, что сеть, замкнутая сама на себя, вводит в действие лимбическую систему, поскольку имеется желание. Мозг производит гипотезу удовольствия, выступающую в роли проводника. И открывает доступ к решению, являющемуся или не являющемуся источником удовольствия.

А. К.: Или наоборот, так как случаются и разочарования. У математиков это весьма частое явление. Когда что-то не ладится, на первое место выходит уже не желание, а чувство неудовлетворенности.

Ж.-П.Ш.: Из-за опасения не достичь цели. Лимбическая система поддерживает «активной» некую репрезентацию, которая создает контекст, куда, в свою очередь, включаются другие ментальные репрезентации, входящие в конечном счете в резонанс с поставленной целью. При этом мы испытываем удовлетворение, ощущение завершения исходной репрезентации. Это всего лишь метафора, однако опираясь на похожее предположение, мы со Станисласом Деэном [19] построили недавно модель обучения «правилам», которая вроде бы функционирует.

А. К.: Согласен, но твой образ не предусматривает явно возможности измерять близость цели. Пока цель не достигнута, необходимо, чтобы образ оставался активен и чтобы можно было определить близость цели. Еще до того, как мы ее достигнем. Это главное условие возникновения обусловленности. Я вполне допускаю возможность узнавания момента достижения цели. Гораздо сложнее, как мне кажется, ввести «расстояние до цели», т.е. возможность обусловить весь процесс...

Ж.-П.Ш.: Может быть, прогресс в реализации интенции постепенно, с накоплением опыта, модифицирует эту самую интенцию.

А. К.: Мы затрагиваем здесь очень важный в математической практике момент. Часто в процессе решения задачи возникают ситуации, когда оценка расстояния до цели облегчает собственно

154 ДАРВИН и МАТЕМАТИКИ

решение. Такая вот грубая интуитивная оценка расстояния, которое еще предстоит пройти, помогает решить задачу, даже если рассматриваемые при этом вопросы могут показаться весьма странными.

6. Естественный отбор среди математических объектов

Ж.-П. Ш.: Хочешь ли ты сказать что-нибудь еще о дарвинизме в математике?

А. К.: Я считаю, что дарвинизм функционирования мозга опирается на механизмы конструктивных резонансных взаимовлияний групп, а не на феномен естественного отбора или вытеснения.

Ж.-П.Ш.: Я думаю, что это тоже форма естественного отбора. Только «естественный отбор» понимается здесь в точном смысле, в соответствии с тем, что нам известно о структуре и развитии мозга. Это понятие, даже в динамике популяций, уточнить непросто. Оно определяется в терминах популяций, воспроизводящихся в соответствии с определенным географическим распределением. Традиционный дарвинизм в применении к эволюции видов использует понятия временной динамики, популяции и географического распределения. К нервной системе компонент размножения не применим. Нейроны не размножаются. Имеет смысл лишь дифференциальная и «состязательная» оккупация территорий. Твоя формулировка в точности согласуется с этим смыслом. Механизмы конструктивных и резонансных взаимовлияний групп могут рассматриваться как присущие мозгу механизмы отбора.

Перейдем к третьему уровню. Что есть интенция, с твоей точки зрения?

А. К.: Фундаментальным характерным признаком этого уровня является то, что в момент озарения, помимо ощущаемого удовольствия, возникает неожиданное впечатление мгновенного всеобщего прояснения. Сознательная часть мышления получает прямой доступ к миру, потерявшему для нее всякую странность. Больше нет необходимости тщательно все проверять. И несомненно, что это ощущение характерно именно для третьего уровня, который возбуждает лимбическую систему.

Ж.-П.Ш.: Твои слова напомнили мне о мистическом экстазе святой Терезы Авильской.

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 155

А. К.: Мистический экстаз, естественно, должен возбуждать те же области мозга. Но по другим причинам. Равно как и эстетическая гармония.

Ж.-П. III.: Здесь мы затрагиваем вопрос, который меня очень волнует — вопрос отношений между наукой и искусством. Какова разница между математическим объектом и произведением искусства?

А. К.: Вполне возможно, что художники, поэты или музыканты могут, используя собственные ресурсы, выражать какие-то экспериментально полученные данные, свидетельствующие о гармонии, которую эти люди испытали, возможно, один-единственный раз в жизни в момент озарения. Более того, произведение искусства (например, музыкальная пьеса) и математический объект возбуждают лимбическую систему практически одинаково. Однако вернемся к озарению и математике — так как единственным в нашем распоряжении способом передачи результата является логическая цепочка рассуждений, нам необходимо быстро вернуться с третьего уровня на первый. Необходимо приступать к пошаговой проверке доказательства, полученного благодаря озарению. Иначе говоря, состояние возбуждения крайне кратковременно. Разложив доказательство на последовательность действий, мы можем в дальнейшем проверить их все, одно за другим. Но та чисто «мистическая», в каком-то смысле, фаза исчезла. Ее больше нет.

Ж.-П.Ш.: И где здесь дарвинизм?

А. К.: Думаю, на первом из трех этапов, о которых говорит Адамар, т. е. на этапе подготовки, когда определяется функция оценки, которая и должна, в принципе, обусловить дарвинизм.

Ж.-П. Ш.: Дарвинизм в эволюции приводит от амебы к человеку. В этом его выгода. Самое же интересное его применение к математике состоит в «сотворении» нового математического объекта посредством комбинаторики отдельных элементов, являющихся частью уже установившейся математики. Иначе говоря, порождение «монстра», «химеры». Пусть полученный объект и нов, но он отобран случайно, в силу своего резонанса с уже существующим контекстом.

А. К.: Этот объект очень просто предсказать.

Ж.-П.Ш.: В качестве подтверждения напомню еще, что, по твоим же словам, решение задачи в рамках творческого акта начинается с ее «расширения». А что значит расширять? Это значит вводить в область действия кратковременной памяти математи-

156 ДАРВИН И МАТЕМАТИКИ

ческие объекты, лишенные прямой связи с поставленной целью. Вмешательство посторонних объектов, «аутсайдеров», порождает новый математический объект. Оно позволяет сломать рамки, в которых до этого находился математик, и открывает ему доступ к новому уровню познания. Таким образом, этот новый уровень является результатом некой комбинаторной деятельности в период созревания, иногда очень длительной. Похоже, что дарвинизм в математике особенно адекватно объясняет «творчество». Теперь твой ход. Какие условия отбора дают озарение? Является ли оно интеграцией всего того, что уже существовало ранее?

А. К.: Я не знаю, можем ли мы по-прежнему полагать образ конструктивного взаимовлияния таким, каким я его принял ранее. Когда приходит озарение, оно касается не только исследуемого объекта во всей его новизне, но также и его взаимосвязанности с теми объектами, что мозг уже понял и хорошо знает.

Ж.-П. IIL: А как же различия? Мы ведь имеем дело не с неизвестной прежде структурой. Следовательно, речь идет не просто о соответствии. Объект нов, и все же он вполне вписывается во все то, что уже хорошо известно.

А. К.: Не знаю, как сказать. Нам больше не нужен механизм оценки как функция от некой определенной цели, нам нужен, скорее, способ непосредственного измерения этого соответствия, еще до того, как в игру вступает мысль. Некий сложный для понимания механизм, позволяющий без обдумывания ощутить резонанс между новым мысленным объектом и теми вещами, какими мы давно и привычно манипулируем. Повторюсь, все это очень сложно понять.

Ж.-П. Ш.: Да, но такие механизмы просто необходимы машине, обладающей творческими способностями в математике.

А. К.: Именно так. Иначе это будет самый обычный компьютер. Замечательно, что мозг может с равной легкостью воспринимать и эту взаимосвязанность между различными объектами, и гармоничность объекта, прежде неизвестного. Впрочем, полной тождественности здесь нет. В этом, по-моему, и заключается исток логичности и непротиворечивости мира математики.

Ж.-П. Ш.: В соответствии новых математических объектов другим математическим объектам, хранящимся в долговременной памяти.

А. К.: Мне кажется, что это лишь доказывает логичность мира математики, не зависящую ни от какого отдельного человека.

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 157

Ж.-П. Ш.: К этому я и хотел тебя подвести. Эта логичность влияет на процесс отбора, в первую очередь, требованием непротиворечивости, в результате чего возникает новая логичность.

А. К.: Я не совсем уверен в этом. Мне кажется, что она лишь проявляется посредством этого процесса отбора...

Ж.-П. Ш.: Не будем возвращаться к этому спору! Мне кажется, что добавление к существующему ансамблю нового объекта открывает новое пространство для познания... Озарение, в каком-то смысле, приводит в гармоничное состояние несколько уровней организации мозга, как при созерцании произведения искусства. Но как определить ту форму эстетического наслаждения, которое нам доставляют те или иные картины [11, с. 158]? Вероятно, объяснить ее можно многочисленными резонансами между различными уровнями, связанными одновременно с рациональностью, пониманием и лимбической системой. Вхождение в резонанс происходит, когда зритель оказывается перед какой-либо «сингулярной» структурой. Иначе говоря, такое озарение можно рассматривать, как род межуровневого мысленного объекта, нового по отношению ко всему, что могло существовать ранее, объекта, устанавливающего связи между мысленными объектами, прежде не пересекавшимися.

А. К.: Полностью согласен с твоей интерпретацией. И все же мне хотелось бы, чтобы ты ее уточнил.

Ж.-П.Ш.: Эту метафору можно применить как к произведению искусства, так и, в какой-то мере, к математическому озарению. Озарение оказывается тем более сильным, поскольку возникающий объект — это новый объект, и он захватывает область, уже занятую какими-то скрытыми структурами. А ты думаешь, что эти структуры находятся там для того, чтобы возник новый объект...

А. К.: Да, но они же не являются частью мозга. Они принадлежат миру математики.

Ж.-П. Ш.: Вне зависимости от того, существует математика во внешнем мире или нет, в момент озарения она все равно находится в мозге.

А. К.: Совершенно верно. Я лишь хотел сказать, возвращаясь к самому первому нашему спору, что однажды испытав озарение, сложно не верить в существование гармонии, независимой от мозга и никак не связанной с индивидуальным творчеством.

158 ДАРВИН и МАТЕМАТИКИ

Ж.-П. ILL: Это субъективно. Думаю, нельзя сказать, что «Пье-та» Микеланджело существовала где-то до того, как он ее создал. Воспользуемся еще раз художественной метафорой. Увидев впервые «Страшный суд», мы испытываем «озарение». Однако абсурдно полагать, что эта картина существовала прежде того, как Микеланджело ее написал. Так же и в математике...

А. К.: В твоих словах есть доля истины. И все же я думаю, что существует фундаментальное различие между гармонией, испытываемой нами перед «Пьетой» Микеланджело, и той, что снисходит на нас безоблачной летней ночью, когда с помощью телескопа и калькулятора мы убеждаемся в том, что четыре спутника Юпитера неизменно подчиняются законам Кеплера. Мне очень сложно принять, что такого рода космическая гармония есть всего лишь произведение человеческого мозга. Напротив, я бы даже сказал, что эта предустановленная задолго до появления человека гармония в «таинственных глубинах звездных ночей», по всей вероятности, и способствовала зарождению в этом самом человеке метафизического любопытства. Однако вернемся к озарению.

Ж.-П. Ш.: Еще раз напомню, не следует смешивать существование закономерностей в материальном мире с существованием их выражения в приблизительных терминах или в виде математических уравнений, произведенных мозгом человека. Для того, чтобы продвинуться дальше в теоретическом плане, было бы интересно определить (возможно, это одно из самых больших преимуществ дарвиновской схемы) свойства генератора разнообразия и способ его функционирования в процессе фиксации интенций, а также выяснить, как происходит отбор объектов памяти для сохранения в области долговременной памяти и, в особенности, каковы критерии этого отбора. Что такое, по-твоему, функция отбора? Не совпадает ли она с функцией оценки, о которой мы говорили раньше? Происходит же оценка взаимосвязанности, которую нужно затем проверять, признавать действительной... Разве не так же оценивается правдоподобность той или иной гипотезы?

А. К.: Удивительно, что это оценка математической взаимосвязанности производится практически мгновенно. За долю секунды проявляется не только правдоподобность, но также и уверенность в том, что найденное адекватно тому, что искали. Это не рефлекс, но происходит все с той же скоростью.

Ж.-П.Ш.: Так происходит, например, распознавание лиц. Не знакомых лиц. Просто лиц прохожих.

г

6. ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР СРЕДИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ 159

А. К.: Именно это, на мой взгляд, и отличает второй уровень от третьего. На втором уровне можно распознать, как решать поставленную ранее задачу с помощью стратегически выработанных средств. На третьем уровне уже возможно понимание гармонии и мощи нового объекта, который вовсе не обязательно отвечает той или иной конкретной задаче.

Мыслящие машины

1. Разумные машины?

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Само название этой беседы задает основную проблему отношений, существующих между мозгом и машиной, и, в более общем виде, отношений между точными науками и функционированием мозга. В области создания мыслящих машин различается, по крайней мере, три подхода.

Первый подход — это искусственный интеллект. Своей целью он ставит имитацию высших функций мозга, человеческого интеллекта, с помощью компьютера. В какой-то мере, речь идет о замене человеческого мозга машиной. Можно отметить значительные успехи работ по искусственному интеллекту: роботы для окраски машин, компьютеры, управляющие космическими кораблями до Марса и дальше, экспертные системы, которые объединяют в себе последние достижения медицины и т.д. Однако исследования в области искусственного интеллекта не ставят целью понять, как функционирует человеческий мозг, они лишь пытаются «имитировать» некоторые из его функций. Таким образом, этот подход изначально очень ограничен.

Целью второго подхода является моделирование человеческого мозга и его функций. Речь идет о более глубокой исследовательской работе, предполагающей вклад различных дисциплин: математики, физики, нейробиологии и психологии. Моделирование осуществляется с опорой на данные анатомии и физиологии, на результаты молекулярной биологии и, конечно, на наблюдение за поведением, а это уже психология и этология. Эти исследования еще не достигли больших успехов. Однако мы располагаем достаточно хорошими моделями некоторых элементарных механизмов (таких, например, как распространение нервного импульса (модель Ходжкина-Хаксли) или аллостерические переходы пост-синаптических рецепторов), а также сложных систем из небольшого количества нервных клеток (например, систем, отвечающих

J

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 161

за плавание миноги, за получение визуальной информации искусственной сетчаткой или, наконец, за обучение птиц пению [20, 46]. Думаю, этот подход значительно перспективнее всех остальных, а мы с тобой обсуждаем эту тему только потому, что можем внести в эту область свой вклад.

Теперь о третьем подходе. Основой его являются так называемые нейромиметические машины. Суть проекта в следующем: как только будут разработаны теоретические модели церебральных функций на примере такого естественного объекта, как мозг со всеми его нейронами, можно будет сконструировать машины, способные на базе реальных нейронных структур продемонстрировать подлинно разумное поведение.

Три подхода, но очень мало результатов. Используемые структуры все еще очень упрощены: несколько слоев нервных клеток, рудиментарные элементарные механизмы и тому подобное.

А. К.: Возможен ли второй подход без третьего?

Ж.-П. Ш.: Ты прав. Третий подход представляет собой в какой-то степени верификацию второго. Для того, чтобы показать, что теоретическая модель адекватна, необходимо провести эксперимент, построив машину, характеристики которой будут подобны характеристикам человеческого мозга. Можно считать, что третий подход дополняет второй.

Однако я хотел бы, чтобы мы с тобой обсудили три вопроса. Первый касается теоремы Гёделя, второй — машины Тьюринга, а последний обусловлен различиями и сходством между человеческим мозгом и машинами, которые этот мозг способен создать.

2. Теорема Гёделя

Ж.-П. Ш.: В биологических исследованиях теорема Гёделя часто используется для того, чтобы сдержать амбиции нейробиоло-гов или даже усомниться в здравости их подхода. Она служит также для оправдания идеи, согласно которой «человеческий разум» всегда будет сопротивляться научному анализу. Франсуа Жа-коб, например, пишет: «Можно быть уверенным, что характерные для деятельности мозга реакции биохимики будут полагать столь же банальными, как и реакции пищеварения, однако описывать в терминах физики и химии движения сознания, чувства, устремления, воспоминания — это совсем другое дело. Ничто не говорит за

162 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

то, что мы когда-либо достигнем этого уровня, не только по причине сложности мозга, но еще и потому, что логическая система, согласно Гёделю, не является достаточной для своего собственного обоснования» [61]. С другой стороны, известен знаменитый афоризм Кабаниса: «Мозг выделяет мысль, как печень — желчь». Что до меня, я разделяю точку зрения Франсуа Жакоба о биохимии мозга и об относительно банальном характере молекул, составляющих структуру и участвующих в элементарных функциях нашего мозга. Это подтверждается и данными, получаемыми с 1970 года. Но я не являюсь его сторонником в том, что касается применимости теоремы Гёделя к нейронаукам. Разумеется, здесь возникает интересная методологическая проблема: нейробиолог, изучающий собственный мозг в состоянии самоисследования. Тем не менее, при современном состоянии науки я не вижу фундаментальных препятствий для изучения функционирования высшей нервной системы кого-либо из коллег, например тебя, с помощью методов визуализации, без прямого вторжения. А еще лучше исследовать функционирование нервной системы какого-либо вида животных, близкого к человеку (обезьян, например) методами экспериментальной нейрофизиологии. По той простой причине, что суть так называемого метода редукции или реконструкции, которые все мы используем в экспериментальных науках, как раз и заключается в поиске на нижележащем уровне объяснения феноменам, происходящим на вышележащем уровне. Иначе говоря, опираясь на организацию, правила взаимодействия и свойства элементов, составляющих нижний уровень, можно объяснить соответствующие свойства уровня верхнего. Так нейробиологи и исследуют неврологические основы высших функций человеческого мозга. И на этой стадии, насколько мне известно, не существует никаких теоретических препятствий. Главными препятствиями, как мне кажется, оказываются сложность организации мозга, его изменчивость от индивида к индивиду и возможное взаимовлияние методов наблюдения и собственно функционирования высшей нервной системы. Впрочем, подобная проблема существует и в физике, где методы наблюдения также могут взаимодействовать с наблюдаемыми объектами.

Вернемся к теореме Гёделя. Можно считать, что перевод ее с языка математики сводится к знаменитому философскому парадоксу: «Все жители Крита лгуны, как сказал Эпименид, критский мыслитель». Невозможно решить, является это утверждение ис-

г

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 163

тинным или ложным. Мы оказываемся, таким образом, в ситуации неразрешимой задачи. Какое бы ты дал определение теореме Гёделя? Как бы ты применил ее к нейронаукам и, в частности, к моделированию функционирования высшей нервной системы, мозга, решающего математическую задачу?

А, К.: Насколько мне известно, существуют два фундаментальных результата Гёделя относительно недостаточности, по выражению Ф.Жакоба, логической системы для своего собственного обоснования. Первый указывает на то, что невозможно, вследствие самоотносимости, доказать, что теория множеств является непротиворечивой. Это, впрочем, верно для любой теории, даже более рудиментарной, при условии, что она содержит очень простые, вполне определенные аксиомы. Затем теорема о неполноте. Для того, чтобы объяснить этот второй результат, мне нужно сначала уточнить, что такое неразрешимое высказывание в системе аксиом (например, в теории множеств). В качестве объяснения я хотел бы рассказать небольшую историю. В течение нескольких лет я каждый четверг навещал своего друга — математика, который был убежден в том, что доказал одну теорему. Он работал тогда над задачей, носящей имя одного довоенного польского математика. Задача формулировалась так: можно ли упорядоченное множество вещественных чисел охарактеризовать неким свойством. Задача эта занимала мысли моего друга на протяжении почти тридцати лет. И всякий раз, как я приходил к нему в четверг, он предлагал мне новое решение этой задачи. Он полагал, что отыскал доказательство, и при каждом моем посещении происходила примерно одинаковая последовательность действий. Он давал мне свое решение, чаще всего в письменном виде. Я искал ошибку. Иногда я находил ее сразу же, иногда мы возвращались к доказательству через неделю. И каждый раз он опять возвращался к задаче и что-то изменял в доказательстве, снова и снова. В действительности, я с самого начала знал, что какое бы то ни было доказательство в данном случае невозможно. Но я также знал и то, что я не могу указать ему на ошибку посредством приведения контрпримера. Почему? Потому что еще в шестидесятые годы было доказано, что эта задача неразрешима. Иногда в математике такое случается. В данном конкретном случае мы знаем, что если добавить к аксиомам теории множеств еще одну аксиому — например, аксиому континуума, — то можно доказать, что на поставленный в задаче вопрос имеется-таки ответ, причем положительный. Ее-

164 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

ли же мы добавим какую-либо другую подходящую аксиому, то можно доказать, что ответ будет, и будет отрицательным. Другими словами, ситуация такова, что без добавления к аксиомам теории множеств каких-то других аксиом математик не может доказать результат. Для меня было равно невозможно привести ему контрпример, не воспользовавшись какой-либо дополнительной аксиомой, на которую он с легкостью нашел бы множество возражений. Следует очень четко представлять себе, что такое неразрешимость. Она всегда имеет смысл...

Ж.-П. Ш.: ... в рамках данной системы аксиом.

А. К.: Вот именно. Высказывание неразрешимо, если можно доказать либо его истинность, либо его ложность, не опровергая аксиом, с которыми мы имеем дело каждый день... если, конечно, не учитывать возможной противоречивости самой теории множеств.

Ж.-П. Ш.: Значит, собственных аксиом системы для решения не достаточно.

А. К.: Совершенно верно. Теперь можно перейти к теореме Гёделя о неполноте. Согласно этой теореме, какими бы ни были аксиомы, будь их конечное количество или они заданы рекурсивно, всегда найдутся вопросы, на которые мы не сможем ответить, которые останутся неразрешимыми вследствие недостатка у нас информации. Иначе говоря, теорема Гёделя указывает, что невозможно ограничиться конечным числом аксиом таким образом, чтобы в рамках данной системы оказался разрешим любой вопрос. Это не означает, что вопрос нельзя проанализировать, исходя из того, что уже известно, это означает лишь, что число новых увлекательных вопросов, на которые необходимо отыскать ответ, бесконечно. Вот как следует понимать теорему Гёделя. На мой взгляд, было бы ошибкой делать из этого вывод, что мощь человека-машины ограничена. Эта теорема утверждает лишь то, что обладая конечным числом аксиом, на все вопросы ответить невозможно. Впрочем, если тот или иной вопрос неразрешим, и неразрешимость эта доказана, то ничто не мешает нам просто присвоить ему какой-либо ответ и продолжать рассуждение.

Это означает, что каждый новый неразрешимый вопрос порождает бифуркацию в той точке, где мы выбираем ответ, положительный или отрицательный. Мир, в котором мы живем, содержит множество всевозможных бифуркаций. И все они имеют значе-

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 165

ние. Однажды ответив на вопрос, мы можем продолжать ставить перед собой все новые и новые вопросы. Прежние вопросы становятся, таким образом, разрешимыми, каковыми они раньше не были. Каждый неразрешимый вопрос создает бифуркацию и вынуждает делать выбор. Например, бифуркацию порождает теорема Поля Коэна о континуум-гипотезе. Необходимо выбрать: либо не существует кардинальных чисел между счетным множеством рациональных чисел и континуумом, либо таких чисел существует 36. Первый ответ кажется предпочтительнее в силу своей простоты. При этом важно, чтобы выбор ответа в каждом конкретном случае основывался на прежних ответах на как можно более простые вопросы. И в самом деле, существуют вопросы более простые, чем вопросы о континууме.

Ж.-П.Ш.: Значит, фундаментального теоретического препятствия ты здесь не видишь...

А. К.: На данный момент я говорю только о проблеме неразрешимости. Если перед нами встает неразрешимый вопрос (например, вопрос о континууме) то нужно всего-навсего сформулировать гипотезу, которая сделает его разрешимым. Затем изучить следствия из этой гипотезы и ее способность прояснить другие вопросы. Например, если мы принимаем гипотезу континуума, то можно доказать (результат, полученный Г. Мокободски), что любой последовательности, состоящей только из действительных чисел, можно задать предел lim^ (a[y]) таким образом, что будет выполняться неравенство нижний ПРЕДЕЛ (а[п]) < lim[w] (a[y]) < ^ ВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ (a[y]), при этом предел lim[w] измеримо зависит от (а[п]) и взаимозаменяется интегралом. Этот результат оказывается весьма полезен в той математике, о которой мы сейчас говорим. Когда к системе добавляется гипотеза — например, континуум-гипотеза, — нужно, очевидно, убедиться в ее неразрешимости, т. е. в двух вещах: во-первых, эта гипотеза не должна выводиться из прежних аксиом системы (теорема Коэна для континуум-гипотезы), а во-вторых, ее отрицание также не должно быть следствием из прежних аксиом (для континуум-гипотезы этот результат был получен Куртом Гёделем). На практике эти результаты всегда доказываются на основании предположения о том, что теория множеств непротиворечива. Однако я считаю, что использовать теорему о неполноте для доказательства ограниченности нашего механизма понимания не совсем уместно. Она лишь дает нам понять, что выбирать так или иначе придется и что рекурсив-

166 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

ных способов сделать этот выбор раз и навсегда не существует. Вот каков смысл этой теоремы.

Ж.-П. Ш.: Ответ есть альтернатива. Эта теорема описывает, скорее, процесс приобретения знаний, нежели логическую и эпистемологическую невозможность. Значит, нейробиологи могут успокоиться. Рано или поздно мы разберемся в деятельности мозга!

А. К.: Теорема Гёделя определяет своего рода горизонт понимания, определяемого конечным числом уже осуществленных выборов. Чем больше это число, тем дальше горизонт. Представление о существовании горизонта не должно быть статическим, когда конечное число аксиом дает раз и навсегда ответ на все вопросы. Напротив, наше понимание носит динамический характер. Каждый раз, когда понимание расширяется, мы становимся способны ответить на большее количество вопросов. В каждой новой бифуркации мы можем делать такой выбор, чтобы горизонт отдалялся от нас. Очевидна иллюзорность мысли, что когда-нибудь мы все поймем. Это проблема науки вообще. Однако не следует замыкать себя в границах и терять надежду только из-за того, что якобы утверждает теорема Гёделя.

На самом деле, в ее самой глубинной формулировке, теорема Гёделя о неполноте показывает лишь то, что математику можно свести к формальному языку. В начале века математики пытались точно определить, что есть математическое доказательство. Гильберт создал искусственный язык на основе конечного алфавита с конечным числом грамматическим правил, позволяющих однозначно определять связность высказываний, конечным числом правил логического вывода и конечным числом высказываний, предполагаемых истинными, или аксиом. Исходя из такой системы или формального языка, можно построить универсальный алгоритм, который позволит принимать решение об истинности любого доказательства, сформулированного на этом языке. Таким образом мы можем — по крайней мере, теоретически — составить список всех теорем, которые можно доказать с помощью этого формального языка. Гильберт полагал, что сможет привести все математические теоремы* к такому виду, что с помощью соответствующего формального языка их можно будет доказать. Теорема же Гёделя показывает, что это невозможно. Какова бы ни была сложность формальной системы, всегда будет существовать высказывание, касающееся целых положительных чисел, которое

2. ТЕОРЕМА ГЁДЕЛЯ 167

будет одновременно истинным и недоказуемым в данной формальной системе. Неоднократно подчеркивался отрицательный аспект этой теоремы, в рамках которой невозможно дать четкое определение понятию доказательства. Но нельзя ли рассмотреть ее под следующим углом: истинные высказывания о положительных целых числах не могут быть сведены посредством логического вывода к конечному числу аксиом. Количество информации, содержащееся во множестве всех этих высказываний, будет бесконечным. Не кажется ли тебе, что это характеристика реальности, не зависящей от какого бы то ни было человеческого творения?

Но обратимся к проблеме интроспекции. Со времени создания теории множеств многочисленные парадоксы (в частности, парадокс Рассела) вынуждают нас выстраивать логические высказывания в соответствии с последовательными типами. Упомянутый парадокс Рассела возникает тогда, когда мы допускаем синтаксические ошибки. Например, если множество всех множеств есть множество, то можно рассмотреть некую его часть, которая есть множество множеств, содержащихся в нем в качестве элементов, а его дополнением является множеством множеств, не содержащихся в нем в качестве элементов. Парадокс возникает тогда, когда возникает вопрос, является ли это множество элементом самого себя. Для того, чтобы на этот вопрос ответить, достаточно ввести иерархию (логическую) элементов по иному, нежели принадлежность к множеству, признаку. Начнем с элементов — тип 0. Далее, множества — тип 1. Различие между типами различного уровня позволяет не смешивать друг с другом различные по своей сути множества. Уже невозможно говорить о множестве всех множеств — синтаксическая ошибка. Когда в логике присутствует иерархия, парадокс исчезает.

Ж.-П. Ш.: Ты говоришь о своего рода создании порядка.

А. К.: Последовательность типов позволяет ввести иерархию в механизмы мышления: элементы множеств рассматриваются как сущности, более простые или менее замысловатые, нежели сами множества.

Ж.-П. Ш.: Нельзя рассуждать, вкладывая в одни и те же термины различный смысл.

А. К.: Нельзя ставить на одну полку элементы и множества. В частности, нельзя ставить вопрос о множестве множеств, содержащихся в нем в качестве элементов. Аналогичную процедуру следует применять и к проблеме интроспекции мозга в процес-

168 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

се самопознания, в результате чего этот мнимый парадокс будет устранен.

Ж.-П. Ш.: Следовательно, он не является неразрешимым.

А. К.: О неразрешимости здесь и речи не идет. Парадокс является следствием синтаксической ошибки. Очевидно, что логику теории множеств следовало бы сформулировать таким образом, чтобы этот парадокс был устранен раз и навсегда. Что и произошло, когда мы сформулированы свои вопросы с учетом вышеописанной иерархии.

Ж.-П. Ш.: Ты делаешь парадокс разрешимым, добавляя к нему гипотезы.

А. К.: Вовсе нет, просто парадокс вынуждает меня ввести более точное определение логических объектов и соответствующую иерархию.

Ж.-П. Ш.: Перейдем ко второму вопросу.

А. К.: Да. В каком смысле теорема Гёделя налагает ограничение на понимание функционирования мозга? Анализируя понятие случайной последовательности, математики пришли к выводу, что между теоремой Гёделя и теорией информации, разработанной в начале пятидесятых годов [7], существует прямая связь. Причем в такой степени, что можно рассматривать эту теорему как следствие ограничений, налагаемых теорией информации по причине конечной сложности любой формальной системы. Таким образом, второе из двух выдвинутых Ф. Жакобом ограничений (сложность и теорема Гёделя) является следствием первого. А это означает, что упомянутые ограничения можно обойти. Сначала, во избежание возникновения парадокса интроспекции, введем иерархическое различие между анализируемым мозгом (тип 0) и мозгом анализирующим (тип 1)... Далее, используя эволюционный характер развития человека как вычислительной машины, возможность объединять вместе очень большое количество мозгов, а также вероятную помощь информатики в классификации данных, можно доказать, что сложность «анализируемого мозга» вовсе не ограничена сложностью «анализирующего мозга», что устраняет первое из возражений Ф. Жакоба.

3. Мыслящая машина Тьюринга

Ж.-П.Ш.: Перейдем к машине Тьюринга. А. К.: Напомни мне, что это такое.

r

3. МЫСЛЯЩАЯ МАШИНА ТЬЮРИНГА 169

Ж.-П. III.: Тьюринг был замечательным математиком. Его работы до сих пор вдохновляют многих биологов. Он был одним из немногих творцов от математики, предложивших теории, которые уверенно применяются в биологии. Взять хотя бы теорию, объясняющую морфогенез нарушениями симметрии. Ему удалось показать, как в системе сопряженных химических реакций может спонтанно возникать форма, соответствующая той или иной изотропной системе. К тому же задачу он поставил весьма конкретным и даже забавным образом — объяснить, как может из сферического яйца образоваться гидра, рот которой окружен шестью щупальцами! Конкретно и точно поставленные биологические задачи могут, как мы видим, вдохновить математика на создание оригинальной математической теории. Кроме того, именно Тьюринг одним из первых сформулировал теорию вычислительных устройств, компьютеров — таких, какими мы с вами пользуемся сегодня. Эта теория составляет постоянный предмет бурных дебатов между психологами и нейробиологами, а главный вопрос, на который она стремится найти ответ, звучит так: сможем ли мы когда-нибудь создать машину Тьюринга, обладающую качествами, тождественными качествам человеческого мозга, и не является ли в таком случае сам мозг машиной Тьюринга. Его статья начинается с такой фразы: «Я предлагаю задуматься над вопросом: могут ли машины мыслить?» Именно этот вопрос мы и задаем сегодня друг другу.

Прежде всего, что же такое машина Тьюринга? Машина, которую он описывает в своей статье, опубликованной в 1936 году, читает и записывает на ленте дискретные символы, квадраты; лента служит для ввода данных в машину. Кроме того, символы на ней сохраняются, вследствие чего она может выступать и в роди памяти. Равно как и в роли устройства вывода. Машина выполняет три операции: считывает символы, изменяет их и добавляет новые. Теоретически эта лента бесконечна и представляет собой, в некотором роде, программу. Таким образом, Тьюринг сразу выделяет программное обеспечение, или, по-английски, «software»...

А. К.: Может ли машина считывать с ленты свои собственные операции?

Ж.-П.Ш.: Да, может.

А. К.: Лента проходит только один раз или может возвращаться назад?

170 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

Ж.-П. Ш.: Она может проходить через машину бесконечно. На ленте записана программа, или «software», тогда как остальная машина, в своем материальном воплощении, составляет «железо», или «hardware». Иначе говоря, перед нами точно такой же компьютер, какие производят сегодня.

А. К.: В описании не задан механизм, используемый машиной.

Ж.-П. Ш.: Это проблема. Машина Тьюринга представляет собой цифровой вычислитель, манипулирующий величинами в дискретной форме. В этом ее отличие от аналоговых вычислителей, измеряющих непрерывные физические величины. Цифровой вычислитель — и это очень важное положение теории Тьюринга — способен имитировать любую другую машину, работающую с дискретными величинами. Таким образом, он является универсальной машиной, и ему совершенно безразлично, какой именно процесс вы представите в форме последовательности инструкций, допускающих манипулирование дискретными элементами. Иначе говоря, машина Тьюринга способна, в принципе, воспроизвести какой угодно процесс. Она способна смоделировать даже аналоговый калькулятор.

Теперь возникает вопрос о применимости тезисов Черча и Тьюринга, согласно которым все, что может вычислить человек, может вычислить и машина, все, что может вычислить машина, может вычислить и обще- или частично рекурсивная программа, и, наконец, все, что может вычислить человек, может вычислить и эта самая программа. Это возвращает нас к предположению о возможности отождествления мозга и его деятельности с машиной Тьюринга. Доктрина функционализма, которую очень любят психологи-когнитивисты (такие, например, как Джонсон-Лэйрд), утверждает, что психология сводится к исследованию программ и, следовательно, никак не зависит от нейропсихологии, поскольку та изучает собственно машину и ее код. Все, что касается психики, входит, таким образом, в software, тогда как мозг, со своими нейронами и синапсами, составляет hardware. Следовательно, он почти не представляет интереса для функционалистов, которые даже приходят к заключению, что физическая природа мозга «не накладывает на организацию мысли никаких ограничений» [66]. В соответствии с этой модной в области наук о познании доктриной, совсем не важно, состоит мозг из протеинов или силикона, равно как не важны ни количество, ни природа этих нейронов. Имеют значение лишь алгоритмы, с которыми отождествляются функции

4, ТЕОРИЯ ^-МАТРИЦЫ в ФИЗИКЕ — АНАЛОГ ФУНКЦИОНАЛИЗМА 171

мозга. Интересоваться нейробиологическими основами — пустая трата времени!

4. Теория S-матрицы в физике — аналог функционализма в психологии?

А. К.: Можно провести параллель между противопоставленными тобой выше подходами и аналогично противоположными подходами в физической теории поля. Эта теория пытается объяснить механизм взаимодействия элементарных частиц. Там тоже противопоставляются две тенденции.

Ж.-П. LLL: Может быть, ты сначала объяснишь, что это такое — теория поля?

А. К.: В квантовой механике и теории относительности известно, что частицы рождаются и уничтожаются произвольным образом. Количество частиц непостоянно, в противоположность тому, что мы имеем в химии. Стало быть, даже при исследовании очень простых явлений необходимо рассматривать не изолированные частицы, а поля, зависящие от бесконечного числа переменных. Этой весьма сложной теории сопутствовал огромный успех. В особенности бросается в глаза аналогия между доктриной функционализма и теорией ^-матрицы Гейзенберга. Согласно этой теории, не имеет значения, что происходит в момент столкновения частиц. Значение имеет лишь матрица, переходящая от начального состояния системы (состоящей, например, из полутора десятка свободных частиц, импульсы и масса которых известны) к конечному ее состоянию, также представленному в форме свободных частиц. Эта матрица сопоставляет каждой паре, составленной из начального и конечного состояний (г, /) некоторое комплексное число. Соответствующая данной паре вероятность равна квадрату модуля комплексного числа. Теория предлагает анализировать свойства матрицы вне зависимости от конкретного механизма, управляющего взаимодействиями, возникающими в момент столкновений. Если нам известна ^-матрица, то это не означает, что мы понимаем, что происходит, — это означает лишь то, что у нас есть модель, дающая результаты, согласующиеся с экспериментальной реальностью.

Ж.-П.Ш.: Так называемая феноменология.

А. К.: Да.

172 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

Ж.-П. III.: Взаимодействия происходят в некоем «черном ящике», до которого никому нет дела. Столько же интереса проявляют функционалисты к мозгу!

А. К.: Совершенно верно. Такой подход вводит определенное число упрощений и усложнений. Так, сформулировать проблему удается более простым образом, так как детали механизма остаются в стороне. Однако количество возможных решений поставленной задачи настолько велико, что в них просто теряешься. Как показало развитие физики, сама по себе эта теория является недостаточной. Но она оказывается полезной, если в процессе исследования феноменов в рамках фундаментальной теории мы ставим перед собой целью также вычисление ^-матрицы. Таким образом, полностью исключать эту точку зрения не следует. Напротив, из истории физики мы видим, что время от времени такой подход оказывается весьма поучительным. Сегодня, например, очень популярна теория струн, в точности следующая из теории 5-матри-цы. Венециано обнаружил ^-матрицу, которая подтверждает некоторые важные их свойства и позволяет высказать предположения касательно природы механизма взаимодействия. В остальном эта теория представляется достаточно странной; возможно, она так и не найдет никакого применения, и мы вскоре забудем о ней. Тем более что никаких точек соприкосновения с экспериментально подтверждаемой реальностью в ней нет.

Ж.-П. Ш.: Для меня как для нейробиолога тезисы функционализма весьма полезны, поскольку позволяют лучше определить ту или иную функцию. В лучшем случае, они представляют ее в количественной форме. В этом есть что-то от физиологии. Мы измеряем функцию «извне», не входя «внутрь» механизма.

А. К.: Совершенно верно. Анализируется информация на выходе «черного ящика», его возможности.

Ж.-П. Ш.: Для меня это и есть функциональное определение проблемы, и его вполне достаточно. Будущая неврологическая модель должна будет учитывать эти функции, так что я совершенно с тобой согласен. Я не отрицаю важности экспериментального подхода, оценивающего функции количественно. Однако я не могу согласиться с той исключительной точкой зрения, согласно которой описание функции есть само по себе достаточное «объяснение». И здесь мы подходим к одной заслуживающей внимания проблеме.

4. ТЕОРИЯ 5-МАТРИцы в ФИЗИКЕ — АНАЛОГ ФУНКЦИОНАЛИЗМА 173

Если функционалистские тезисы верны, то любую функцию мозга можно отождествить с математическим алгоритмом и даже не с одним. Однако возможно ли отождествить внешнюю реальность с идеальными реалиями математиков? Способны ли эти реалии описать естественные феномены во всей их целостности? Сам ты этой идее сопротивляешься, поскольку полагаешь, что используемые физикой математические модели не дают цельного представления о физической реальности, не исчерпывают ее. Мне же функционализм представляется, скорее, методом, с помощью которого можно подобраться к пониманию функций мозга, нежели родом философского мировоззрения. Кроме того, поборники функционализма сталкиваются с одним существенным эпистемологическим препятствием: неясно, можно ли отождествлять с математическими алгоритмами физические свойства мозга.

А. К.: Очевидно (и физики это тоже понимают), что удовлетвориться 5-матрицей означает сделать шаг назад по отношению к теории поля. Но функционалистам, несомненно, есть что сказать, когда требуется уточнить, какие из экспериментальных результатов воспроизводимы и какие величины заслуживают дальнейшего изучения.

Ж.-П. Ш.: Именно. Однако на этом они не останавливаются. Они, например, полагают, что описания рассуждения или построения фразы по алгоритму вычисления, а также имитации этих процедур машиной Тьюринга вполне достаточно для того, чтобы понять, как функционирует мышление.

А. К.: На это у нас уже есть ответ. Нужно просто обратиться к тем трем уровням, о которых мы говорили ранее. Способность воспроизвести фразу относится к первому уровню. Механизм, позволяющий ее воспроизвести, задается заранее. Однако умение изменять стратегию в случае ошибки требует совсем другого механизма. Такой тип механизма явно относится к уровню выше первого. Полагать, что понял, как работает мозг, только потому, что разобрался с первым уровнем, значит совершать серьезную ошибку. Машина же Тьюринга ничего не решит даже на первом уровне, поскольку она не принимает в расчет проблему сложности алгоритмов [73].

Ж.-П. Ш.: Значит, функционализм мы хороним.

А. К.: Не совсем. Он может быть полезен для указания на те величины, к которым стоит присмотреться получше. Оценка теории в функциональных терминах может оказаться весьма интересной.

174 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

Однако не следует довольствоваться одним лишь функционалист-ским подходом.

Ж.-П.Ш.: Это было бы чересчур консервативно. История на деле показывает, что для систематического прогресса познания в любой области необходимо осуществлять анализ не только на том уровне, который нас в данный момент интересует, но также и на тех уровнях, что расположены ниже, необходимо проникать внутрь «черного ящика», вскрывать его, разлагать физиологический процесс на составляющие, а затем восстанавливать его в его первоначальной целостности.

А. К.: То же верно и для теории поля.

5. Мозг человека как компьютер

Ж.-П.Ш.: Можно констатировать полное совпадение наших взглядов в этом отношении. Перейдем теперь к последнему пункту: различие между человеческим мозгом и современными «мыслящими машинами». Компьютеры, которыми мы на данный момент располагаем, очень эффективны для некоторых категорий операций. Например, они очень быстро производят вычисления: перемножают десятизначные числа за секунды, или даже доли секунды. В других же сферах компьютеры оказываются весьма и весьма ограниченными. Например, компьютер испытает огромные трудности с распознаванием цветка мака среди леса или бабочки в джунглях, тогда как человек делает это мгновенно! Также часто подчеркивается, что машины лишены «тела», способности чувствовать. Машины не способны предвосхищать события, они лишены интенциональности и не могут строить собственные программы без участия стороннего «хозяина». Их способность к самоорганизации имеет очень упрощенный характер (чтобы не сказать «отсутствует вовсе»). Я очень хотел бы знать, что думаешь по этому поводу ты, поскольку ты играешь в шахматы с машиной как с противником, который умеет играть так же хорошо, как человек, а может даже и лучше.

Современным компьютерам не хватает, на мой взгляд, двух качеств, которыми обладает человеческий мозг. Прежде всего, следует отметить, что в мозге программа и машина (по терминологии Тьюринга) с самых первых стадий развития тесно переплетены с архитектурой связей. Весьма сложно — а может быть, и невоз-

5. МОЗГ ЧЕЛОВЕКА КАК КОМПЬЮТЕР 175

можно — определить программу, независимую от связности мозговой машины. Смысловые объекты постепенно, в процессе развития, размещаются в долговременной памяти. Аппаратное обеспечение (hardware) выстраивается также постепенно и определяется как генетическим строением индивида, так и постоянным взаимодействием этого индивида с внешним миром. Но что самое главное (с точки зрения наших рассуждений) — мозг ведет себя как машина развивающаяся. Он развивается, причем в соответствии с дарвиновской моделью, одновременно на нескольких уровнях и в нескольких временных масштабах. Именно это, на мой взгляд, и отличает мозг от машин, построенных на сегодняшний день. Разумеется — помимо интенциональности, свойства, которое связано с эволюцией и о котором мало что известно, так как оно относится к более высокому уровню организации. Что, на твой взгляд, отличает человеческий мозг от машин, имеющихся у нас сегодня? И как можно придумать машину, которая приблизилась бы по своей функциональности к человеческому мозгу?

А. К.: Рассмотрим сначала машины, играющие в шахматы. Ин-тенциональность в данном случае очень проста: выиграть партию. Определить функцию оценки, показывающую насколько близка та или иная позиция в ходе игры к реализации интенции также относительно легко. А значит, можно сконструировать машину, использующую функцию оценки, определяемую этой вполне конкретной интенциональностью. В случае с мозгом, напротив, ин-тенциональность изменяется в зависимости от возникающих задач. Таким образом, мозг должен сам строить функцию оценки, адекватную данной интенциональности. Точнее говоря, он должен уметь оценивать, насколько эта функция соответствует данной интенциональности. Иными словами, мозгу приходится (не спрашивай, каким образом) строить для себя функцию оценки функций оценки!

Ж.-П.Ш.: Это, очевидно, и называется стратегическим разумом по Гранже.

А. К.: Да, но мне хотелось бы установить иерархию. С одной стороны, у нас есть функция оценки. Ее можно отождествить с поставленной целью. Задание интенциональности равносильно заданию функции оценки. Конечно, не все функции оценки хороши, поскольку некоторые из них могут соответствовать противоречивым интенциональностям, тогда как другие могуть оказаться не адекватны ни одной из них. Однако можно более или

176 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

менее точно определить интенциональность как функцию, связанную с функцией оценки. В данной ситуации мозг должен сам уметь вырабатывать функции оценки такого типа. Следовательно, он должен быть способен создавать или, по меньшей мере, выбирать между теми, что уже существуют. И для того, чтобы делать это, мозг должен располагать некоей установленной раз и навсегда функцией оценки, которая позволит ему знать, соответствует ли создаваемая им функция оценки преследуемой им цели.

Ж.-П. Ш.: Этот механизм предполагает наличие памяти.

А. К.: Действительно, память или приобретенный опыт. Мозг может опираться на аналогии, сравнивая представленную ситуацию с известной ему по прошлому опыту.

Ж.-П. Ш.: С одной стороны, существует генетическая память. Человеческий организм — в его сегодняшнем состоянии — представляет собой результат развития многих поколений организмов, уже переживших ранее опыт такого рода. Значит, ответ на новую возникающую проблему может быть записан в генетической памяти. С другой стороны, мозг открыт внешней реальности и может обращаться к долговременной памяти, информация в которой накапливается с момента рождения.

А. К.: А вот на втором уровне возникает фундаментальная проблема. Каким может быть механизм, позволяющий мозгу отбирать функцию оценки, соответствующую той или иной его цели? Каковы критерии, обеспечивающие этот выбор? До тех пор, пока мы не поймем этот феномен, мы будем так же далеки от второго уровня, как далеки от него все существующие ныне машины.

Ж.-П. Ш.: Значит, они еще не достигли даже третьего уровня.

А. К.: Они пока находятся лишь на первом. Они позволяют лишь выполнять сложение или умножение, пусть и очень сложные, или же играть в шахматы. При этом функция оценки, равно как и интенциональность, всегда задается заранее. На сегодняшний день ни одна из машин не способна сама построить функцию оценки, адекватную предлагаемой интенциональности.

Ж.-П. Ш.: Современные компьютеры не способны на интенции.

А. К.: Нет, поскольку они не находятся в эволюционной связи с внешним миром. Несмотря на наличие памяти, у них нет другого прошлого, чем то, которое мы им навязали. Они не эволюционны по сути своей. Кроме того, феномен интенциональности предполагает наличие способности чувствовать. Мы стремимся достичь

6. МАШИНА — СТРАДАЮЩАЯ и СПОСОБНАЯ НА САМООЦЕНКУ 177

поставленной перед собой цели для того, чтобы доставить себе удовольствие — если, конечно, мы не мазохисты.

Ж.-П.Ш.: Сама по себе эта способность доставлять себе удовольствие обусловлена нашим эволюционным прошлым. Если бы она служила саморазрушению, то нас бы здесь уже не было!

А. К.: Несомненно. Но я думаю, что механизм, позволяющий определить, соответствует ли функция оценки поставленной цели, предполагает все же чувственный уровень. Он действительно необходим для того, чтобы мы могли оценивать то, что с нами происходит. Степень адаптированности функции оценки к поставленной цели может измеряться лишь удовольствием, которое доставляет нам достижение этой цели. Представим себе, например, шахматиста, который, вопреки своей способности выполнять вычисления не хуже компьютера, выбирает вдруг неподходящую функцию оценки. Естественно, он испытает большое разочарование, когда увидит, что проигрывает партию за партией. Выбор неподходящей функции оценки доставит ему одно лишь неудовольствие. Впрочем, оно проявится только в конце партии, не раньше. Неадекватная функция оценки помешает шахматисту понять в ходе игры, что его позиция плоха и что он вот-вот проиграет. Однако по результату игры он, безусловно, сообразит, что его функция оценки никуда не годится.

Ж.-П. LLL: Не будем забывать о том, что и сама внутренняя система оценки (удовольствие/неудовольствие) предопределена эволюционным прошлым вида (см. рис. 33). Эти ощущения уже предопределены в качестве реакций на сигналы внешнего и внутреннего мира.

А. К.: Современные компьютеры предполагают наличие одной лишь предопределенной интенциональности. Поэтому и остаются на первом уровне.

Ж.-П.Ш.: Но как же тогда построить машины, которые достигнут второго уровня?

6. Машина — страдающая и способная на самооценку

А. К.: Я могу только точно сформулировать проблему. Машина такого типа должна находиться в эволюционном взаимодействии с внешним миром. Она должна уметь самопроизвольно создавать функции оценки, соответствующие поставленным извне целям.

178

МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

^11 Cynopithecus niger", в спокойном состоянии

Он же, выражение удовольствия

Рис. 33. Выражение эмоций у обезьяны. Эмоции, ощущаемые и выражаемые человеком, имеют эволюционное прошлое. Чарльз Дарвин в своей книге «Выражение эмоций у человека и животных» подробно проанализировал внешние проявления эмоций (в частности, на лице) у человека и показал, что многие из этих эмоций можно найти и у животных — например, у обезьяны. Иллюстрация взята из французского издания этой книги (1877 год).

J

6. МАШИНА — СТРАДАЮЩАЯ и СПОСОБНАЯ НА САМООЦЕНКУ 179

Следовательно, она должна уметь самостоятельно оценивать применяемую ею стратегию и получать функцию оценки, адекватную для того, чтобы машина, располагай она достаточным объемом памяти и способностью выполнять необходимые вычисления, могла стать хорошим шахматистом.

Ж.-П.Ш.: Но реализуемо ли это? Идея сформулирована. Почему же таких машин все еще нет? Что мешает — теоретические препятствия или же практические?

А. К.: Не знаю. Думаю, что единственным механизмом, позволяющим человеку достичь второго уровня, является именно способность испытывать чувства.

Ж.-П.Ш.: Можно представить себе машину, получающую от своей работы удовольствие, причем удовольствие это измеряется некоей переменной величиной, с максимумами и прочими критическими значениями; если машина способна эту величину оптимизировать...

А. К.: Вернемся к шахматам. Предположим, что машина не располагает функцией оценки, позволяющей хорошо играть в шахматы. В ее распоряжении есть все возможные ходы, правила игры и способность к феноменально быстрому счету, а вот желания выиграть у нее нет. Как ей его внушить? На каждом ходу хороший компьютер оценивает свою позицию, отмечает ее на некоей шкале и выбирает из всех возможных ходов тот, который дает максимальное значение функции оценки. У машины, которую мы пытаемся вообразить, такой функции оценки нет. Необходимо найти систему, в рамках которой она могла бы эту функцию приобрести. Нужно устроить так, чтобы машина, оказавшись к концу игры в проигрыше или просто в плохой позиции, испытывала боль...

Ж.-П. Ш.: Если она испытывает боль, то задача, можно сказать, уже решена.

А. К.: Пока нет. Машина реагирует так лишь на конечный результат игры.

Ж.-П.Ш.: Но если ты встроишь в машину способность испытывать боль при проигрыше, то ты получишь искомый ответ.

А. К.: Нет, потому что она будет страдать лишь в конце партии.

Ж.-П.Ш.: Но, по крайней мере, элемент ответа у тебя уже есть.

А. К.: Очень маленький элемент. Поскольку оценка происходит только в конце. И все.

180 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

Ж.-П.Ш.: В таком случае достаточно, чтобы у машины было хотя бы немного памяти для того, чтобы она «помнила», что нужно делать, чтобы достичь цели, а затем она сможет развить необходимые для этого стратегии. Иначе говоря, ей нужен опыт. Если мы добьемся того, что машина в случае поражения будет испытывать страдание, то, как мне кажется, часть проблемы будет решена.

А. К.: Если бы машина страдала всякий раз, когда она плохо играет, то выигрыш был бы у нас в руках, так как в этом случае мы легко нашли бы функцию оценки.

Ж.-П.Ш.: Думаю, это возможно после некоторого количества экспериментов.

А. К.: Ты хочешь сказать, что она постепенно выстроила бы собственную функцию оценки, соотнося отдельные уже сделанные ходы с результатом каждой партии. Мне это представляется разумным.

Ж.-П.Ш.: Самое важное во всем этом: машина в случае поражения страдает.

А. К.: Это начало. Страдание, испытанное в конце партии, дает толчок процессу оценки. Создаваемая таким образом функция оценки приписывает сыгранным партиям положительное значение в случае победы и отрицательное — в случае проигрыша. К тому же машина могла бы запоминать партии, сыгранные другими игроками, партии, где для оценки использовался лишь конечный результат. Однако очень важно понимать, что партия в шахматы представляет собой единое целое. Если партия состоит из сорока ходов каждого игрока, то машина должна начинать думать не на последнем ходу. Она должна это делать в течение всей партии. Когда мы задаемся определенной целью, мы не ждем какого-то решающего момента в наших действиях для того, чтобы оценить расстояние, отделяющее нас от этой цели. Мы все время очень внимательны. По мере продвижения мы оптимизируем наше поведение в зависимости от происходящих событий. Наша машина выглядела бы весьма глупо, если бы она ограничивалась лишь констатацией факта «я проиграла, я выиграла, я проиграла, я выиграла», не предприняв никаких попыток сделать из своего общего опыта некие частные выводы. Таким образом, рассуждение, как мне кажется, есть механизм, позволяющий собрать воедино глобальные результаты запечатленных в памяти партий и создать на их основе локальную функцию оценки. По мере совершения ходов память обращается к проигранным или выигранным в про-

6. МАШИНА — СТРАДАЮЩАЯ и СПОСОБНАЯ НА САМООЦЕНКУ 181

шлом партиям, выстраивая тем самым функция оценки. Если бы нам удалось сконструировать машину, обладающую таким механизмом, то мы могли бы менять правила игры, вводить новые игры и наблюдать, таким образом, процесс ее адаптации. Это был бы хороший критерий.

Ж.-П.Ш.: Такой машине понадобился бы генератор гипотез.

А. К.: Разумеется. Но генераторы такого типа уже существуют в современных компьютерах.

Ж.-П.Ш.: Чего же этим компьютерам в таком случае не хватает?

А. К.: Функции оценки!

Ж.-П.Ш.: С реализуемостью функции оценки следует разобраться подробнее. Это очень важно.

А. К.: Я сделаю одно вполне конкретное предположение, не очень, правда, экономичное. Однако его будет достаточно для того, чтобы показать, что решение существует. Предположим, что у компьютера в памяти хранится информация о тысяче шахматных партий, причем в качестве единственного критерия оценки каждой партии предлагается ее конечный результат. Эта примитивная функция оценки выглядит так: «в конце партии X проиграл» или «X выиграл». Выглядит, заметь, донельзя глупо по той простой причине, что не учитывает частностей. Попытаемся определить глобальную функцию оценки на множестве локальных функций оценки. Такая функция должна включать в себя оценку результата партии со счетом, который дает упомянутая локальная функция оценки в ходе партии каждому игроку. Если между конечным результатом партии и результатом локальной функции оценки существует корреляция, то такая функция хороша. В противном случае от нее следует отказаться. Поскольку наш компьютер содержит в памяти большое количество партий, эта процедура теряет свой грубый характер и позволяет оценить каждую локальную функцию оценки. Таким образом, мы определили универсальную функцию оценки, позволяющую локализовать рассуждение.

Ж.-П.Ш.: Мы уже совсем рядом с сознанием.

А. К.: Нет, не с сознанием, поскольку мы все еще находимся на втором уровне. Мы приближаемся всего лишь к рассуждению.

Ж.-П.Ш.: К сознательному рассуждению.

А. К.: Мы почти добрались бы новой модели компьютеров, способных к адаптации, если бы не существовало проблемы сложно-

182 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

сти, которая мешает разработать эти машины. Сложность алгоритма стремится к увеличению по экспоненте.

Ж.-П. Ш.: А на третьем уровне?

А. К.: Ну а там...

Ж.-П. Ш.: Понятие функции оценки для функций оценки весьма интересно.

А. К.: Такая функция совершенно необходима.

Ж.-П.Ш.: Можно также считать «сознание» своего рода восприятием уже воспринятого.

А. К.: Что ты хочешь сказать? Я-то рассматривал только план рассуждения.

Ж.-П.Ш.: Да, но если взять рассуждение о рассуждении. Не является ли это уже осознанием?

А. К.: Нет. Для меня рассуждение — это всегда функция оценки локальных функций оценки.

Ж.-П.Ш.: И дополнительного уровня ты здесь не видишь?

А. К.: Нет. Перед множеством возможных целей необходимо обладать способностью строить собственную функцию оценки. Следовательно, существует потребность в функции оценки локальных функций оценки, использующей сравнение с опытом и конечным результатом. Это иллюстрирует очень важный принцип — принцип локальности...

Ж.-П.Ш.: Полностью с тобой согласен. Нейробиологов тоже интересует локальная активность нейронов.

А. К.: На втором уровне рассуждение локально. Верно то, что оно осуществляется посредством сознательной мысли. Но на третьем уровне механизм уже не тот.

Ж.-П.Ш.: Что ты хочешь сказать?

А. К.: На втором уровне можно адаптировать стратегию к поставленной цели. На третьем уровне истинного творчества сама цель неизвестна. Само по себе творчество заключается в отсутствии предварительно поставленной цели.

Ж.-П.Ш.: Я не совсем разделяю это мнение. Творец только выбирает среди разных возможных целей. Это уровень некоей высшей интенции.

А. К.: Часто в процессе достижении цели случается так, что происходит открытие чего-то другого. И тогда главное — признать новизну и гармонию того, с чем мы столкнулись. Речь идет в данном случае не о рассуждении, а, скорее, о создании новой цели.

6. МАШИНА — СТРАДАЮЩАЯ и СПОСОБНАЯ НА САМООЦЕНКУ 183

Ж.-П.Ш.: Случайное создание — или даже неумышленное!

А. К.: Несомненно. То, что я сказал раньше, не применимо к третьему уровню. Я предполагал, что конец четко определен. Машина чувствует определенное удовольствие при выигрыше или неудовольствие при проигрыше. И я показал как адаптировать функцию отбора к ясно определенной цели. Однако верно то, что хотя на третьем уровне мы и можем заранее задать случайную цель, усилия, прилагаемые к ее достижению, часто приводят к некоему гармоничному промежуточному результату, который изменяет цель.

Ж.-П.Ш.: Случайное играет гораздо более важную роль.

А. К.: Я в этом вовсе не убежден. Конечно, имеет место бифуркация, но третий уровень характеризуется, прежде всего, осознанием гармоничности...

Ж.-П. Ш.: Да, но нужно, чтобы хоть что-нибудь уже существовало. Стало быть, в процессе созревания или смещения в сторону, вызванного...

А. К.: С моей точки зрения, здесь вмешивается нечто иное — осознание гармоничности. А этот процесс не относится ко второму уровню.

Ж.-П.Ш.: Здесь уровень выше.

А. К.: Уровень рассуждения остался позади. Гармоничность мы воспринимаем, но механизм такого восприятия не идентичен механизму рассуждения.

Ж.-П.Ш.: Своего рода объединяющий механизм. Тот камень, которого нам не хватает, чтобы довести наши построения до совершенства. ..

А. К.: Это может быть, например, процесс, приводящий в резонанс тот или иной ансамбль систем нейронов.

Ж.-П.Ш.: В случае эстетического удовольствия речь может идти о достижении гармонии (или резонанса) во взаимодействии фронтальной коры и лимбической системы.

А. К.: Может быть...

Ж.-П.Ш.: Удовольствие играет важную роль и в озарении.

А. К.: Да. В случае механизма рассуждения удовольствие (или неудовольствие) вмешивается лишь на конечной стадии, при построении функции отбора; на третьем же уровне все происходит иначе.

Ж.-П.Ш.: Можно, однако, попытаться вообразить себе подобную машину.

184 МЫСЛЯЩИЕ МАШИНЫ

А. К.: Мне о таких попытках ничего не известно. Вернемся к нашей проблеме. Существует ли некая предопределенная гармоничность, к которой человек чувствителен, поскольку живет в этом гармоничном мире, или же человек сам создает гармоничность? Открываем мы гармоничную реальность... или же создаем гармонию реальности?

Ж.-П. Ш.: Давай вернемся, вот только сейчас ты представил ее в форме альтернативы! Либо в мире существует предопределенная гармоничность, и тогда мы живем в платоновском мире, либо мы лишь пытаемся благоприятствовать гармоническому резонансу внешнего мира с внутренним миром, который мы с таким трудом выстраиваем.

J

Вопросы этики

1. В поисках природных обоснований этики

«Коль скоро нечто находится в соответствии с нашей природой, оно по необходимости хорошо».

Спиноза, Этика, 31

ЖАН-ПЬЕР ШАНЖЁ: Развитие научных знаний в биологии, равно как и в математике, ставит перед нами все новые этические вопросы. В прессе широко обсуждается антагонизм наука-мораль. Несколько реже звучат вопросы об обосновании моральных суждений.

Прежде всего, что такое этика? Со времен Канта существует тенденция разделения философами этики и морали, и привилегированный статус в этом разделении получает этика. Мораль относится к индивидуальному поведению. Она включает в себя предписания, которые регулируют поведение индивида в определенный момент истории общества. Этика имеет более общее направление. Она рассматривается как дисциплина, в задачи которой входит выработка основ правил поведения, построение в некотором роде рациональной теории хорошего и плохого [29].

Этические проблемы затрагивают нейробиологов самым непосредственным образом. В первую очередь, в их повседневной работе. Когда речь идет об исследовании человеческого мозга, возможно далеко не все. На эксперименты налагаются строжайшие ограничения.

Эти вопросы обсуждаются в этических комитетах, в состав которых наряду с учеными входят и представители различных духовных организаций, в частности, так называемых мировых религий. По рекомендации этой «моральной магистратуры» иногда предлагаются формулировки законов, как правило, единогласно принимаемые. Очень много споров вызывают понятия, которые очень

186 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

сложно определить в обычной юридической практике — такие, например, как понятие живого существа (является ли живым существом человеческий сперматозоид?), понятие смерти мозга (свидетельствует ли о смерти ровная электроэнцефалограмма?), понятие человеческой личности (если бы до сих пор существовал вид Homo erectus, то имел бы он те же права, что и Homo sapiens?) и т.д. Между гуманитарными и биологическими науками устанавливается новый диалог.

Все эти вопросы неизбежно влекут за собой вопрос об обосновании моральных предписаний. Идет ли здесь речь о догматическом консенсусе того или иного рода, основанном на каких-либо метафизических принципах, общих для заинтересованных религий, о своего рода «пакте» между религиозными авторитетами? Или, напротив, мы видим в таких предписаниях выражение народной мудрости, коллективного волеизъявления, соответствующего голосу большинства, и не имеющему сколько-нибудь явного отношения к метафизике? Можно ли предположить, что поиск объективности, которому сопутствуют все эти споры, возводит этику в ранг науки? С такими учителями, как Андре Львофф, Жак Мо-но, Франсуа Жакоб... я просто не могу оставаться безразличным к этим вопросам. Даже если кто-то и не согласен с идеей, что этика опирается исключительно на объективное знание, мне кажется, что сегодня для построения этики необходимо руководствоваться именно этой идеей. Иными словами, во всяком рассуждении относительно этики следует прежде всего обращаться к данным антропологии, истории религий, права, психологии познания, а также нейронаук. Необходимо действовать так, как действуют ученые — строить модели, которые можно подвергнуть проверке и при необходимости пересмотреть, опираясь в течение всего процесса на строго научные результаты. Такая база для дискуссий представляется мне гораздо более надежной, чем какой бы то ни было метафизический постулат или вера, пребывающая в постоянном конфликте со здравым смыслом или с данными самой элементарной физики.

Я бы даже согласился с Жаком Моно: этику de facto ^1 составляет бесконечный поиск истины, первый движитель науки. И, возможно, эта основа этики является самой уважаемой во всей человеческой истории, даже если порой поведе-

*На деле, фактически (лат.) — Прим. дерев.

1. В ПОИСКАХ ПРИРОДНЫХ ОБОСНОВАНИЙ ЭТИКИ 187

ние некоторых ученых может показаться исключением из правила. Однако многие философы подчеркивали сложность задачи выработки этических императивов в этом случае. Такое свободное рассмотрение требует углубленного исследовательского труда. Скажем больше, самой настоящей аскезы! Очень часто ситуации противоречат друг другу, оказываются задействованы многие мотивы: чрезвычайно сложно искать объективные обоснования морали и вырабатывать правила этой самой морали, основываясь на размышлениях о последних достижениях современной науки. Гораздо проще сослаться на нечто априорно трансцендентное, а не на научные результаты, которые иногда бывают весьма недолговечными. Выработка четких правил поведения увлекает нас в мир знаний и размышлений, который с каждым днем все труднее приручить. Поможет ли нам в нашем исследовании такое практическое приложение математики, как информатика с ее гигантскими объемами обрабатываемых данных? Придется ли нам рано или поздно обратиться за принятием решений в области этических суждений к компьютерам (см. [23])? Вот вопрос, который будет интересен и математикам.

Как бы то ни было, этот вопрос относится как к этике, так и к математике. И ты, и я — представители вида животных Homo sapiens sapiens. У нас есть мозг, который определяет, принимаем мы правила морали или нет. Но он также и создает их в определенном социальном окружении, в определенный момент культурной истории человечества. Любой ученый, не удовлетворенный удобной ментальной двойственностью верующего, но стремящийся оставаться последовательным, отбрасывает любую ссылку на метафизику и пытается отыскать в своих размышлениях естественные обоснования этики. В целом это не что иное, как возврат в современных условиях к идеям эпохи Просвещения (см. [27]) и Французской революции, но со значительным преимуществом, которое могут нам обеспечить достижения нейронаук, наук о познании и социальной антропологии.

Гюнтер Стент, очень уважаемый молекулярный биолог, проводит с 1978 года в Далеме конференцию, которая называется «Мораль как биологический феномен» (Morality as a biological phenomenon)', целью этой конференции является противостояние идеологическим предубеждениям зародившейся как раз тогда со-циобиологии, равно как и поиск биологических обоснований мора-

188 ВОПРОСЫ этики

ли. Своего рода доказательство от противного. Эти принципиальные разногласия по сути своей восходят — как это часто бывает — к Древней Греции, где уже в то время были выдвинуты два противоположных тезиса, подобные тем, на которых сегодня стоит вся математика, Занимаемая Платоном идеалистическая позиция была весьма проста: моральное поведение должно пребывать в гармонии с принципами, относящимися к миру Идей. Причем этот самый мир Идей — что мы с тобой уже в подробностях обсудили — содержит как математические законы вселенной, так и законы познания. В противоположность позиции Платона, Демокрит, Эпикур, а затем Лукреций рассматривали человека как животный вид: по их мнению, мудрость заключается в освобождении от всех метафизических предрассудков, ответственных за несчастья человека (см. рис. 5). Эти две противоположные точки зрения, как видишь, очень сложно примирить друг с другом.

Само собой разумеется — и думаю, ты этому не удивишься, — я займу в этом давнем споре позицию натуралиста, не позволяющего себе прибегать к какой бы то ни было метафизике. Впрочем, целостной философской системой у меня нет. Я хотел только сообщить тебе некоторые свои предварительные размышления и рискну представить их тебе в несколько черновом виде. Надеюсь, ты не будешь к ним чрезмерно строг.

Первая проблема, над которой нам следует вместе подумать: существует ли универсальность моральных правил. Если мы принимаем платоновскую точку зрения, то этическая универсальность должна существовать, как существует универсальность математическая. Следовательно, в вопросах морали ты тоже должен быть платонистом, как и в математике.

Однако как показывает антропология, разнообразие культур огромно. Между культурами имеются существенные различия в способах мышления, в социальной организации и, в силу этого, в этических суждениях (см. рис. 34). Существует понятие «культурной чуждости» — носитель одной культуры оказывается либо вовсе не в состоянии понять носителя другой культуры, либо испытывает при этом значительные трудности. Недавние конфликты между суннитами и шиитами (Иран-Ирак), протестантами и католиками (Ирландия), евреями и мусульманами (Израиль), индуи-стами и буддистами (Шри-Ланка) и т.д. свидетельствуют об этой взаимной непроницаемости культур, которую еще подогревают религии — не оправдывающие в данном случае этого названия,

1. В ПОИСКАХ ПРИРОДНЫХ ОБОСНОВАНИЙ ЭТИКИ

189

Рис. 34. Вавилонская башня. Эта картина написана в XVII веке лота-рингским художником Франсуа де Номом, по прозванию Монсу Дезиде-рио; в ней он обращается к знаменитому эпизоду о Вавилонской башне, постройку которой, согласно библейской мифологии, затеяли сыновья Ноя для того, чтобы достичь небес. Достичь цели им помешало различие языков участвующих в строительстве людей. Это полотно может служить замечательной иллюстрацией культурного релятивизма. Разнообразию культур и языков сопутствует разнообразие моральных систем, часто несовместимых друг с другом и являющихся источником бесконечных конфликтов.

190 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

поскольку они не связывают, а, напротив, разделяют ^1 . Моральный релятивизм [95], или, скорее, относительность морали, вполне согласуется с разнообразием языков, культурных представлений, верований или законов. Поскольку моральные предписания или нормы варьируются от сообщества к сообществу, очень сложно определить точный критерий, который в своем внешнем выражении позволил бы оценить этическое превосходство той или иной веры, того или иного поведения. Каждая культура всеми силами защищает свою мораль, которую считает самой обоснованной из всех. Каждый убежден, что именно его мораль наиболее «естественна» ! Взаимная слепота и нетерпимость... и каждый убежден, что он прав! Японцы, наши главные партнеры в науке и экономике, тысячелетиями живут в соответствии с этикой, исторические обоснования которой в корне отличны от исторических обоснований иудео-христианства, преобладающего на Западе. Почему их мораль должна быть лучше или хуже нашей? Социальная антропология ставит натуралиста в крайне сложную ситуацию, поскольку подчеркивает скорее разнообразие, нежели универсальность правил морали. Таким образом, представляется чрезвычайно затруднительным выделить, исходя только лишь из анализа правил, существовавших и существующих в многочисленных сообществах, какую-то одну «универсальную мораль».

2. Общественная жизнь и лобная доля

Ж.-П. Ш.: «Универсальным» принципом можно со всей уверенностью назвать само существование множества моральных систем и этическую рефлексию как следствие разнообразия культур. Или, как учит Кант, универсальность самой этической потребности (см. рис. 35). В нашем случае в рамках этого термина можно обобщить совокупность правил взаимодействия между индивидами, принадлежащими к одной социальной группе. Тогда этика обусловлена самим существованием такого феномена, как общественное поведение. Это будет нашим первым пунктом. Натуралист склонен связывать существование этики и моральных систем с фактом жизни в обществе, пусть даже эта связь на примере человеческого вида не всегда очевидна.

^1 Слово «религия» происходит от латинского religere, что означает «связывать», «объединять». — Прим. авт.

2. ОБЩЕСТВЕННАЯ жизнь и ЛОБНАЯ доля

191

Рис. 35. Свобода и Равенство, объединенные Природой. Гравюра неизвестного художника конца XVIII века, на которой аллегорически изображены естественные обоснования двух первых положений Декларации о правах Человека — Равенство (слева с угольником в руке) и Свобода (справа, с фригийским колпаком на голове). Природа представлена в виде сидящей много грудой богини с прической в виде башни, на коленях у нее лежат рога изобилия, а юбка украшена изображениями знаков Зодиака. Ее жест символизирует единение двух аллегорических женских персонажей, пожимающих друг другу руки. (Музей Карнавале)

192 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

В самом деле, общественные связи у некоторых видов животных или, например, насекомых по своей прочности намного превышают те, что мы наблюдаем у человека. Всем известно, что у медоносных пчел рабочие пчелы в обязательном порядке обеспечивают питание пчелы-производительницы, сами будучи при этом бесплодными. Некоторые виды ос строят коллективные жилища необычайной сложности, демонстрируя координацию и эффективность, превышающую таковые качества человека. Просо-циальному поведению у млекопитающих и человека противостоит поведение, называемое антисоциальным, — например, семейственность, территориальность или такая внутривидовая агрессия, которая вступает в конфликт с более общими интересами, связанными с выживанием вида. Однако у человека способы выражения общественных связей имеют особые свойства в силу того, что из всех ныне существующих видов животных человек обладает самыми развитыми познавательными способностями. Homo sapiens сочетает в себе социальное и рациональное и ищет пути их примирения.

В этих условиях этика, по всей вероятности, объединяется с рациональностью обязательств по отношению к другому, которые обязательны для любого члена социальной группы. Она определяет совокупность максим, регулирующих, в соответствии с требованиями разума, сотрудничество между членами сообщества. В этике отражаются, прежде всего, модальности коммуникации между членами социальной группы — причем сюда входит не только распознавание действий говорящего, но также и распознавание его намерений. Такую модель коммуникации Грайс (1957) [45], а за ним и Спербер с Уилсоном (1986) [97] называют инференци-альной. Исследования универсальных обоснований многочисленных трансформаций различных моральных систем обращают наше внимание на некоторые когнитивные способности, характерные для человеческого рода. Это, прежде всего, способности, позволяющие человеку представить себе кого-либо другого, его эмоциональные состояния, его намерения, его долговременные или краткосрочные проекты, но самое главное, представить себе этого другого посредством одних· лишь размышлений как еще одного «самого себя», как члена того же общественного вида. Среди этих когнитивных способностей — способность строить теоретические предположения не только относительно ментальных состояний другого индивида (эту способность, похоже, уже обнаружили

2. ОБЩЕСТВЕННАЯ жизнь и ЛОБНАЯ доля 193

у шимпанзе [89]), но даже и относительно теоретических предположений этого самого индивида относительно того или иного события, например, в будущем. Сюда же относится и способность представлять себе как организацию социальной группы, так и возможные пути реализации в ее рамках тех или иных индивидуальных «ментальных состояний».

Эти способности являются результатом действия «нейронных структур» на уровнях организации, близких к тем, что ты определил, как второй и третий уровни математической практики. Однако нам известно, что в большинстве этих случаев важную роль играет лобная доля. Клинические исследования со всей очевидностью показывают, что поражение лобной доли сопровождается нарушением социального поведения и даже полной потерей «морального смысла». Например, в описании случая Финеаса Гейджа, молодого рабочего, травмированного на уровне лобной доли шлагбаумом в Харлоу в 1869 году, сказано: «нарушено равновесие между интеллектуальными способностями и инстинктивными наклонностями. Пациент нервничает, проявляет неуважение в общении и часто очень грубо выражается, что прежде в его привычки не входило; с равными ему он едва вежлив, легко раздражается, если ему возражают, и не слушает советов других, если они входят в противоречие с его мыслями... ». Лурия описывает пациента, который на картине Клодта «Последняя весна» (изображающей сидящую в кресле умирающую молодую девушку) видит сцену свадьбы из-за белого платья девушки. Больной с поражением лобной доли не воспринимает эмоциональных элементов картины, не располагает их корректно в социальном контексте. Не случайно Лурия называет лобную кору «органом цивилизации».

Роль лобной (фронтальной) коры отлична от роли других областей мозга — таких, например, как височная кора. Гешвинд [39] описывает любопытный случай эпилепсии височной доли, с которым сталкивался так же и Газзанига [35]. У больного наблюдается усиление религиозных убеждений (с курьезными и неожиданными переходами из одной веры в другую), сопровождающееся постоянным побуждением к письму (гиперграфия) и вкусом к нетрадиционным сексуальными практикам. Фронтальная кора находится в постоянном взаимодействии с другими отделами коры головного мозга. Единого этического «центра» в мозге не существует, вместо этого свой вклад в когнитивные функции, способствующие выработке этических суждений, вносят самые разные

194 ВОПРОСЫ этики

параллельные и иерархические ансамбли нейронов. Такая предрасположенность нейронов к этике является в целом общей для всего человеческого вида. Она входит в состав черт, отличающих человека от других видов животных. А значит, она также подвержена генетическому детерминизму, который образует поле «человеческой природы». Именно в том, что есть универсального в этике, в том, на основании чего можно определить общие Права Человеческого Вида, и следует искать выражение генетического наследия, общего для всего человечества.

3. Просоциальное поведение ребенка и культурный отпечаток

Ж.-П. III.: Эти генетические детерминанты выражаются постепенно и последовательно в течение эмбрионального и внутриутробного развития, когда устанавливаются основные элементы архитектуры мозга и, в особенности, примат фронтальной коры. С самого рождения ребенок взаимодействует с «другими». Развиваются «просоциальные» поведенческие реакции, обеспечивающие гармоничное взаимодействие с другими лицами окружения ребенка. С трех месяцев ребенок способен обмениваться сигналами с матерью и отцом, примерно с года ребенок научается делиться, он показывает и дарит предметы разным людям с целью пообщаться с ними. В 11 месяцев он уже заботится о других. Он дает кукле пить и кормит ее воображаемой пищей. В два-три года ребенок способен вести осмысленную беседу. Очень рано он выказывает чувства дружбы и любви с характерными для этих чувств улыбками и поцелуями, он демонстрирует интерес к другому, но иногда боится чужих. Наконец, начиная с восьми лет, проявляется способность встать на место «другого», или сопереживание. Способность соучаствовать в эмоциях возникает очень рано, она лежит в основе представления о другом как о самом себе, о чем я говорил выше. Представления о другом не просто как об индивиде, но как об индивиде чувствующем.

Сопереживание как поведение, целью которого является облегчить дискомфорт другого, проявляется в возрасте между полутора и тремя годами. Затем осознаются понятия послушания и сознательной ответственности. В возрасте 9-12 месяцев ребенок следует указаниям матери, но в 17 месяцев он уже указыва-

3. ПРОСОЦИАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕБЕНКА и КУЛЬТУРНЫЙ ОТПЕЧАТОК 195

ет себе сам. Маленький ребенок постепенно становится способен к поведенческим реакциям оказания помощи и сотрудничества. Он участвует с другими в общем деле с общими целями. Про-социальное поведение развивается постепенно и предполагает — весьма вероятно — наличие значительного числа врожденных поведенческих реакций.

Впрочем, взаимодействие ребенка с физическим и социальным окружением после рождения также оставляет следы, которые впоследствии обозначат индивидуальность взрослого в той же, если не в большей, степени, нежели какая бы то ни было генетическая предрасположенность. Хьюбел и Визель [58] показали, что если кошку или обезьяну держать с рождения в клетке с вертикальными прутьями, где светлые прутья чередуются с темными (или постоянно держать один глаз закрытым (К. Блейкмор)), то совершенно определенно изменяется функциональная специфичность нейронов зрительной коры. Подобные результаты, по всей вероятности, имеют смысл и для других областей мозга, в частности, для фронтальной коры [40]. Спонтанная нейронная активность эмбриона может играть значительную роль в эпигенезе нервной системы. Развитие познавательных способностей и эмоциональных состояний индивида, возможно, также обусловливается эпигенетически посредством отбора. Возможно, под влиянием аналогичных условий закрепляются параллельно усвоению родного языка и верования вместе с моральными правилами. Мозг ребенка «впитывает» моральные правила так же, как и язык, свойственный культурному и внутрисемейному окружению, в котором он воспитывается. Окружение авторитарно (или даже тоталитарно) навязывает ему особую культурную принадлежность, которой он будет отмечен на протяжении десятков лет и от которой ему впоследствии будет очень трудно освободиться — возможно, и вовсе не удастся. Разумеется, нейрокогнитивные основы закрепления верований остаются пока по большей части неизвестными, однако они составляют увлекательный предмет исследования.

Таким образом, основная задача заключается в уточнении свойственных всем этим способностям закономерностей, обусловленных генетическим наследием человека и определяющих (формируя таким образом «порождающую грамматику» этики) основные аспекты просоциального поведения. Следующий важный этап — отделить эти закономерности от правил, свойственных той или иной культуре и вносящих свой вклад в ее непо-

196 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

вторимость. Впрочем, осуществить такое разделение весьма сложно вследствие очень глубокого взаимопроникновения упомянутых компонентов в течение последовательных этапов развития человека. Как бы то ни было, зона изменчивости связей, свободная от власти генов благодаря особенностям развития и стабилизации синаптических соединений, позволяет каждому отдельному окружению в тот или иной момент его истории устанавливать собственную особую моральную систему.

4. Функции морали

Ж.-П. III.: Факторы, определяющие установление моральной системы в сообществе животных, породили различные противоречивые теории. Весьма спорные тезисы некоторых социобиологов (таких, например, как Э.О.Уилсон) основываются на исследованиях, проведенных на насекомых (осах или пчелах), социальное поведение которых диктуется крайне четким генетическим детерминизмом. Генетик Гамильтон (1964) теоретически показал, что в популяции может распространяться и привносить в нее «альтруистический» тип поведения ген, определяющий суицидальное поведение субъекта, — например, в случае, когда самоубийство индивида спасает от голода пяток братьев и сестер или десяток внучатых племянников. Отсюда идея, что функции морали состоят не только в том, чтобы обеспечить выживание социального вида, но и в том, чтобы способствовать распространению генов, определяющих социальное поведение — в частности, просоциаль-ное поведение ребенка. Однако теоретическое развитие этих идей почему-то приводит к прямому распространению их с насекомых на человека. У того же Э.О.Уилсона можно, например, прочесть, что «у мозга нет иной причины для существования, нежели обеспечение выживания и распространения генов, обеспечивших его формирование», а «правила бракосочетания суть стратегии передачи генов» [103]. При обосновании этих тезисов часто упоминают о запрете на брак между различными религиозными группами или об обете безбрачия, налагаемом на католических священников, а также о моральных доктринах, которые, выступая против контрацепции или прерывания беременности, позволяют иметь больше детей... и, стало быть, шире распространять гены тех, кто этими доктринами руководствуется! Не исключено, что механиз-

4. ФУНКЦИИ МОРАЛИ 197

мы такого типа оказали свое влияние на ход эволюции насекомых, поведение которых задано столь жестко. Но даже и в этом случае никаких доказательств представлено не было. Не исключено, что нечто подобное имело место во время становления человека. И это ставит перед популяционными генетиками довольно серьезную проблему [9]. Поразительное увеличение сложности мозга от австралопитека до Homo sapiens произошло всего лишь за несколько миллионов лет, или далее быстрее, посредством генетических механизмов, которые мы до сих пор абсолютно не понимаем.

Лично я всегда очень критично относился к высказываниям об упрощенной связи между генами и общественным поведением, нисколько не считающимся с эпигенезом и совершенно упускающим из вида тот факт, что главную особенность человеческой этики составляют постоянные попытки примирить общественное поведение и разум. У насекомых же разум так и не развился. С другой стороны, можно привести примеры моральных предписаний или ритуалов, дающих прямо противоположный эффект, нежели те попытки, о которых я только что говорил. Одним из наиболее показательных случаев является практика каннибализма, вследствие которой в Новой Гвинее широко распространяется куру — болезнь, вызываемая так называемым «медленным вирусом» и приводящая к очень тяжелым поражениям мозга у взрослого человека. В более общем виде, существует много примеров культур, где моральные правила можно рассматривать как генетически нейтральные, что, впрочем, есть прямое следствие огромного разнообразия верований и систем моральных правил. В современных обществах существует лишь весьма непрямое (а порой и вовсе нулевое) соответствие между присущими культуре моральными правилами и дарвиновской способностью передавать гены, эти правила определяющие. Наиболее очевидная функция морали носит «эпигенетический» характер.

Даже «нейтральная» в генетическом плане и произвольная в своих предписаниях функция морали состоит на социальном уровне в том, чтобы регулировать взаимодействие между индивидами и в силу этого способствовать выживанию вида. Однако это регулирование применимо, прежде всего, к выживанию более узкого культурного сообщества, к которому данный индивид принадлежит. Наделенная более универсальными этическими свойствами моральная система облегчит инференциальную коммуникацию между индивидами отдельно взятой культурной группы. Та-

198 ВОПРОСЫ этики

кая мораль позволит сэкономить время при реализации интенций в поведении. Устранив ряд промежуточных процессов рассуждения, составляющий систему прав и обязанностей, она могла бы предложить человеку «конденсированную рациональность», которая уменьшит «груз его мысли» и снабдит его полностью готовыми реакциями на любые возможные поведенческие стимулы.

5. О морали естественной, рациональной и изменяемой

Ж.-П.Ш.: Если мы признаём, с одной стороны, идею нейро-когнитивных основ этики и их универсальность для вида и, с другой — неоспоримую относительность морали в разных культурах, то возникает вопрос о принципах, на основании которых на практике вырабатываются моральные правила. Говоря конкретнее, что лежит в основе разделения между добром и злом? Американский философ Нагель [83] разделил различные этические теории на две группы: теории дедуктивного типа, или «авторитаристские» [64], основанные на априорных аксиомах добра и зла, несомненных по своей природе, и теории индуктивного типа, императивом которых является отказ от всех априорно метафизических или идеологических аксиом. По Нагелю, к типу дедуктивных теорий относится и кантовская теория в ее применении к правилам действия: «Поступай так, чтобы правила, которыми руководится твоя воля, могли во всякое время послужить принципом всеобщего законодательства». То же можно сказать и об утилитаристских тезисах, например, Бентама и Джона Стюарта Милля [80], которые принимают за основание морали ее полезность, а именно «принцип наибольшего счастья, в соответствии с которым добром следует считать действия, направленные на увеличение счастья (удовольствия и отсутствия боли), злом же являются действия, приводящие к обратному». Хотя утилитаристские (равно как и универсалистские) идеологии и кажутся на первый взгляд вполне оправданными, на практике они очень часто вступают в противоречие со собственными принципами. Моральный универсализм не выдерживает столкновения с разнообразием культур, утилитаризм же — со счастьем индивида, противопоставленным счастью сообщества. Дедуктивные моральные теории ведут к фанатизму, к наиабсолютнейшему догматизму, к беспредельному авторитаризму. Индивид

5. О МОРАЛИ ЕСТЕСТВЕННОЙ, РАЦИОНАЛЬНОЙ И ИЗМЕНЯЕМОЙ 199

оказывается бессилен перед теоретическими постулатами, якобы защищающими «счастье» всего человечества!

Из Спинозы: «Несомненным добром или злом является для нас лишь то, что ведет к истинному пониманию вещей, либо то, что может нас от такого понимания отдалить» («Этика», 27). Интерес перемещается от дедуктивных теорий к индуктивным. Следуя последним, этические принципы отбираются и пересматриваются на основании их допустимости и способности объяснять более частные суждения. Индуктивные теории учитывают тем самым культурную эволюцию общества, эволюцию научного знания, техники и культур. Естественно, я принимаю индуктивную точку зрения, которая представляется мне наиболее подходящей для ученого в силу того, что она допускает пересмотр моральных норм, обусловленный как появлением новых практических задач, так и прогрессом познания. Эта точка зрения близка к теории справедливости Ролза, приобретающей все большую известность во Франции. Если очень коротко, то Ролз предлагает метод так называемого рефлексивного равновесия. Суждения формируются и подвергаются апостериорным испытаниям; главным критерием при формировнаии суждений является их максимальная внутренняя связность и объективность. Каждое суждение порождает поток критических оценок и обоснований (если имела место смена принципов). Если социальная система имеет перераспределительный характер, если она способна на исправление ошибок, обусловленных социальными или природными случайностями, то такой метод дает в результате этику, основанную на критике моральных норм и их постоянном пересмотре с целью освободить при необходимости место для новых форм поведения. Лично меня эта философия подкупает тем, что к ней можно прийти исходя из одних лишь «нейронных» обоснований, а также тем, что она, будучи близка научному подходу, спасает нас от каких бы то ни было форм тоталитаризма — крайнего следствия из дедуктивных этических теорий. Это философия без претензий, «этика маленьких шажков», последовательно разрешающая проблемы в том виде, в каком они перед нами возникают, и не следующая из тех или иных априорных постулатов, совершенно в данном случае неприменимых.

При таких обстоятельствах речь уже идет не о том, чтобы подчинить науку императивам верований, авторитаритаризму, существующим догмам или какой ни на есть идеологии, но о разви-

200 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

тии (вместе с развитием науки) критики вероисповеданий, идеологий и моральных норм с тем, чтобы уже с помощью этой критики вырабатывать новые правила поведения с более объективными обоснованиями ^1 . Лично я думаю, что инференциальная модель коммуникации, распознавание намерений, вкупе с оценкой их рациональной связности и достижением рефлексивного равновесия внутри социальной группы позволяет выработать динамическую этику, или «открытую мораль», основанную на естественных «ней-рокогнитивных» принципах, не прибегая к каким бы то ни было метафизическим посылкам.

6. «Распространение сопереживания» и эстетическая функция

Ж.-П. Ш.: Назначение науки состоит в первую очередь в постоянном устранении иррационального с целью достижения объективного знания. Она вырабатывает представления в соответствии с наблюдаемыми фактами. Даже если поиск объективности сталкивается с теми или иными строгими ограничениями, это имеет менее серьезные последствия, нежели субъективность веры. Несмотря на заведомую непроверяемость главных положений любой религии, их физическую и историческую недостоверности, религии замечательно выживают и даже распространяются. При этом их «фундаменталистского» характера никто не скрывает, напротив, его подчеркивают. Парадокс в мире неуклонного прогресса объективного познания! С другой стороны, как утверждают социальные антропологи и историки религии, несмотря на догматический и «не допускающий пересмотра» характер религиозных систем, религии также подвержены эволюционным изменениям. Религии и идеологии сменяются другими религиями и идеологиями. Часто резко и конфликтно. Моральные предписания и право, основанные на системах верований, несомненно являются, как отмечал еще Эпикур, лишь соглашениями, однако их следствия весьма опасны. Религиозные системы составляют главную основу ра-

^1 Последняя статья второго проекта Декларации Прав аббата Сийеса (июль 1789) уже отчетливо провозглашает это предложение: «Статья 42. Народ имеет право пересматривать и реформировать конституцию. Следует также установить определенные сроки, в какие эти пересмотры будут происходить, какова бы ни была в том необходимость». — Прим. авт.

6. «РАСПРОСТРАНЕНИЕ СОПЕРЕЖИВАНИЯ» И ЭСТЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 201

систских предрассудков [99]. Религиозный антагонизм между этническими группами оказывается, как правило, столь же силен (а иногда и гораздо сильнее), как и тот, что происходит из различия в цвете кожи или разрезе глаз. Религии используются различными политическими силами в идеологических целях. Почему же тогда мы так стремимся их сохранить? Можно предположить, что верования выделяются из общественных «культурных репрезентаций» в особую категорию ментальных репрезентаций — т. е. определенных состояний активности нервных клеток, каковые состояния субъект может использовать для установления взаимодействий с себе подобными. Возможно, речь здесь идет о своего рода «модели», выстраиваемой внутри мозга в соответствии с вполне материальными физическими и биологическими принципами. Такая модель — а об этом мы уже довольно подробно говорили — отличается от научных моделей. Она не стремится испытать, проверить себя и, как правило, противоречит самому элементарному здравому смыслу. Тем не менее, она также способна передаваться от мозга к мозгу и «заражать» людей в эпидемических масштабах! Эта экспансия, эта борьба вероисповеданий напоминает дарвиновскую «struggle for life» ^1 . Однако она не влечет за собой с необходимостью какие-либо последствия на генетическом уровне. Об этом я уже говорил. К тому же она происходит на уровне организации и во временном масштабе, отличных от уровня и масштаба эволюции живых организмов. На этой стадии познания условия «отбора», или «стабилизации», верований в культурной среде могут быть сформулированы только в виде предположений. Перечислим некоторые из этих условий.

Например, такое условие: религии свойственно выступать «заменителем» научного объяснения либо в определенный момент истории познания, когда мы еще не располагаем объективными данными, либо вследствие затрудненного доступа к уже имеющимся знаниям в определенной социальной среде по причине недостаточного образования и/или недостатка в источниках информации. Всевозможные мифы о происхождении материального мира, животных или человека несут в себе свидетельства такого нежелания мириться с непознаваемым и являются своего рода прелюдией к первому таксономическому «упорядочиванию» Вселенной, этакой «робкой и невнятной разновидностью науки». Все эти заме-

^1 Борьба за жизнь (англ.). — Прим. перев.

202 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

нители каузальности сыграли свою роль в определенный момент истории, они остаются достаточными и сейчас, в отсутствие более легкоусваиваемых данных для заполнения причиняющих беспокойство пробелов в знаниях. Формирование у ребенка рационального критического мировоззрения, обучение его научным методам получения знаний даст ему важное преимущество в его социальной практике, в этой непрекращающейся борьбе религий друг с другом и религии с наукой.

Впрочем, стабилизация вероисповеданий и идеологий может быть и результатом действий различных форм власти, находящихся во главе человеческих сообществ и вклинивающихся между человеком и видом. По некоторым данным, во времена появления первых Homo habilis на африканских равнинах вся человеческая популяция насчитывала около 100000 индивидов [21], расселенных на тысячах квадратных километров. С тех пор мы ушли весьма далеко, и невероятное увеличение количества населения со времен начала человечества привело к расслоению общества на социальные группы с различными культурами. Эта сегрегация культур появляется уже у Homo erectus, по всей видимости, вследствие приручения огня (около 400000 лет назад). Различные в культурном отношении группы формируются вокруг институтов и органов власти, специфика которых обусловлена — по крайней мере, частично — системами верований. Такая форма институционализ-ма вероисповеданий и идеологий сохранилась и до наших дней. В этих условиях критика религий распространяется и на институты власти, что весьма усложняет дело. Сократ за это поплатился жизнью. Наш вопрос приобретает здесь, скорее, политическую окраску: речь идет уже об отношениях науки и власти. И эти отношения — точно так же, как и отношения политики с моралью или правом — сразу становятся донельзя противоречивыми. Убийство осуждается, если речь идет об индивидах внутри государства, но приветствуется, когда дело доходит до межгосударственных отношений. В некоторых государствах убийцу оправдывают, если убитый совершил святотатство или, например, практиковал полигамию... Государственная мораль часто противопоставляется морали гражданской, равно как и морали вида. И «Декларация о правах человека» являет собой первый бастион защиты вида от государств, вероисповеданий и идеологий. Политическая борьба теперь ведется и в защиту непротиворечивой и гибкой морали.

6. «РАСПРОСТРАНЕНИЕ СОПЕРЕЖИВАНИЯ» и ЭСТЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 203

Критики вероисповеданий и идеологий и пересмотра моральных норм в соответствии с научными данными, естественно, недостаточно для построения моральной системы, основанной на «нейрокогнитивных» фактах со всей строгостью научного метода. В сравнении с грандиозностью общей проблемы простая защита «человеческой личности» или «индивидуальности» как-то бледнеет и чаще происходит Б противоречии с наукой, нежели с опорой на нее. Адам Смит, шотландский ученый эпохи Просвещения, знаменитый, главным образом, своими работами по экономике, был одним из первых, кто, вдохновившись идеями Эпикура, дал морали полностью естественное объяснение с целью ее секуляризации. В своей «Теории моральных чувств» (1759) Смит выделяет в качестве главного элемента морали сопереживание, которое «позволяет нам осознать эффект, производимый на нас тем или иным действием, эффект, благодаря которому мы чувствуем согласие или несогласие с чувствами, спровоцировавшими это действие» (цит. по [68, с. 239]). Для Смита речь идет не о «способности», как мы ее определили, но о продукте общественной жизни, постепенно развившимся в человеческой среде. Чарльз Дарвин в «Происхождении человека» вновь обращается к этому тезису и определяет сопереживание как «основную часть общественного инстинкта», отличную, например, от способности любить, свойственной человеку наряду с другими животными видами, присущей ему от рождения и развившейся в результате естественного отбора. Человек же является «существом моральным, способным сравнивать свои прошлые или будущие действия или мотивы, одобрять их или не одобрять» [68, с. 119]. «По мере того, как человек приближается к цивилизованности, а малые племена объединяются в более многочисленные сообщества, ему в силу очевидных причин приходится распространять свои общественные инстинкты и свое сопереживание на все большее число людей — на каждого члена своего сообщества... на всех людей всех наций и всех рас [68, с. 132]... на калек, идиотов и других бесполезных для общества индивидов» [68, с. 134]. Как отмечает Патрик Тор [101], этот тезис о «распространении сопереживания» оправдывает Дарвина, на которого ссылаются в своих речах расисты и прочие «певцы неравенства» — такие, например, как его современник Гексли [60]. В начале века, в 1906 году, Кропоткин в очень интересной работе «Взаимопомощь как фактор эволюции» возвращается к позиции Дарвина, развивает ее и обогащает многочисленными наблюдени-

204 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

ями[г] позаимствованными в животном мире и в истории «примитивных» человеческих сообществ. По Кропоткину, «в эволюции организованного мира взаимная поддержка индивидов играет гораздо более значимую роль, чем борьба между ними» [68, с. 9]. «Чем больше индивидов объединяется, чем больше они друг друга поддерживают, тем больше у вида шансов для выживания и прогресса в интеллектуальном развитии». Кропоткин рассматривает взаимопомощь как «инстинкт солидарности и человеческой социальности» [68, с. 12], на котором основываются такие «высшие моральные чувства», как «чувство справедливости и нравственность» и который «позволяет индивиду воспринимать право любого другого индивида, как равное своему собственному» [68, с. 13].

Недавние открытия в области когнитивных наук ничуть не противоречат позициям Дарвина и Кропоткина. Я отмечал, что сопереживание, как и поведение, связанное с помощью и взаимодействием, проявляются в «просоциальном поведении» ребенка в определенные моменты его развития. Имеет право на существование следующая логика «добра и зла»: добро — это то, что «распространяет сопреживание», облегчает взаимопомощь, «зло» же, напротив, ее уменьшает, затрудняет. Речь не идет о том, чтобы стремиться к какой-либо универсальной полезности или взаимности. Однако если мы постоянно пребываем в ситуациях ограниченного и вынужденного выбора и, как следствие, постоянно пересматриваем свои нормы (почти по Ролзу), то вполне правомерным будет принять за этичное (произведя отбор с помощью разума) то суждение, которое благоприятствует, пусть и локально, взаимопомощи в ущерб индивидуальным или коллективным противостояниям, то суждение, посредством которого выражается естественная склонность человека к сопереживанию, которая сама по себе является положительным фактором в эволюции человеческих сообществ. Сопереживание, которое, безусловно, стало важным фактором в формировании первых общественных групп Homo sapiens, послужит в дальнейшем, посредством своего «распространения», обоснованием «видовой морали», которая разрушит изолированность отдельных культурных групп. Тогда и произойдет столь желанное примирение между социальным и рациональным.

В связи с такой эволюционистской секуляризацией морали особое значение приобретает понятие пространства изменчивости [72], которое избавляет мораль от «мнимо священного происхождения» (Спенсер), равно как и от креационистского автори-

6. «РАСПРОСТРАНЕНИЕ СОПЕРЕЖИВАНИЯ» и ЭСТЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 205

таризма догм и идеологий. Мы с тобой уже рассматривали участие «генератора разнообразия» в создании математических объектов на втором и третьем уровнях организации церебральной материи. Этот генератор может, естественно, действовать и на уровне производства ментальных репрезентаций моральных предписаний, относящихся к социальному или индивидуальному поведению. Эти дарвиновские вариации социальных репрезентаций могут быть затем переданы (или нет) из мозга в мозг, отобраны на уровне сообщества и затем внедрены в законодательные акты властью — например, на основании распространения сопереживания или взаимопомощи. Мне приходит в голову одна фраза из «Манифеста дифференциалиста» Анри Лефевра: «Может быть, следует предложить и «право на отличие»? Я, разумеется, отвечаю на этот вопрос утвердительно, уточняя при этом: право на отличие, т.е. принятие существования изменчивости вместе с ее случайной составляющей. Поскольку (и об этом я уже говорил) никакая эволюция невозможна без изменчивости на всех уровнях организации, а не только на генетическом уровне и на уровне связей при развитии мозга. Я бы даже сказал, что и «революции» невозможны без предсуществующей изменчивости, и она касается как формы тела, так и продуктов мозга, включая порожденные им модели человеческих обществ. Блокировка любого процесса изменения какой бы то ни было «диктатурой» равносильна блокировке функции предвосхищения, свойственной человеческому мозгу. Такая блокировка «тормозит» способность мозга интегрировать воспринимаемую им информацию о культурном окружении с целью выработки новых моделей и новых идей, формирующих его эволюционную динамику. Следовательно, правомерно будет согласиться с существованием случайной изменчивости в любой природной этике, которая претендует на эволюционность. Случайно ли одно из самых динамичных определений понятия свободы звучит как «право на воображение»?

Достаточно ли рациональной критики вероисповеданий и идеологий, распространения сопереживания и права на воображение для того, чтобы построить этику, свободную от всякой иррациональности? Вряд ли. С верованиями очень часто ассоциируются эмоциональные состояния, «объединяющие» членов социальной группы друг с другом. Разрыв этой связи порождает чувство опустошенности. Неврологические основы и фармакология этой фундаментальной эмоции социального взаимодействия были изу-

206 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

чены на животных моделях [76]. Скорбь разлуки или тоски, вызванный изоляцией малыша или взрослого, можно успокоить морфием и усилить фармакологическими агентами, выборочно блокирующими эффект опиосодержащих ^1 . А можно, как указывает Леви-Стросс, использовать «в качестве способов выражения акта веры в зарождающуюся науку» [71, с. 19] ритуалы и верования, можно рассматривать их как первую «таксономию», «обладающую выдающейся эстетической ценностью» [71, с. 21]. Свойственная как человеку, так и животному [59] радость от классификации объектов окружающего мира проявляется на более высоком уровне математического творчества или на уровне научного творчества вообще. Научное познание приносит радость, которая может серьезно конкурировать с радостью, даруемой религией.

А не играет ли наиболее непосредственно и полно эту роль искусство? Если оно служило ранее средством передачи верований и идеологий, то не может ли оно вместо религии стать той объединяющей силой, тем всеобщим «коммуникационным разумом» [48], воплощающим разнообразие культур и укрепляющим сопереживание через подлинно коллективную радость, — силой, интегрирующей все это разнообразие вместо того, чтобы явиться фактором разделения, как это делают религии, нетерпимые по самой своей природе... Эту эстетическую утопию Шиллер в своих «Письмах об эстетическом воспитании человека» (1795) называет «построением истинной политической свободы». Поскольку по его мнению «лишь эстетическая коммуникация объединяет общество». Искусство играет роль катализатора «гармонии в обществе» через посредство «примирения законов разума с интересами смысла». Я уже много говорил о вероятных неврологических и культурных основах эстетического удовольствия и радости, доставляемой произведениями искусства [И, с. 158]. Здесь же я присоединяюсь к Шиллеру и полагаю, что свобода мечтать и в самом деле есть «универсальное эстетическое состояние», которое в конечном счете освободит человека от оружия и иррациональности. Однако, как писал Спиноза, завершая свою «Этику»: «Все, что красиво, настолько же сложно, насколько и редко».

Вот такие вот в чем-то поспешные и несколько беспорядочные размышления нейробиолога об этике. Что обо всем этом думают математики?

^1 Неслучайно привыкание к этому наркотику развивается чаще всего в условиях недостатка социальной интеграции.

7. ЭТИКА И МАТЕМАТИКА 207

7. Этика и математика

А. К.: Начну с ответа на твой вопрос. Ты говоришь: «Если мы принимаем платоновскую точку зрения, то этическая универсальность должна существовать, как существует универсальность математическая». И заключаешь, что в вопросах морали я также должен быть платонистом, как и в математике.

Мой ответ будет отрицательным. Как я уже объяснял в предыдущей главе в отношении теоремы Гёделя, моя «вера» в существование «сырой» математической реальности, неисчерпаемого источника информации, происходит из долгого личного опыта, а вовсе не из чтения Платона, идеи которого я не всегда разделяю.

Я не верю в универсальную этику, и мне кажется, что математика не обладает какой-то особой компетентностью, позволяющей говорить об этике в общих терминах. Идея математической этики также не имеет особого смысла. В этом я полностью одобряю твою критику теорий дедуктивных этик, основанных на априорном и являющихся по сути своей идеологическими. Вся уместность этой критики хорошо видна на следующем примере, хорошо знакомом математикам. Криптография с открытым ключом [54] позволяет, опираясь на некоторые хорошо разработанные математические результаты (такие, например, как теория чисел), создать коды, которые не поддаются взлому и могут быть использованы различными секретными службами. Таким образом, математик не может изолироваться в своей башне из слоновой кости и утверждать, что его «чисто» математические исследования не могут иметь никакого отношения к столь низменному их применению.

Дедуктивная теория этики, которая постулирует, что чистая математика может находить лишь гражданское применение, ведет в тупик. Математик, желающий остаться верным такой этике, должен вовсе отказаться от работы или, по крайней мере, от опубликования ее результатов. Иначе он войдет в противоречие с этикой de facto, суть которой, по Ж. Моно, составляет «бесконечный поиск истины».

Глядя немного со стороны, замечаешь, что упомянутые криптограммы с открытым ключом могли бы оказаться полезными и для общества. Они необходимы, например, для защиты индивида от посягательств на его личную жизнь, в частности от использовании и фальсификации такой частной информации, как, скажем, конфиденциальные медицинские сведения. Можно даже предста-

208 ВОПРОСЫ ЭТИКИ

вить, что в недалеком будущем во избежание подделок подпись каждого человека будет представлять собой некий объект математической природы.

Следовательно, математик, как и любой другой ученый, должен всегда проявлять бдительность в отношении возможного применения полученных им научных результатов. Однако при этом вовсе не обязательно придерживаться какой-либо дедуктивной этики, которая в конечном счете приведет к полному отсутствию этих самых результатов.

Таковы вкратце размышления, которые я могу позволить себе в отношении этики. Не башня из слоновой кости и не дедуктивная этика, но дух научной ответственности. Более того, особое значение для меня имеет возможность разделить с другими то главное, что присуще математическому исследованию, — смысл, который оно придает «поиску истины», и внутреннюю радость, которую при этом испытываешь. Никакой иной цели мои замечания в ходе наших бесед не имели.

Литература

[1] F.Bacon, De dignitate et augmentis, III, 6.

[2] H. Barlow, Simple units and sensations: a neuron doctrine for perceptual physiology?, Perception, 1, 1972, 371-394.

[3] E. Belaga, La theorie des noeuds, в сб. Les progres des mathematiques, Pour la Science, Paris.

[4] W. A. Bethe, The Electromagnetic Shift of Energy Levels, Physical Review, 72, 1947.

[5] Y. Burnod, H. Korn, Consequences of Stochastic Release of Neuro-transmitters for Network Computation in the Central Nervous System, Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 86, 1959, 352-356.

[6] A. Calder, Les mathematiques constructives, в сб. Les mathematiques aujourd'hui, предисловие M. Berger, Pour la science, 1986, 203-211.

[7] G. Chaitin, Les suites aleatoires et les demonstrations mathematiques, в сб. Les progres des mathemathiques, Pour la Science, Paris.

[8] J.-P. Changeux, Le cerveau et l'evenement, Communications, 18 37-47, 1972.

[9] J.-P. Changeux, L'homme neuronal, Fayard, Paris, 1983. [10] J.-P. Changeux, Molecule et memoire, Bedou, 1988.

[11] J.-P. Changeux, Raison et plaisir, Catalogue de l'Exposition: De Nicolo del Abate a Nicolas Poussin: Aux sources du Classicisme, comm. J.-P. Changeux, B. Grinbaum, etc., Musee de Meaux.

[12] J.-P. Changeux, P. Courreges, A. Danchin. A theory of the epigenesis of neuronal networks by selective stabilization of synapses. Proc. Nat. Acad. Se., USA, 70, 1973, 2974-2978.

[13] J.-P. Changeux, A. Danchin, Selective Stabilization of developing Synapses as a Mechanism for the Specification of Neuronal Networks, Nature, 264, 1976, 705-712.

210 ЛИТЕРАТУРА

[14] J.-P. Changeux, S. Dehaene, Neural models of cognitive functions, Cognition, 1989.

[15] J.-P.Changeux, T.Heidmann, P.Patte, Learning by Selection, 115-133, в сб. The Biology of Learning, ed. P. Marier, H. S. Terrace, Springer Verlag, Berlin, 1984.

[16] C.Debru, L'Esprit des proteines, Hermann, Paris, 1983.

[17] J.de Felipe, E.G.Jones, Cajal on the cerebral cortex, Oxford University Press, 1988.

[18] A. de Groot, Thought and Choice in Chess, Basic Books, New York, 1965.

[19] S. Dehaene, J.-P. Changeux, A model of prefrontal cortex, Cognitive Neuroscience, 1989.

[20] S. Dehaene, J.-P. Changeux, J.-P. Nadal, Neural networks that learn temporal sequences by selection, Proc. Nat. Acad. Se. USA, 84, 1987, 2727-2731.

[21] H. de Lurnley, Origine et evolution de l'homme, Musee de l'Homme, Paris, 1984.

[22] M.Denis, Image et cognition, PUF, Paris, 1989.

[23] D.C.Dennett, The Intentional Stance, MIT Press, Cambridge, Mass., 1987.

[24] J.T. Desanti, La philosophie silencieuse, Seuil, Paris, 1968.

[25] R. Descartes, Meditations metaphysiques, V, Gallimard, coll. Pleiade, 1970.

[26] R.Desimone, T. Albright, С. Gross, C.Bruce, Stimulus-selective Properties of inferior temporal neurons in the macaque, J. Neuroscience, 4, 1984, 2051-2062.

[27] D.Diderot, Entretien d'un philosophe avec la Marechale de ***, 1775.

[28] J.Dieudonne, Pour l'honneur de l'esprit humain: Les mathematiques aujourd'hui, Hachette, Paris* 1987.

[29] B.Edelman, M. A. Hermitte, L'homme, la nature et le droit, C.Bourgois, 1988.

[30] G. Edelman, Group selection and phasic reentrant signalling: a theory of higher brain function, MIT Press, Cambridge, Mass., 1978.

ЛИТЕРАТУРА 211

[31] G.Edelman, Neuronal Darwinism, Basic Books, New York, 1987.

[32] H. Everett, «Relative State» Formulation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 29, 1957, 454-62.

[33] J. Fodor, The language of thought, The Harvester Press, 1976. [34] J.Fuster, The Prefrontal Cortex, Raven Press, New York, 1980. [35] M. Gazzaniga, Le cerveau social, Laffont, Paris, 1985.

[36] W. Gehring, Homeotic Genes, the Homeobox of the genetic control of developement, Cold Spring Harbor, Symp. Quant. Biol, 50, 1985[r ]243-251.

[37] A. P. Georgopoulos, Neural Interpretation of Movement: Role of Motor Cortex in Reaching, FASEB J., 13, 1988, 2849-2857.

[38] A.P.Georgopoulos, A.B.Schwartz, R.E.Kettner, Neuronal population coding of movement direction, Science, 233, 1986, 1357-1460.

[39] N. Geschwind, Behavioral change in temporal epilepsy, Archives of Neurology, 34, 1977, 453.

[40] P. S. Goldman - Rakic, Development of cortical circuitry and cognitive functions, Child Dev., 58, 1987, 642-691,

[41] P. S. Goldman - Rakic, Topography of Cognition: Parallel distributed networks in primate association cortex, Ann. Rev. Neurose., 11, 1988, 137-156.

[42] G.-G. Granger, les deux niveaux de la rationnante, Dialectica, 39, 1985, 355-363.

[43] G.-G. Granger, Sur l'idee de concept mathematique naturel, Revue int. philosophie, 167, 1988.

[44] C. M. Gray, P. Koenig, A. K. Engel, W. Singer, Oscillatory responses in cat visual cortex exhibit inter-columnar synchronization which reflects global stimulus properties, Nature, 338, 1989, 334-337.

[45] H. P. Grice, Logical Conversation, Wiiliam James Lectures, Harvard U. P., Cambridge, Mass., 1986

[46] S.Grillner, P.Wallen, N.Dale, L.Brodin, J.Buchanan, R.HUe1, Transmitters, membrane properties and network circuits in the control of locomotion in lamprey, Trends Neurose., 10, 1987, 34-41.

212 ЛИТЕРАТУРА

[47] С. G. Gross, С. J. Bruce, R. Desimone, J. Fleming, R. Gattas, Critical visual areas of the temporal lobe, 187-216, в сб. Cortical Sensory Organization, ed. C.Woolsey, vol. 2, Humana Press, Clifton, N.J., 1981.

[48] J. Habermas, Le discours philosophique de la modernite, Gallimard, Paris, 1988.

[49] J. Hadamard, Essai sur la psychologie de l'invention dans le domaine mathematique, Gautier-Villars, Paris, 1952.

[50] F. Harbor, С. Levinthal, E. Macagno, Anatomy and development of identified cells in isogenic organisms, Cold Spring Symp., Quant. Biol., 40, 1976, 321-333.

[51] H. Hecaen, M.Albert, Human neuropsychology, Wiley, New York, 1978.

[52] T. Heidmann, J.-P. Changeux, Un modele moleculaire de regulation d'efficacite d'une synapse chimique au niveau postsynaptique, C.R.Acad.Sc., 295, Paris, 1982, 605-670.

[53] T. Heidmann, J.-P. Changeux, Allosteric receptors and molecular models of learning, 549-601, в сб. Synaptic Functions, ed. G. M. Edelman, W. E. Gall, W. M. Cowan.

[54] M. Hellman, Les mathematiques de la cryptographie revelee, в сб. Les progres des mathematiques, Pour la Science, Paris.

[55] A. Hodgkin, A. Huxley, A quantitative description of membrane current and its applications to conduction and excitation in nerve, J. Physiol, London, 117, 1952, 500-544.

[56] A.Hodgkin, A.Huxley, Cold Spring Harbor, Quant. Biol, 17, 1952, 43-52.

[57] D. Hofstadter, Goedel, Escher, Bach, Intereditions, Paris, 1985.

[58] D. Hubel, T. Wiesel, Functional Architecture of Macaque Monkey Visual Cortex, Proc. Roy. Soc. London В., 198, 1977, 1-59.

[59] N. K. Humphrey, Natural Aesthetics, 1980.

[60] T.H.Huxley, Struggle for existence as its bearing upon man, 1888.

[61] F.Jacob, La logique du vivant, Paris, 1970.

[62] F.Jacob, Le jeu des possibles, Fayard, 1982.

ЛИТЕРАТУРА 213

[63] P.Jacob (ed.), L'age de la science, 2, Epistemoloqie, Odile Jacob, Paris, 1989.

[64] P.Jacob, Qu-est-ce que l'autoritarisme epistemologique, 25-58, в сб. L'age de la science, 2, Odile Jacob, Paris, 1989.

[65] N. Jerne, Antibody and learning: selection versus instruction, 200-205, в сб. The Neuroscience: a study program, Ed. G. С. Quarton, T. Melne-chuck, F. O. Schmidt, New York, Rockefeller Univ., 1967.

[66] P. N. Johnson-Laird, Mental models, Cambridge University Press, 1983. [67] M. Kline, Mathematiques: la fin de la certitude, C. Bourgois, Paris, 1989. [68] P. Kropotkine, L'ethique, Librairie Stock, Paris, 1927.

[69] W. E. Lamb, R. Retherford, Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method, Phys. Rev., 72, 1947.

[70] A. Leroi-Gourhan, Le geste et la parole, Albin Michel, Paris, 1964. [71] C. Levi-Strauss, La pensee sauvage, Pion, 1962. [72] C. Levi-Strauss, Race et histoire, UNESCO, 1952.

[73] H.R.Lewis, Ch. H. Papadimitriou, L'efficacite des algorithmes, в сб. Les progres des mathemathique, Pour la Science, Paris.

[74] F. Lhermitte, J. Derouesne, J. L. Signoret, Analyse neuro-psychologique du syndrome frontal, Revue Neurologique, 127, 1972, 415-440.

[75] P. McLean, A Triune Concept of the Brain and Behavior, University of Toronto Press, 1973.

[76] P.D. McLean, The Midline Frontolimbic Cortex and the Evolution of Crying And Laughter, 121-141, в сб. The frontal lobe revisited, ed. I.Perecman, IRBN Press, 1987.

[77] P. Marier, S.Peters, Subsong and plastic song: their role in the vocal learning process, 25-50, в сб. Acoustic communication in birds, ed. D. E. Kroodsma, E.H.Miller, vol. 2, 1982.

[78] E. Mayr, How biology differs from the physical sciences, 45-63, в сб. Evolution at a cross road. The biology and the philosophy of science, ed. D.J. Drepew, B.H.Weber, MIT Press, Cambridge, 1985.

[79] J.S.Mill, Systeme de logique, III, 24.5, 1851.

214 ЛИТЕРАТУРА

[80] J. S. Mill, Utilitarianism, U, 24, 1863.

[81] B. Milner, M. Petrides, Behavioural effects of frontal lobe lesions in man, Trends in Neuroscience, 1984, 408-414.

[82] J. Monod, J.Wyman, J.-P. Changeux, On the nature of aliosteric transition: a plausible model, J. Mol. Biol., 12, 1965.

[83] T. Nagel, Ethics as an autonomous theoretical subject, 221-232, в сб. Morality as a Biological Phenomena, ed, G.Stent, Berlin, 1978.

[84] A. Newell, The Knowledge Level, Artificial Intelligence, 18, 1982,87-127.

[85] M. Noda, S. Shimizu, T. Tanabe, T. Takai, T. Kayano, T. Ikeda, H. Taka-hashi, H. Nakayama, Y. Kanaoka, N. Minamino, K. Kangawa, H. Matsuo, M. Raferty, T. Hirose, S. Inayama, H. Hayashida, T. Miyata, S. Numa, Primary Structure of Electrophorus Electricus sodium channel deduced from cDNA sequence, Nature, 312, 1984, 121-27.

[86] C. Nuesslein-Volhard, H. G. Frohnhoeffer, R. Lehman, Determination of anteroposterior Polarity in Drosophila, Science, 238, 1987, 1675-1681.

[87] R. Omnes, From Hubert Space to Common Sense: A syntheses of Recent Progress in the Interpretation of Quantum Mechanics, Preprint, Lab. Phys. theorique et Haute energie, Orsay, 89/7.

[88] D. I. Perrett, A. J. Mistlin, A. J. Chitty, Visual neurons responsive to faces, Trends in Neurose. 10, 1987, 358-364.

[89] A. Premack, G. Woodruff, Does the chimpanzee have a theory of mind?, Behavioral and Brain Sciences, 1, 515-526.

[90] J. Schwinger, Einstein's Legacy, перевод на франц. Алена Конна: L'heritage d'Einstein, Pour la Science, 1988.

[91] T. Shallice, Specific impairment in planning, Phil. Trans. R. Soc. Lond.B., 298, 1982, 199-209.

[92] T. Shallice, From neuropsychology to mental structures, Cambridge University Press, 1988.

[93] R. Shepard, J, Metzler, MIental rotation of three-dimensional objects, Science, No. 171.

[94] H.A.Simon, The Sciences of the Artificial, MIT Press, Cambridge, 1984.

[95] N. Sindzingre, Autres cultures, autres mondes?, Autrement, 93, L'ethique corps et ame, ch. 4, Un nouveau pret-`a-penser?

ЛИТЕРАТУРА 215

[96] D. Sperber, Anthropology and psychology: towards an epidemiology of representations, Man (N. S.), 20, 1984, 73-89.

[97] D. Sperber, D.Wilson, Relevance, Blackwell, Oxford, 1986.

[98] F. Sulloway, Freud, Biologiste de l'Esprit, Fayard, Paris, 1981.

[99] P. A. Taguieff, La force du prejuge, 1988.

[100] R.Thom, Parabole et catastrophes, Flammarion, Paris, 1983.

[101] P. Tort, La pensee hierarchique et l'evolution, Aubier, Paris, 1983.

[102] L. Weiskrantz, Thought without language, Fond. Fyssen, Clarendon, Oxford, 1988.

[103] E. O. Wilson, On Human Nature, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1978.

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или электронной почтой:

subscribe@rcd.ru

Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш Интернет-магазин:

http://shop.rcd.ru

Книги также можно приобрести:

1. Москва, ФТИАН, Нахимовский проспект, д. 36/1, к. 307,

тел.: 332-48-92 (почтовый адрес: Нахимовский проспект, д. 34).

2. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. З[г] к. 414, тел. 135-54-37.

3. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж).

4. Магазины:

Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40) «Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8) «Библиоглобус» (м. Лубянка, ул. Мясницкая, 6) Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г.Долгопрудный, Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)

С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)

Жан-Пьер Шанжё и Ален Конн

МАТЕРИЯ и МЫШЛЕНИЕ

Дизайнер М. В. Ботя

Технический редактор А. В. Широбоков

Компьютерная верстка Д. П. Вакуленко

Корректор 3. Ю. Соболева

Подписано в печать 19.04.2004. Формат 60 x 84 ^1 /[16]. Печать офсетная. Усл. печ. л. 12,56. Уч. изд. л. 11,78.

Гарнитура Балтика. Бумага офсетная №1. Тираж 3000 экз. Заказ №161. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»

426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.

Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.

* Warum Wahrheit?